高中新課程數(shù)學(xué)史選講課的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、高中新課程數(shù)學(xué)史選講的教學(xué)設(shè)計(jì)繼山東、廣東、海南、寧夏4省（區(qū)）的試驗(yàn)之后，普通高中數(shù)學(xué)新課程即將在全國(guó)范圍內(nèi)開(kāi)始實(shí)施。新課程的選修系列3-1“數(shù)學(xué)史選講”并不是高考的內(nèi)容，這部分內(nèi)容要不要教？教什么？怎么教？這已成為人們關(guān)注的問(wèn)題。為此，我們對(duì)“畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)”這一專題的教學(xué)作了設(shè)計(jì)，并利用高中數(shù)學(xué)新課程教師培訓(xùn)的機(jī)會(huì)，就此對(duì)即將實(shí)施新課程的某地區(qū)的高中數(shù)學(xué)骨干教師進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，以了解高中數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計(jì)的看法，為數(shù)學(xué)史選修課的教學(xué)提供參考。1 “畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)課程應(yīng)“倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式”

2、；使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)“不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程”。對(duì)于“數(shù)學(xué)史選講”的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)“要講史實(shí)，更重要的是通過(guò)史實(shí)介紹數(shù)學(xué)的思想方法”。“畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)就是基于以上理念和要求進(jìn)行的。先展示有關(guān)畢達(dá)哥拉斯的圖片（如圖1），讓學(xué)生注意觀察畢達(dá)哥拉斯身后的三角形圖案，提出問(wèn)題，引出知識(shí)點(diǎn)畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)的概念。給出前幾個(gè)三角形點(diǎn)陣（圖2），讓學(xué)生觀察它們的規(guī)律，歸納出第10個(gè)點(diǎn)陣、第n個(gè)點(diǎn)陣共含幾個(gè)點(diǎn)？接著，引入三角形數(shù)概念，介紹歷史背景知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生類比鋼管垛模型， 圖1 畢達(dá)哥拉斯推導(dǎo)第n個(gè)三角形數(shù)的一般公式（圖3），指出畢

3、氏學(xué)派已經(jīng)獲得前n個(gè)自然數(shù)求和公式。圖 2 三角形數(shù)1、3、6、10 圖3 三角形數(shù)公式的推導(dǎo)再給出前幾個(gè)正方形點(diǎn)陣（圖4），讓學(xué)生觀察它們的規(guī)律，歸納出第10個(gè)點(diǎn)陣、第n個(gè)點(diǎn)陣共含幾個(gè)點(diǎn)？引入正方形數(shù)概念，并引導(dǎo)學(xué)生觀察正方形數(shù)的構(gòu)造規(guī)律（圖5），推導(dǎo)第n個(gè)正方形數(shù)公式，指出畢氏學(xué)派已經(jīng)得到奇數(shù)和公式。圖 4 正方形數(shù)1、4、9、16 圖 5 正方形數(shù)的兩種構(gòu)造：連續(xù)奇數(shù)之和與兩個(gè)相鄰三角形數(shù)之和再給出前幾個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)陣（圖6），讓學(xué)生觀察它們的規(guī)律。進(jìn)而讓學(xué)生歸納出第10個(gè)點(diǎn)陣、第n個(gè)點(diǎn)陣共含幾個(gè)點(diǎn)？接著，引入長(zhǎng)方形數(shù)概念，并引導(dǎo)學(xué)生觀察長(zhǎng)方形數(shù)的構(gòu)造規(guī)律（圖7），推導(dǎo)第n個(gè)長(zhǎng)方形數(shù)公式，指

4、出畢氏學(xué)派已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這種形數(shù)。圖 6 長(zhǎng)方形數(shù)2、6、12、20 圖 7 長(zhǎng)方形數(shù)的三種構(gòu)造：連續(xù)偶數(shù)之和、兩個(gè)同樣的三角形數(shù)之和與一個(gè)正方形數(shù)及其一邊的和然后，引入五邊形數(shù)和六邊形數(shù)概念，并引導(dǎo)學(xué)生觀察構(gòu)造規(guī)律（圖8、9），推導(dǎo)第n個(gè)五邊形數(shù)和六邊形數(shù)公式： ，。并指出：晚期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）等討論了這兩種數(shù)以及邊數(shù)更多的數(shù)。圖 8 五邊形數(shù)1、5、12、22圖9 六邊形數(shù)1、6、15、28讓學(xué)生從構(gòu)成三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)的等差數(shù)列中歸納出構(gòu)成k邊形數(shù)（）的等差數(shù)列的公差與通項(xiàng)，進(jìn)而讓學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列求和公式求出第n個(gè)k邊形數(shù)

5、的公式在講完多邊形數(shù)概念后，讓學(xué)生探索下面有關(guān)多邊形數(shù)問(wèn)題。如果課內(nèi)時(shí)間不允許，可以讓學(xué)生分組來(lái)完成后兩個(gè)問(wèn)題，并于以后的選修課上交流各組的探究成果。問(wèn)題1 觀察圖10，寫(xiě)出正方形數(shù)與三角形數(shù)或長(zhǎng)方形數(shù)之間的關(guān)系式。歷史上，早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派可能已經(jīng)知道，任何一個(gè)三角形數(shù)的8倍加1是一個(gè)平方數(shù)；后來(lái)普魯塔克（Plutarch, 1世紀(jì)）提到過(guò)這個(gè)定理，丟番圖（Diophantus, 3世紀(jì)）也曾運(yùn)用過(guò)這個(gè)結(jié)果。 問(wèn)題2 仔細(xì)觀察三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等構(gòu)成的數(shù)表，研究k邊形數(shù)與k-1邊形數(shù)之間的關(guān)系?？山Y(jié)合圖11進(jìn)行。三角形數(shù)：1 3 6 10 15 21 28 36 45 5

6、5 正方形數(shù)：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 五邊形數(shù)：1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 六邊形數(shù)：1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 七邊形數(shù)：1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 圖10 正方形數(shù)與三角形數(shù) 圖 11 k邊形數(shù)與k-1邊形數(shù)歷史上，晚期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)k邊形數(shù)等于第n個(gè)k-1邊形數(shù)與第n-1個(gè)三角形數(shù)之和。問(wèn)題3 能否從正方形數(shù)的構(gòu)造（圖12）規(guī)律中得出立方數(shù)與奇數(shù)之間的關(guān)系？并進(jìn)一步探索三次冪和公式。圖

7、 12 正方形數(shù)與立方數(shù)之間的關(guān)系歷史上，尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)奇數(shù)1是立方數(shù)13，第二、三兩個(gè)奇數(shù)3、5之和是立方數(shù)23，第四、五、六三個(gè)奇數(shù)7、9、11之和是立方數(shù)33，等等，他在算術(shù)引論中介紹了上述規(guī)律。2 教師對(duì)本設(shè)計(jì)的看法本次調(diào)查共收回有效問(wèn)卷56份，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表（百分比）。關(guān)于多邊形數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的觀點(diǎn)非常同意同意比較同意不太同意不同意完全不同意我對(duì)形數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)很滿意8.948.241.11.800若開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史選講，我會(huì)采用該設(shè)計(jì)8.941.146.43.600該設(shè)計(jì)中的知識(shí)內(nèi)容我都能夠講授12.532.141.110.73.60該設(shè)計(jì)

8、符合學(xué)生的認(rèn)知水平10.737.544.65.41.80該設(shè)計(jì)能使學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納推理的思維過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的作用。19.658.921.4000該設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值10.748.235.75.400該設(shè)計(jì)體現(xiàn)了自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式17.944.626.810.700該設(shè)計(jì)的內(nèi)容偏難5.419.644.626.83.60關(guān)于形數(shù)應(yīng)用的例子應(yīng)該更多一些7.148.232.112.500關(guān)于形數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)舉一些與高考題類似的例子10.744.630.412.51.80該設(shè)計(jì)有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)列有關(guān)內(nèi)容的理解16.144.630.45.400從教學(xué)內(nèi)容來(lái)

9、看，98.2%的教師對(duì)形數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)感到滿意或比較滿意，96.4%的教師表示自己若開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史選修課，會(huì)采用該設(shè)計(jì)。85.7%的教師表示自己有能力講授該設(shè)計(jì)中的知識(shí)內(nèi)容。92.8%的人認(rèn)為該設(shè)計(jì)基本符合學(xué)生的認(rèn)知水平，7.2%的人表示不認(rèn)可?？梢?jiàn)，大部分教師認(rèn)可本教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容設(shè)置，認(rèn)為是切實(shí)可行的方案，且基本符合學(xué)生認(rèn)知水平。從教學(xué)理念來(lái)看，所有教師認(rèn)為本設(shè)計(jì)能使學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納推理等思維過(guò)程，并使他們體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。94.6%的教師認(rèn)同本設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。89.3的教師認(rèn)為本設(shè)計(jì)體現(xiàn)了自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式。可見(jiàn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索的設(shè)計(jì)方

10、案獲得了多數(shù)教師的認(rèn)同。從教學(xué)設(shè)計(jì)本身來(lái)看，超過(guò)半數(shù)的教師認(rèn)為教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容偏難，這表明，教學(xué)內(nèi)容的難度還有待于適當(dāng)降低。87.5%的教師認(rèn)為教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)于形數(shù)應(yīng)用的例子應(yīng)該多一些；85.7%的教師贊同教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該舉一些與高考題類似的形數(shù)應(yīng)用問(wèn)題。94.6%的教師認(rèn)為本教學(xué)設(shè)計(jì)有助于加深學(xué)生對(duì)必修課中的數(shù)列內(nèi)容的理解，這說(shuō)明我們可以通過(guò)在必修課與選修課之間找到一個(gè)切合點(diǎn)，來(lái)解決選修課內(nèi)容形同虛設(shè)的問(wèn)題。3 結(jié)論雖然“數(shù)學(xué)史選講”的教材已經(jīng)出版，但要真正在課堂上講授并不是一件容易的事，為歷史而歷史、堆砌史實(shí)、照本宣科，都無(wú)異于給數(shù)學(xué)史選修課“判死刑”，背負(fù)高考?jí)毫Φ膶W(xué)生原來(lái)所抱有的興趣也將因此而消失殆盡。“畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)將歷史知識(shí)與必修課中數(shù)列的有關(guān)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，雖然講的是歷史專題，但并不是單純的、枯燥的歷史回溯，而是充分給予學(xué)生自主探索、合作交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生親歷多邊形數(shù)知識(shí)的形成過(guò)程，再現(xiàn)古代數(shù)學(xué)家的思維方式，從而在不知不覺(jué)中再現(xiàn)了歷史，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程也因此成了“再創(chuàng)造”的過(guò)程。本教學(xué)設(shè)計(jì)得到多數(shù)接受調(diào)查的中學(xué)教師的認(rèn)同，表明它有一定的可操作性，有一定的參考價(jià)值。據(jù)此，我們?cè)谠O(shè)計(jì)其他數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)時(shí)，可以考慮四種原則。一是趣味性，即歷史的介紹應(yīng)圖文并茂、生動(dòng)有趣，切忌照本宣