頂點(diǎn)式法求二次函數(shù)解析式

1、頂點(diǎn)式法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c 是常數(shù)，a0)用配方法可化成：y=a(x-h)2+k，頂點(diǎn)是(h,k) 配方: y=ax2+bx+c=_=_=_（x+）2+,對(duì)稱(chēng)軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）, h=-，k=, 所以，我們把y=a(x-h)2+k叫做二次函數(shù)的頂點(diǎn)式已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）或者對(duì)稱(chēng)軸方程x=h或者最大值k，最小值k，當(dāng)然還要知道拋物線(xiàn)上的一個(gè)一般點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-h)2+k(a0)，再將那個(gè)一般點(diǎn)的坐標(biāo)帶入，求出a的值，最后寫(xiě)出函數(shù)解析式再化成一般式就行了，有時(shí)可能需要兩個(gè)一般點(diǎn)列方程組求出a的值或h或k的值。例：已知

2、拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（1，3），與y軸交點(diǎn)為（0，5），求拋物線(xiàn)的解析式解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax-（-1）2-3=a（x+1）2-3，由條件得：點(diǎn)( 0,-5 )在拋物線(xiàn)上，a-3=-5, 得a=-2，故所求的拋物線(xiàn)解析式為 y=2(x1)2-3，即：y=2x2-4x5例：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6），求此二次函數(shù)的解析式解：二次函數(shù)的最大值是2拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2又拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+1上，當(dāng)y=2時(shí)，x=1。 故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 2），所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6

3、），-6=a (3-1)2+2 ，得a=-2，故所求二次函數(shù)的解析式為：y=-2(x-1)2+2，即：y=-2x2+4x 例：如圖,有一座拋物線(xiàn)形拱橋,在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m,如果水位上升3m時(shí),水面CD的寬是10m.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求此拋物線(xiàn)的解析式;(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車(chē)從甲地出發(fā)需經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長(zhǎng)忽略不計(jì)).貨車(chē)正以每小時(shí)40km的速度開(kāi)往乙地,當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí),忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車(chē)接到通知時(shí)水位在CD處,當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí),禁止車(chē)輛通行),試問(wèn):如果貨車(chē)按原

4、來(lái)速度行駛,能否完全通過(guò)此橋?若能,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不能,要使貨車(chē)安全通過(guò)此橋,速度應(yīng)超過(guò)每小時(shí)多少千米? 解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為（0,0），所以可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-0）2+0，即y=ax2，橋拱最高點(diǎn)O到水面CD的距離為hm,則D(5,-h),B(10,-h-3). 解得拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2. (2)水位由CD處漲到點(diǎn)O的時(shí)間為:1÷0.25=4(小時(shí)). 貨車(chē)按原來(lái)速度行駛的路程為:40×1+40×4=200<280, 貨車(chē)按原來(lái)速度行駛不能安全通過(guò)此橋. 設(shè)貨車(chē)速度提高到xkm/h.當(dāng)4x+40×1=280時(shí),x=60. 要使貨車(chē)完全通過(guò)此橋,貨車(chē)的速度應(yīng)超過(guò)60km/h.練一練：拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P(1，8)，且過(guò)點(diǎn)A(0，6)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(2，4)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，與y軸交點(diǎn)為(0，5)，求二次函數(shù)的關(guān)系式已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8，9)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且當(dāng)x=3時(shí)，有最小值-4，