高中數(shù)學(xué)選修選修

1、 實(shí)行新課程標(biāo)準(zhǔn)，提高教學(xué)質(zhì)量，教育理念是靈魂，教材建設(shè)是關(guān)鍵，教師素質(zhì)是根本，課堂教學(xué)是核心，教學(xué)評(píng)價(jià)是導(dǎo)向，現(xiàn)代化技術(shù)是推進(jìn)器. 祝愿我們數(shù)學(xué)教育工作者做出無愧于時(shí)代的貢獻(xiàn)，給我們所有的學(xué)生 一雙能用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛， 一個(gè)能用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦， 一副為謀國(guó)家富強(qiáng)人民幸福的心腸 張孝達(dá) M. Kline 在西方文化中的數(shù)學(xué)中指出，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神，正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，試圖回答人類自身存在提出的問題，努力去理解和控制自然，盡力去探索和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻和最完善的內(nèi)涵 數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造. 教師不應(yīng)該把數(shù)學(xué)

2、當(dāng)作一個(gè)已經(jīng)完成了的形式理論來教，不應(yīng)該將各種定義、規(guī)則、算法灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，用自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí). Freudenthal選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 空間向量與立體幾何選修22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系 的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入選修23：計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)案例、概率 選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用選修12：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò) 充與復(fù)數(shù)的引入、框圖 系列3由6個(gè)專題組成選修31 ：數(shù)學(xué)史選講；選修32 ：信息安全與密碼；選修33 ：球面上的幾何；選修34 ：對(duì)稱與群；選

3、修35 ：歐拉公式與閉曲面分類；選修36 ：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充；系列4由10個(gè)專題組成 * 選修41 ：幾何證明選講； * 選修42 ：矩陣與變換； 選修43 ：數(shù)列與差分； * 選修44 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程； * 選修45 ：不等式選講； 選修46 ：初等數(shù)論初步； 選修47 ：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步； 選修48 ：統(tǒng)籌法與圖論初步； 選修49 ：風(fēng)險(xiǎn)與決策； 選修410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。 高中數(shù)學(xué)的選修系列1和系列2，是在必修課程的基礎(chǔ)上，為不同發(fā)展方向的學(xué)生設(shè)置的數(shù)學(xué)課程必修課程是為所有的學(xué)生在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，獲得較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的而設(shè)置的對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，仍然有進(jìn)一步選修數(shù)學(xué)的必要系

4、列1和系列2，則是為這些學(xué)生而設(shè)置的、供選擇的數(shù)學(xué)課程學(xué)生在高中數(shù)學(xué)必修課程的基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)而設(shè)置的學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)于大多數(shù)高中學(xué)生來說，它們依然是必要的和基礎(chǔ)性的課程其中，選修系列1是為希望在人文、社會(huì)科學(xué)等方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置的，選修系列2是為希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置的 選修1、選修2的構(gòu)成及其定位 在選修系列1和系列2中，有些內(nèi)容是相同的，如常用邏輯用語、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入；有些內(nèi)容從標(biāo)題來看是相同的，但是在內(nèi)容的要求上有所區(qū)別，如圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明；還有一些內(nèi)容分別安排在不同的系列中，如框圖只在選修系列1中才有，空間向量與立體幾何、

5、計(jì)數(shù)原理、概率只在選修系列2中才有這兩個(gè)選修系列的內(nèi)容，同樣是給學(xué)生的發(fā)展繼續(xù)打基礎(chǔ)，只是依據(jù)學(xué)生發(fā)展方向的不同，是為學(xué)生打好不同的基礎(chǔ)而設(shè)置的學(xué)生可以根據(jù)自己的發(fā)展志向，主動(dòng)作出選擇 與以往的高中數(shù)學(xué)課程相比，標(biāo)準(zhǔn)選定的必修內(nèi)容以及選修系列1和系列2的學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本上覆蓋了1997年制訂、又于2002年修改審定的大綱的內(nèi)容，只是根據(jù)時(shí)代的要求，了一些算法初步、推理與證明、框圖這樣的新內(nèi)容 在概率統(tǒng)計(jì)方面，對(duì)于統(tǒng)計(jì)思想及其應(yīng)用和隨機(jī)概念有所與此同時(shí)并對(duì)很多有些傳統(tǒng)的內(nèi)容做了刪減，或在要求和側(cè)重點(diǎn)方面有所調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)與大綱內(nèi)容比較 與此同時(shí)并對(duì)很多有些傳統(tǒng)的內(nèi)容做了刪減，或在要求和側(cè)重點(diǎn)方面有所調(diào)整

6、。例如，了三角函數(shù)恒等變換化的證明；不等式中不等式證明的要求，而側(cè)重介紹現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系中優(yōu)化的思想；立體幾何中綜合證明的內(nèi)容，重在對(duì)于圖形的把握，發(fā)展空間觀念， 運(yùn)用向量方法解決計(jì)算問題；微積分初步中極限概念，只通過瞬時(shí)變化率的描述，著重理解微分的基本思想及其應(yīng)用。這樣的調(diào)整，將使得學(xué)生把精力更多地放在方面，更加注意數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系和應(yīng)用，為學(xué)生日后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，或在工作、生活中的應(yīng)用，打下更好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 選修系列3和系列4的構(gòu)成及其定位 隨著時(shí)代的發(fā)展、社會(huì)的進(jìn)步，人們逐漸認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)無處不在，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)，各行各業(yè)的生產(chǎn)需要數(shù)學(xué)，就是在日常生活中也離不開數(shù)學(xué)，現(xiàn)代社會(huì)

7、越來越需要數(shù)學(xué)素養(yǎng)比較高的人才。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)有更加開闊的視野。一個(gè)人只有有了比較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和比較開闊的視野比較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和比較開闊的視野，才能比較自覺地、有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光，去觀察、分析周圍的世界，去主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，處理和解決所遇到的問題。因此，為了使高中學(xué)生依據(jù)各自不同的興趣和需要，了解更多、更廣的數(shù)學(xué)知識(shí)，具有更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)素養(yǎng)，標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置了選修系列3和系列4的學(xué)習(xí)內(nèi)容 選修系列3和系列4的內(nèi)容，有些看起來很深?yuàn)W，以往只有上大學(xué)才能夠?qū)W到，例如球面上的幾何、對(duì)稱與群、矩陣與變換、歐拉公式與閉曲面分類、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充等現(xiàn)在把它們引入高中數(shù)學(xué)課程，并不是要把這些內(nèi)容簡(jiǎn)化

8、下放，而是想抓住這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的主要精髓，把它們的基本思想介紹給高中學(xué)生 另外有些內(nèi)容，例如數(shù)學(xué)史選講、幾何證明選講、數(shù)列與差分、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講、初等數(shù)論初步等，是想讓學(xué)生在已學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對(duì)已學(xué)知識(shí)和相關(guān)知識(shí)的了解和認(rèn)識(shí) 還有一些內(nèi)容，例如信息安全與密碼、優(yōu)選法與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)初步、統(tǒng)籌法與圖論初步、風(fēng)險(xiǎn)與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等，它們反映了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系與廣泛應(yīng)用，通過介紹這些數(shù)學(xué)知識(shí)，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的力量、數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)這些內(nèi)容的教材編寫和教學(xué)，并不要求很嚴(yán)格的系統(tǒng)性，但是又不是像有些科普通俗介紹那樣只是簡(jiǎn)單地講講故事，而是想讓學(xué)生對(duì)它們的基

9、本內(nèi)容和基本思想方法有一個(gè)初步的了解 選修系列選修系列3和選修系列和選修系列4的設(shè)置和實(shí)施是一個(gè)的設(shè)置和實(shí)施是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程,在教學(xué)方式上應(yīng)深入淺出，在教學(xué)方式上應(yīng)深入淺出，不可過度的形式化，不追求非常嚴(yán)格的系統(tǒng)不可過度的形式化，不追求非常嚴(yán)格的系統(tǒng)性性 必修教材強(qiáng)調(diào)知識(shí)形成的過程，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透如函數(shù)概念的形成過程等； 選修教材也強(qiáng)調(diào)知識(shí)的形成過程，重視數(shù)學(xué)思想的滲透，更突出數(shù)學(xué)的文化價(jià)值的體現(xiàn)如導(dǎo)數(shù)、推理與證明、對(duì)稱與群等常用邏輯用語選修 21 第 1 章（選修 11第1章）一、本章結(jié)構(gòu)一、本章結(jié)構(gòu) 背景背景命題命題四種命題關(guān)系四種命題關(guān)系充分必要條件充分必要條件

10、邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞量詞量詞命題的否定命題的否定應(yīng)用應(yīng)用 正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確地運(yùn)用邏輯用語表達(dá)自己的思維，使得思維清晰明了，說理有據(jù) 學(xué)習(xí)邏輯用語的目的不是學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯的有關(guān)知識(shí)，而是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)邏輯用語的基本知識(shí)，體會(huì)邏輯用語在表述和論證中的作用大綱里講的是簡(jiǎn)易邏輯，主要基于數(shù)學(xué)意義上的簡(jiǎn)易數(shù)理邏輯，新課程標(biāo)準(zhǔn)所講的是一種常用的邏輯語言，包括在數(shù)學(xué)上和日常生活中的應(yīng)用二、本章內(nèi)容的定位 本章考慮的命題是指明確地給出條件和結(jié)論的命題，對(duì)“命題的逆命題、否命題與逆否命題”只要求做一般性的了解，這些內(nèi)容對(duì)高中學(xué)生來

11、說，尤其是剛剛學(xué)習(xí)時(shí)，是非常困難和難以理解的，但是所有這些內(nèi)容當(dāng)在學(xué)生經(jīng)歷了一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，有了數(shù)學(xué)上具體命題的積累后，對(duì)這些問題的理解就不成為問題了這里不研究含有 “或”、“且”、“非”的命題的逆命題、否命題和逆否命題三、內(nèi)容解析與教學(xué)建議三、內(nèi)容解析與教學(xué)建議 重點(diǎn)關(guān)注四種命題相互關(guān)系和充要條件 本章的重點(diǎn)是要求學(xué)生關(guān)注四種命題的相互關(guān)系和命題的必要條件、充分條件、充要條件，并在今后的使用過程中加深理解 “若 p 則 q”為真命題時(shí)， p是 q成立的充分條件，不能誤認(rèn)為p是這個(gè)命題的充分條件本章中，“若 p則 q”形式的命題中的 p與q，都是不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”，并且p

12、與 q本身也不是“若 r 則 s ”形式的命題 對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義，主要的功能是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用這些邏輯聯(lián)結(jié)詞有效地表達(dá)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容因此，內(nèi)容的設(shè)計(jì)上要求通過具體的數(shù)學(xué)實(shí)例來進(jìn)行展開，避免抽象地討論不要涉及簡(jiǎn)單命題、復(fù)合命題的概念要注意命題的否定與否命題是不一樣的，對(duì)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定不作要求結(jié)合具體實(shí)例，避免抽象討論理解量詞含義，不追求形式化定義 教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義，不要追求形式化的定義形式化的定義，對(duì)于學(xué)生來說，很難理解，并且很難找到具體應(yīng)用的背景會(huì)判定一個(gè)全稱命題或存在性命題真假通過具體實(shí)例理解對(duì)含有一個(gè)量詞的命

13、題的否定的意義，并能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定 在使用過程中掌握常用邏輯用語的用法 引導(dǎo)學(xué)生在使用常用邏輯用語的過程中，掌握常用邏輯用語的用法，糾正出現(xiàn)的邏輯錯(cuò)誤，體會(huì)運(yùn)用常用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性幫助學(xué)生完善表述方式，學(xué)會(huì)使用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而形成邏輯地表達(dá)自己的思想、判斷、推理的能力 充分條件和必要條件充分條件和必要條件 教學(xué)目的教學(xué)目的： (1)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義以及充分條件和必要條件之間的區(qū)別和聯(lián)系； (2)結(jié)合四種命題形式，理解并掌握充分條件、必要條件的判定方法，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用； (3)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：

14、 充分條件、必要條件的含義及判定方法 案例案例 教學(xué)過程：教學(xué)過程： 一、問題情境 1情境：命題的四種形式以及相互之間的關(guān)系，第111中的圖11 2問題：如果命題“若p則q”是真命題，那么p與q之間是什么關(guān)系？ 二、學(xué)生活動(dòng)二、學(xué)生活動(dòng) 1分別判斷下列命題的真假：分別判斷下列命題的真假： (1)“若若xy，則，則x2y2”； (2)“若若x2y2，則，則xy” 2上述命題中，條件和結(jié)論之間有什么關(guān)系？上述命題中，條件和結(jié)論之間有什么關(guān)系？ 三、建構(gòu)數(shù)學(xué)三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1結(jié)合問題，引入符號(hào)結(jié)合問題，引入符號(hào)“pq”和和“p q” 2引入充分、必要條件的有關(guān)概念引入充分、必要條件的有關(guān)概念 3解釋解

15、釋“充分充分”、“必要必要”的含義，并舉例說的含義，并舉例說明明 4用符號(hào)表示充分條件、必要條件、充分不必要用符號(hào)表示充分條件、必要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件條件、必要不充分條件、充分必要條件 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1例題例題 例例1：指出下列命題中，：指出下列命題中，p是是q的充分條件還是必要條件的充分條件還是必要條件 (1)p：x1；q：x21； (2)p：四邊形的對(duì)邊相等；：四邊形的對(duì)邊相等；q：四邊形是矩形；：四邊形是矩形； (3)p：兩個(gè)三角形相似；：兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等；：兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等； (4)p：兩條直線垂直；：兩條直線垂直

16、；q：兩條直線斜率的乘積是：兩條直線斜率的乘積是1 例例2：指出下列命題中，：指出下列命題中，p是是q的什么條件的什么條件(回答回答“充分不充分不必要條件必要條件”、“必要不充分條件必要不充分條件”、“充要條件充要條件”、“既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件”) (1)p：x10；q：(x1)(x2)0 (2)p：兩直線平行；：兩直線平行；q：內(nèi)錯(cuò)角相等：內(nèi)錯(cuò)角相等 (3)p：ab；q：a2b2 (4)p：四邊形的四邊相等；：四邊形的四邊相等；q：四邊形是正方形：四邊形是正方形 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 2練習(xí)練習(xí) (1)課本第課本第8頁練習(xí)：頁練習(xí)：1，2，3 (2)請(qǐng)學(xué)生舉幾個(gè)充分不

17、必要條件、必要不充分條件、請(qǐng)學(xué)生舉幾個(gè)充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件的例子充要條件、既不充分也不必要條件的例子 (3)判斷下列命題的真假：判斷下列命題的真假： “acbc”是是“ab”的充分條件；的充分條件； “acbc”是是“ab”的必要條件；的必要條件； “ab，cd”是是“acbd”的既不充分也不必的既不充分也不必要條件；要條件； “acbc”是是“ab”的必要條件；的必要條件； “ac2bc2”是是“ab”的必要條件；的必要條件； “ ”是是“ab”的必要條件的必要條件ba 五、回顧與小結(jié)五、回顧與小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容： 1充

18、分條件、必要條件的有關(guān)概念充分條件、必要條件的有關(guān)概念 2充分條件、必要條件的判斷方法充分條件、必要條件的判斷方法 3充分條件、必要條件的符號(hào)表示充分條件、必要條件的符號(hào)表示 六、課外作業(yè)六、課外作業(yè):課本第課本第8頁習(xí)題頁習(xí)題11：3，4 補(bǔ)充：判定下列各題中，補(bǔ)充：判定下列各題中，p是是q的什么條件：的什么條件：(1)充分而不必要充分而不必要(A)；(2)必要而不充分必要而不充分(B)；(3)充分必要充分必要(C) (1) p：x23x4，q：x ； ( ) (2) p：x20，q：(x2)(x3)0； ( ) (3) p：b24ac0，q：ax2bxc0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根(a0) ； (

19、) (4) p：x1是是ax2bxc0(a0)的根，的根，q：abc0 ( ) 思考題思考題 1對(duì)于命題對(duì)于命題“p是是q成立的充要條件成立的充要條件”和命題和命題“p成立的充要條件成立的充要條件是是q”，充分性、必要性分別指的是什么？，充分性、必要性分別指的是什么？(用符號(hào)表示用符號(hào)表示) 2課本第課本第8頁習(xí)題頁習(xí)題11：5 圓錐曲線與方程選修 21 第 2 章（選修 11 第 2 章） 與以往教材中先講曲線方程的概念，再用方程研究曲線性質(zhì)的“演繹”式的處理不同，本教材從必修部分開始，先直接給出直線、圓等特殊曲線的方程，并用其研究曲線性質(zhì)，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得“形式化”有了感性的基

20、礎(chǔ)，深化了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解 選修2對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)，主要是結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。同時(shí)，在學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握?qǐng)A錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用 圓錐曲線這一章的內(nèi)容可以采用不同的組織方法，例如：可以把橢圓、雙曲線、拋物線合起來作為一個(gè)整體，先討論它們的定義，再求它們的方程，最后研究它們的幾何性質(zhì)及應(yīng)用；也可以分別研究橢圓、雙曲線、拋物線，對(duì)每一種曲線按定義、方程、幾何性質(zhì)分別討論這些方法各有利弊前一種方法可以使學(xué)生對(duì)圓錐曲線有一個(gè)統(tǒng)

21、一的認(rèn)識(shí)，也可以節(jié)省教學(xué)時(shí)間，但這樣做教學(xué)難度較大；后一種方法學(xué)生接受較容易，但削弱了幾種圓錐曲線之間的聯(lián)系，使知識(shí)凌亂，重復(fù)過多 本章總體設(shè)計(jì)思路是“總分總”，即先從整體上認(rèn)識(shí)圓錐曲線的概念，了解橢圓、雙曲線和拋物線的內(nèi)在關(guān)系，再運(yùn)用方程思想分別研究橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，進(jìn)而通過統(tǒng)一定義從總體上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的關(guān)系最后在學(xué)生對(duì)直線、圓及圓錐曲線的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立曲線方程的概念，并用方程觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和研究曲線交點(diǎn)等問題這樣在汲取上述兩種方案的優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也克服了它們的弊端這一設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、科學(xué)價(jià)值及應(yīng)用價(jià)值，反映了數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，遵循了“適度形式化”的課程理念一、

22、本章結(jié)構(gòu)圓錐曲線概念圓錐曲線方程圓錐曲線性質(zhì)幾何背景曲線與方程總分總從圓錐截線的角度認(rèn)識(shí)圓錐曲線分別對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線進(jìn)行研究圓錐曲線的統(tǒng)一定義 對(duì)圓錐曲線而言對(duì)解析幾何總體來說曲線直線圓圓錐曲線曲線與方程從統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)解析幾何的基本思想幾何特征建立方程研究性質(zhì) 經(jīng)歷由具體情境抽象出圓錐曲線 模型的過程觀察探索發(fā)現(xiàn)形成過程建議： “適度引導(dǎo)” 重點(diǎn)在橢圓，另兩個(gè)可直接給出(1)要求恰當(dāng)，不要過分二、內(nèi)容解析與教學(xué)建議二、內(nèi)容解析與教學(xué)建議 教材借助圓錐面這一模型，通過不同的截法得到三種不同的圓錐曲線，引導(dǎo)學(xué)生形成橢圓、雙曲線和拋物線的概念這樣做，既能使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，更能使其從整

23、體上認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系。根據(jù)問題的難易度及學(xué)生的認(rèn)知水平，只要求學(xué)生掌握橢圓、拋物線的定義，對(duì)雙曲線只要求“了解雙曲線的定義”這一過程是建立在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)上的形式化的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)素養(yǎng) 用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截線（平面與圓錐面的交線）是一個(gè)圓當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對(duì)位置時(shí)，觀察截線的變化情況，并思考： 用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？圖2-1-2 = 0 設(shè)圓錐面的母線與軸所成的角為，截面與軸所成的角為通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) ，0 ， = 時(shí)，我們可以

24、得到三種不同形狀的曲線：2MQF2PO1O2VF1古希臘數(shù)學(xué)家Dandelin在圓錐截面的兩側(cè)分別放置一球，使它們都與截面相切（切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2），又分別與圓錐面的側(cè)面相切（兩球與側(cè)面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2）過M點(diǎn)作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2與P，Q兩點(diǎn)，因?yàn)檫^球外一點(diǎn)作球的切線長(zhǎng)相等，所以MF1 = MP，MF2 = MQ， MF1 + MF2 MP + MQ PQ定值定值 汽車貯油罐的橫截面的外輪廓線的形狀象橢圓，把一個(gè)圓壓扁了,也象橢圓.它們究竟是不是橢圓? 電影放映機(jī)上的聚光燈泡的反射鏡、運(yùn)用高能沖擊波擊碎腎結(jié)石的碎石機(jī)等儀器設(shè)備都是運(yùn)用橢圓的性質(zhì)制造的怎樣設(shè)計(jì)才

25、能精確地制造它們? 借助于橢圓的方程，我們可以回答上述問題那么 怎樣建立橢圓的方程？怎樣建立橢圓的方程？ 如何根據(jù)方程研究橢圓的性質(zhì)？如何根據(jù)方程研究橢圓的性質(zhì)？重視節(jié)首語的教學(xué)建系設(shè)點(diǎn)列等式（限制條件） 代入坐標(biāo)（得到方程）化簡(jiǎn)方程教科書p27“由上述過程可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x、y)都滿足上面這個(gè)方程，并且滿足上面這個(gè)方程的點(diǎn)都在已知的橢圓上” 只要讓學(xué)生從方程同解的角度認(rèn)同即可，不要提純粹性和完備性的概念 突出建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的全過程參數(shù) b 的引入在這里只需說明是為了簡(jiǎn)化方程形式，在后面再說明其幾何意義焦點(diǎn)在y軸的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可由學(xué)生獨(dú)立研究自行推出（不妨先作猜想，或變量代換）例2給

26、出了確定曲線類型的新方法(原來的方法是運(yùn)用概念，這里是由方程來判斷)：感受曲線方程的概念通過求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步感受曲線方程的概念，了解求曲線方程的基本方法（在必修部分雖有體現(xiàn)，未充分說明但）例例2 將圓x2 + y2 = 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線？要突出“用代數(shù)方法(方程)研究幾何問題”的解析幾何的基本思想如：范圍、對(duì)稱性等“頂點(diǎn)是橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)”，不能認(rèn)為最高(低)點(diǎn)、最左(右)點(diǎn)就是頂點(diǎn)對(duì)離心率要突出其幾何意義，并在實(shí)驗(yàn)的過程中感受和理解其意義。直觀上橢圓的扁圓程度可用b/a來刻畫，為什么用c/a呢？掌握橢圓的幾何性質(zhì)用

27、解析法研究曲線的幾何性質(zhì)是通過方程進(jìn)行討論的，而曲線方程又與所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)，但不管選擇怎樣的坐標(biāo)系，曲線的幾何性質(zhì)是不變的教學(xué)時(shí)應(yīng)向?qū)W生講清圖形本身的性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，把曲線不同位置的性質(zhì)與曲線本身的性質(zhì)區(qū)別開來把握教學(xué)要求，了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)突出類比，如導(dǎo)言中的類比提出問題、研究過程中從結(jié)論、過程、方法各個(gè)層面與橢圓類比學(xué)習(xí)雙曲線要注意與橢圓類比 我們知道，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于定值，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于定值那么， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式呢？12222 byax“雙曲線范

28、圍”的處理與原教材的區(qū)別：更為精確的限制，為漸近線的引入作鋪墊； 這表明雙曲線在不等式這表明雙曲線在不等式 x a 與與x a所表示的平面區(qū)域內(nèi)；所表示的平面區(qū)域內(nèi)； 11 122222222，得得由由 byax,byax 1 2222？范范圍圍還還受受到到怎怎樣樣的的限限制制你你能能發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)雙雙曲曲線線的的根根據(jù)據(jù)雙雙曲曲線線方方程程思思考考, byax 00000 0 1 22222222byaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyax或或，即即，可可知知得得由由)(, 這表明雙曲線在上面兩個(gè)不等式組表示的這表明雙曲線在上面兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，即以直線平面區(qū)域內(nèi)，

29、即以直線 y x和和 y x為邊界的平面區(qū)域內(nèi)為邊界的平面區(qū)域內(nèi)abab雙曲線離心率幾何意義的認(rèn)識(shí)：與橢圓類比提出問題，通過數(shù)形結(jié)合的分析發(fā)現(xiàn)結(jié)論有有關(guān)關(guān)呢呢？是是否否也也與與雙雙曲曲線線的的形形狀狀那那么么在在雙雙曲曲線線中中，程程度度，反反映映了了圖圖形形的的“扁扁”的的橢橢圓圓的的離離心心率率acace 因?yàn)殡p曲線的圖形夾在兩條漸近線 y = x之間，所以 越大，雙曲線的開口就越大 abab 由 可知， 越大，雙曲線的開口就越大； 越小，雙曲線的開口就越小，即 反映了雙曲線的開口的大小21)(abac acacac注意與橢圓、雙曲線的聯(lián)系與區(qū)別建立拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)坐標(biāo)系的理性選擇關(guān)注拋物

30、線方程與性質(zhì)的特殊性讓學(xué)生獨(dú)立探索如何建立拋物線的方程，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系方程特點(diǎn)：無常數(shù)項(xiàng)、一個(gè)一次項(xiàng)、一個(gè)二次項(xiàng)圖形特征：過原點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、非中心對(duì)稱生長(zhǎng)點(diǎn)：拋物線過程：特殊 一般（實(shí)驗(yàn)探索）設(shè)置意圖：整體意識(shí)、數(shù)學(xué)的和諧、 統(tǒng)一美圓錐曲線的統(tǒng)一定義 我們知道，平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線 l（F 不在 l上）的距離之比等于1 的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是拋物線 當(dāng)這個(gè)比值是一個(gè)不等于1 的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡又是什么曲線呢？ 第25節(jié)的思考的功能 (1)代數(shù)形式表達(dá)的幾何意義的價(jià)值； (2)多角度認(rèn)識(shí)同一數(shù)學(xué)對(duì)象 在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們?cè)玫竭@樣一個(gè)式子：將其變形為你能

31、解釋這個(gè)式子的幾何意義嗎？222ycxacxa )(acxcaycx 222)(cycxycx2)()(2222 2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa ),()0 ,(),0 ,(21yxMcFcF，設(shè)設(shè)： 2|21aMFMFMP 橢圓就是集合：橢圓就是集合：22y)cx(xaca 22)(ycxexa exaMF |2exaMF |1（到右焦點(diǎn)距離）（到右焦點(diǎn)距離）（到左焦點(diǎn)距離）（到左焦點(diǎn)距離）222)()(ycxxcae 22)(ycxxaca 222)()(ycxxcaac excaycx 222)(edMFlM |2的的距距離離：到到直直線線

32、表表示示點(diǎn)點(diǎn)caxlMdlM2 橢圓的第二定義：橢圓的第二定義： 到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為常數(shù)之比為常數(shù)e (0e1) 的點(diǎn)軌跡的點(diǎn)軌跡準(zhǔn)線準(zhǔn)線焦點(diǎn)焦點(diǎn)比比溝通橢圓兩種定義之間的聯(lián)系溝通橢圓兩種定義之間的聯(lián)系溝通形與數(shù)之間的聯(lián)系溝通形與數(shù)之間的聯(lián)系 會(huì)用方程表示幾何圖形的性質(zhì)，能會(huì)用方程表示幾何圖形的性質(zhì)，能用等式刻畫曲線上點(diǎn)的特征用等式刻畫曲線上點(diǎn)的特征 會(huì)說出方程表示的曲線的幾何特征，會(huì)說出方程表示的曲線的幾何特征，能對(duì)數(shù)量關(guān)系做出幾何解釋能對(duì)數(shù)量關(guān)系做出幾何解釋突出解析幾何的基本思想概念建立方程探求性質(zhì)從特殊曲線的方程從特殊曲線的方程

33、( (如圓、直線、圓錐曲線等如圓、直線、圓錐曲線等) )概念概念中抽象出一般的中抽象出一般的“曲線的方程曲線的方程”的概念的概念原教材先曲線方程的概念再研究特殊曲線的方程原教材先曲線方程的概念再研究特殊曲線的方程了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體 會(huì)數(shù)形結(jié)合的基本思想熟悉求曲線方程的一般步驟（流程圖）會(huì)求兩條曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的簡(jiǎn)單問題（轉(zhuǎn)化為求解方程組的問題）文理科的區(qū)別(1)圓錐曲線的概念部分：文科直接說明(2)文科對(duì)拋物線的要求是 “了解”(4)文科對(duì)“曲線與方程”不作要求(3)對(duì)“統(tǒng)一定義”，文科作為性質(zhì)了解，而 理科作為定義研究(5)文科在例、習(xí)題上要求有所降低處理方法變化符合認(rèn)知規(guī)律，暴

34、露思維過程符合認(rèn)知規(guī)律，暴露思維過程與原教材比較的幾個(gè)變化結(jié)構(gòu)體系變化 總體編排結(jié)構(gòu)總體編排結(jié)構(gòu)文理分科要求；增加了 “思考”、“探究”和開放性的問題 為學(xué)生個(gè)性發(fā)展提供了空間為學(xué)生個(gè)性發(fā)展提供了空間空間向量與立體幾何選修 21 第三章 空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具 向量是一個(gè)重要的代數(shù)研究對(duì)象。向量的引入使運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了一個(gè)重大跳躍：從數(shù)、字母與代數(shù)式、到向量，運(yùn)算也是從一元到多元。向量又是一個(gè)幾何的對(duì)象，向量本身有方向，有方向就有角度與長(zhǎng)度，能刻畫直線、平面、切線。點(diǎn)乘、叉乘與圖形的面積、體積有著

35、直接的關(guān)系。向量是建立代數(shù)與幾何的一個(gè)橋梁坐標(biāo)法與向量法，用向量來解決問題可以看到代數(shù)問題的幾何背景 向量是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)與物理模型。幾何量和物理量用向量表達(dá)比較簡(jiǎn)潔，處理起來也比較方便，比如：方向、夾角、功、力的運(yùn)算等。在數(shù)學(xué)上，它本身也是一個(gè)重要的研究對(duì)象，比如：向量與向量的加法構(gòu)成了一個(gè)群（V，），向量、實(shí)數(shù)與向量的加法構(gòu)成一個(gè)線性空間（V，R，），向量、范數(shù)、實(shí)數(shù)與向量的加法、數(shù)乘構(gòu)成線性賦范空間（V，R， ）；在分析數(shù)學(xué)方面，還有場(chǎng)論的研究等。這些在數(shù)學(xué)及物理中都有廣泛的應(yīng)用。 在本模塊中，學(xué)生將在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間，運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置

36、關(guān)系的問題，體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力。這些也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量和研究向量奠定一定的基礎(chǔ)，因此，在選修2中設(shè)置了這部分內(nèi)容。 內(nèi)容 (1) 空間向量及其運(yùn)算；(2) 空間向量的應(yīng)用 一、本章主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積空間向量的應(yīng)用平面向量及其運(yùn)算空間線、面的位置關(guān)系空間角和距離的度量空間向量及其運(yùn)算結(jié)構(gòu)二、本章的展開方式與特點(diǎn)二、本章的展開方式與特點(diǎn)必修2：立體幾何初步、解析幾何初步必修4：平面向量選修1：圓錐曲線與方程選修2：圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何選修3：球面上的幾何、對(duì)稱與群、歐拉公式與 閉曲面分類、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充選

37、修4：幾何證明選講、矩陣與變換、極坐標(biāo)與 參數(shù)方程把握?qǐng)D形的能力 空間想象能力推理能力 幾何直覺能力培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生 提升幾何直觀的思想方法，突出用代數(shù)方法解決幾何問題的過程，強(qiáng)調(diào)代數(shù)關(guān)系的幾何意義。幾何課程的定位幾何課程的定位 遵循整體到局部、具體到抽象的原則，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法，認(rèn)識(shí)和探索空間幾何圖形及其性質(zhì)。 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)立體幾何的定位主要作了三個(gè)方面的調(diào)整：強(qiáng)調(diào)把握?qǐng)D形能力的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)空間想象與幾何直觀能力的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)邏輯思維能力的培養(yǎng)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家M.阿蒂亞說過：“幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)

38、地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對(duì)詞更好，即洞察與嚴(yán)格，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用” 新課程對(duì)立體幾何定位的調(diào)整新課程對(duì)立體幾何定位的調(diào)整內(nèi)容展開方式 立體幾何初步的安排是的：空間線線關(guān)系，空間線面關(guān)系，空間面面關(guān)系； 空間向量與立體幾何的安排是的：直線的方向向量與平面的法向量，線面關(guān)系的判定，空間角的計(jì)算 本章先講清直線的方向向量與平面的法向量?jī)蓚€(gè)基本概念，然后從線面關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面）的判定，空間角（包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角、平面與平面所成的角）的計(jì)算兩個(gè)方面研究空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，側(cè)重于應(yīng)用向量解決立體幾何問題的思想方法，而不在

39、于簡(jiǎn)單地用空間向量把立體幾何的有關(guān)概念、判定和性質(zhì)復(fù)述一遍 本章的基本思想本章的基本思想 本章突出了用空間向量解決立體幾何問題的基本思想根據(jù)問題的特點(diǎn)，以適當(dāng)?shù)姆绞剑ɡ鐦?gòu)建向量、建立空間直角坐標(biāo)系）用空間向量表示空間圖形中的點(diǎn)、線、面等元素，建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系；然后通過空間向量的運(yùn)算，研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系（平行、垂直、角和距離等）；最后對(duì)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義作出解釋，從而解決立體幾何的問題教科書還通過例題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決立體幾何問題的三種方法（向量方法、坐標(biāo)法、綜合法）進(jìn)行比較，分析各自的優(yōu)勢(shì)，因題而宜作出適當(dāng)?shù)倪x擇，從而提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力形形數(shù)數(shù)形形三、內(nèi)容解析

40、與教學(xué)建議三、內(nèi)容解析與教學(xué)建議 空間向量及其運(yùn)算，要求讓學(xué)生經(jīng)歷由平面向空間推廣的過程，目的是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過程中的問題，并嘗試如何解決這些問題同時(shí)，在這個(gè)過程中，也讓學(xué)生享受一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣可能帶來很多更好的性質(zhì)，同時(shí)注意空間向量與平面向量的區(qū)別和聯(lián)系教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)類比、歸納、推廣、化歸等思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)注重向量由平面向空間推廣過程的教學(xué) 向量運(yùn)算的引入，使數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了重大變化：從數(shù)、字母與代數(shù)式到向量，這為進(jìn)一步理解其它的數(shù)學(xué)運(yùn)算（如函數(shù)的運(yùn)算、映射、變換、矩陣的運(yùn)算等等）創(chuàng)造了條件特別是當(dāng)學(xué)生利用向量運(yùn)算解決了數(shù)學(xué)中

41、的問題時(shí)（如證明直線與平面垂直的判定定理），就更有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，感悟運(yùn)算、推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法的模式化特點(diǎn)，感受理性思維的力量 體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義 任意兩個(gè)空間向量都可以“平移”到同一平面內(nèi)，也就是說，它們可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示這樣，凡涉及兩個(gè)空間向量的運(yùn)算和位置關(guān)系問題，就可以轉(zhuǎn)化為平面向量來解決因此，空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)、空間向量的數(shù)量積、空間向量的共線和垂直的條件等，與平面向量是完全一樣的在上述相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分讓學(xué)生類比猜想、自主探索，得出相應(yīng)的法則和性質(zhì) 鼓勵(lì)類比猜想、自主探索 利用向量來解決立體幾何問題是

42、學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的重點(diǎn)，要讓學(xué)生體會(huì)向量的思想方法，以及如何用向量來表示點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系在教學(xué)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法、坐標(biāo)法與綜合法，從不同角度解決立體幾何問題 在數(shù)學(xué)2立體幾何初步中，側(cè)重于定性地研究線、面的位置關(guān)系，而本章則借助于空間向量，側(cè)重于定量研究感悟向量的思想方法 共面向量還可以理解為“平行于同一平面的向量”（傳統(tǒng)的定義）為此，還要先規(guī)定向量與平面平行的含義：若表示向量的有向線段平行于平面或在平面內(nèi)，則稱向量與平面平行本書對(duì)共面向量的定義更突出“自由向量”的特征，不出現(xiàn)向量與平面平行的概念，便于學(xué)生接受 新教材：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量 關(guān)于共

43、面向量的定義關(guān)于共面向量定理 空間向量中的共面向量定理與平面向量基本定理不僅在形式上是相同的，而且在本質(zhì)上也是一致的這是因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)空間向量a，b都可以平移到同一個(gè)平面，當(dāng)a，b不共線時(shí)，可以作為基向量，向量p與它們共面，也就是向量p可以平移到這個(gè)平面，所以就能用a，b線性表示1共線向量定理表明，任意一個(gè)向量可以用與它共線的一個(gè)非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的平面向量基本定理表明，任意一個(gè)平面向量可以用與它同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的平面向量基本定理是向量共線定理的推廣，可以看成（在一定范圍內(nèi)的）向量分解“唯一性”定理由一維向二維的推廣由此，可以向?qū)W

44、生提出：在空間向量中，我們還可以作怎樣的推廣呢？引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)探索關(guān)于空間向量基本定理2空間向量基本定理表明，任意一個(gè)空間向量可以用不共面的三個(gè)已知向量來線性表示，而且這種表示是唯一的因此，空間向量基本定理也稱為空間向量分解定理，它為空間向量的坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ) 空間向量基本定理與平面向量基本定理類似，區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中也多了一“項(xiàng)”定理中“存在性”的證明與平面向量基本定理的思路、步驟基本相同，“惟一性”的證明用到反證法，只要求學(xué)生了解即可關(guān)于空間向量的數(shù)量積1由于任意兩個(gè)空間向量都可以轉(zhuǎn)化為平面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和符號(hào)、

45、兩個(gè)空間向量的數(shù)量積等等，都與平面向量相同教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己將平面向量中數(shù)量積的有關(guān)概念、運(yùn)算和方法推廣到空間2要正確使用兩個(gè)向量夾角的符號(hào)a，b例如， , BAC 3空間向量數(shù)量積的幾何意義只要求學(xué)生了解 4空間向量數(shù)量積運(yùn)算律的證明不作要求 ABAC 向量的數(shù)量積是實(shí)施向量等向量的數(shù)量積是實(shí)施向量等式向數(shù)量等式轉(zhuǎn)化的重要途徑式向數(shù)量等式轉(zhuǎn)化的重要途徑 空間線、面的位置關(guān)系中，角反映了它們?cè)诜较蛏系牟町愐虼?，用向量來刻畫這種差異，就先要規(guī)定直線和平面的“方向”，從而引入直線的方向向量和平面的法向量關(guān)于直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量不止一個(gè)，這些方向向量是共線向量；兩條平行直

46、線的方向向量是共線向量因此，研究空間直線與直線、直線與平面的平行與垂直關(guān)系，即研究它們?cè)凇胺较颉鄙系牟町惓潭葧r(shí)，就可以用直線的方向向量來刻畫直線的“方向” 平面的法向量不止一個(gè)，這些法向量是共線向量；兩個(gè)平行平面的法向量是共線向量，也就是說，兩個(gè)平行平面的“方向”是相同的因此，研究空間平面與直線、平面與平面的平行與垂直關(guān)系，即研究它們?cè)凇胺较颉鄙系牟町惓潭葧r(shí)，就可以用平面的法向量來刻畫平面的“方向” 將空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，用直線的方向向量和平面的法向量來表述，是一個(gè)“符號(hào)化”的過程 關(guān)于空間線面關(guān)系的“符號(hào)化” 三垂線定理回答了這樣的問題：平面的斜線與平面內(nèi)怎樣的直

47、線垂直(與斜線在平面內(nèi)的射影垂直的直線垂直)在數(shù)學(xué)2立體幾何中，三垂線定理淡出，只是在例題中用綜合法通過直線與平面的垂直證明過這個(gè)定理(但沒給出“三垂線定理”的名稱)，而這里是通過向量“運(yùn)算”來實(shí)現(xiàn)證明的，這進(jìn)一步凸現(xiàn)了向量方法在研究幾何圖形中的作用關(guān)于三垂線定理的教學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入選修 22 第 3章 （選修 12 第 3 章）一、本章結(jié)構(gòu)虛數(shù)的引入復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的運(yùn)算代數(shù)表示幾何表示幾何意義代數(shù)運(yùn)算 虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像存在與虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像存在與不存在之間的一種兩棲動(dòng)物不存在之間的一種兩棲動(dòng)物 萊布尼茨萊布尼茨 標(biāo)準(zhǔn)將復(fù)數(shù)作為數(shù)系擴(kuò)充的結(jié)果引入，體

48、現(xiàn)了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用以及數(shù)系擴(kuò)充過程中數(shù)系結(jié)構(gòu)與運(yùn)算性質(zhì)的變化這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生與發(fā)展的過程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來自外部的動(dòng)力也有來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的動(dòng)力，從而形成正確的數(shù)學(xué)觀通過復(fù)數(shù)的引入等內(nèi)容學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成理性思維和科學(xué)精神二、內(nèi)容解析與教學(xué)建議二、內(nèi)容解析與教學(xué)建議本章內(nèi)容的定位本章內(nèi)容的展開線索 先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對(duì)，然后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，再把復(fù)數(shù)看成是直角坐標(biāo)系下平面上的點(diǎn)，或把復(fù)數(shù)看成是從直角坐標(biāo)系原點(diǎn)出發(fā)到平面上一點(diǎn)的向量，最后介紹復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義這樣處理可以使學(xué)生充分理解數(shù)

49、系的擴(kuò)充過程、代數(shù)運(yùn)算的意義，從而進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)體系的建構(gòu)過程、數(shù)形結(jié)合思想以及人類理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用 16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（Cardano）在討論問題“將將10分成兩部分，使兩者的乘積等于分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時(shí)，認(rèn)為把答案寫成“5 和5 ”就可以滿足要求： (5 )(5 )5510， (5 ) (5 )55 =25(15) 40 我們知道，在實(shí)數(shù)集內(nèi)，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0 的平方根是0那么， 表示什么意義呢？你也許會(huì)覺得這個(gè)問題有點(diǎn)可笑，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根，因此沒有意義盡管在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)家都認(rèn)為5 和5 這兩個(gè)

50、式子沒有意義，是虛構(gòu)的、想像的，但在解決許多問題時(shí)，使用類似于“ ”這樣的式子卻帶來極大的方便，那么， 能作為“數(shù)”嗎？它真的是無意義的、虛幻的嗎？ 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 章首章首語語 從社會(huì)生活來看，為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要，數(shù)的概念在不斷地發(fā)展著為了計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，為了測(cè)量等需要產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，為了刻畫具有相反意義的量產(chǎn)生了復(fù)數(shù)，為解決度量正方形對(duì)角線長(zhǎng)的問題產(chǎn)生了無理數(shù)，等等31 數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充 教科書教科書 從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，數(shù)集是在按某種“規(guī)則”不斷擴(kuò)充的在自然數(shù)集內(nèi)，加法和乘法的運(yùn)算總可以實(shí)施但是，由于小數(shù)不能減大

51、數(shù)，方程x40無解為此引入負(fù)數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集在整數(shù)集中，加法、減法和乘法總可以實(shí)施但是，由于除法只能解決整除的問題，方程3x20無解為此引入了分?jǐn)?shù)，數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集在有理數(shù)集中，加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不為0）總可以實(shí)施但是，開方的結(jié)果可能不是有理數(shù)，方程x220無解為此引入了無理數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集在實(shí)數(shù)集中，加、減、乘、除（除數(shù)不為0）總可以實(shí)施，并解決了正數(shù)的開方問題教科書教科書 從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集，每一次數(shù)的概念的發(fā)展，新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來數(shù)集中不是總可以實(shí)

52、施的矛盾 現(xiàn)在，在實(shí)數(shù)集內(nèi)，我們又面臨方程x2+10無解，負(fù)數(shù)不能開平方的問題這表明，數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展，實(shí)數(shù)集需要進(jìn)一步擴(kuò)充 實(shí)數(shù)集應(yīng)怎樣擴(kuò)充呢？ 為了使方程x2+10有解，使實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算總可以實(shí)施，實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充就從引入平方等于1的“新數(shù)”開始教科書教科書 數(shù)的概念的發(fā)展與數(shù)系擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求教學(xué)中，應(yīng)突出數(shù)系的擴(kuò)充過程，讓學(xué)生通過回憶以往的學(xué)習(xí)歷程，了解數(shù)集的每一次擴(kuò)充，既是客觀實(shí)際的需要，又是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要從數(shù)的運(yùn)算和解方程的角度感悟“實(shí)數(shù)不夠用了”，從而理解引入虛數(shù)的必要性 突出數(shù)系的擴(kuò)充過

53、程重視復(fù)數(shù)運(yùn)算定義的建構(gòu)過程 復(fù)數(shù)的運(yùn)算是一種新的規(guī)定，它是數(shù)學(xué)體系建構(gòu)過程中的重要組成部分，而不是多項(xiàng)式運(yùn)算法則合情推理的結(jié)果學(xué)生通過類比歸納、運(yùn)算求解，進(jìn)一步體會(huì)在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾，有利于形成對(duì)數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí) 設(shè)設(shè)S S是一個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則是一個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則* *，使對(duì)，使對(duì)S S中中任意兩個(gè)元素有任意兩個(gè)元素有S S中唯一確定的元素與它們對(duì)應(yīng)，那么中唯一確定的元素與它們對(duì)應(yīng)，那么說說* *是是S S的代數(shù)運(yùn)算一般來說，一個(gè)集合上定義了一組的代數(shù)運(yùn)算一般來說，一個(gè)集合上定義了一組運(yùn)算，這

54、組運(yùn)算滿足和數(shù)的性質(zhì)相符合的特定公理，由運(yùn)算，這組運(yùn)算滿足和數(shù)的性質(zhì)相符合的特定公理，由此形成一個(gè)具有結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，那么該集合連同這些運(yùn)算此形成一個(gè)具有結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，那么該集合連同這些運(yùn)算及結(jié)構(gòu)叫做一個(gè)數(shù)系及結(jié)構(gòu)叫做一個(gè)數(shù)系避免繁瑣的計(jì)算和運(yùn)算技巧 在復(fù)數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中，可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算法則來理解和記憶應(yīng)注意避免煩瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練對(duì)于有興趣的學(xué)生，可以安排一些引申的內(nèi)容，如求x31的根，介紹代數(shù)學(xué)基本定理等 感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，可結(jié)合平面解析幾何和平面向量中的有關(guān)知識(shí)來學(xué)習(xí)這種數(shù)形結(jié)合的思想豐富了我們研究問題和解決問題的范圍和手段 教學(xué)中，從實(shí)數(shù)的幾何

55、意義“用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示”出發(fā)，類比聯(lián)想提出復(fù)數(shù)幾何意義的問題后，可讓學(xué)生嘗試、探索如何用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù) 目的要求： 1.使學(xué)生較完整地把握已學(xué)過的數(shù)的擴(kuò)充過程， 確信擴(kuò)充實(shí)數(shù)集的必要性； 2.弄清虛數(shù)單位 i 的含義以及兩個(gè)規(guī)定； 3.理解復(fù)數(shù)的概念及分類； 4.通過數(shù)的概念的發(fā)展和復(fù)數(shù)的分類，培養(yǎng)學(xué)生 辯證唯物主義的思想方法 數(shù)的概念的發(fā)展 （節(jié)選）案例案例把問題改為選擇題： 世界上使用最廣泛的語言是什么語言？ A. 世界語 B. 漢語 C. 英語 D. 數(shù)學(xué)語言 一.引入問題：世界上使用最廣泛的語言是什么語言？ 答案很清楚，是數(shù)學(xué)語言（包括普通語言、符號(hào)語言和圖形語言）。今天

56、我們學(xué)習(xí)一種新的數(shù)學(xué)語言復(fù)數(shù) 有人試圖把勾股定理的符號(hào)形式：a2+b2=c2 作為星際生物通訊的語言。評(píng)注：評(píng)注：把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)僅僅看成解題訓(xùn)練是不全面的數(shù)學(xué)作為一種語言，首先要學(xué)會(huì)用它來表達(dá)思想，如用符號(hào)語言來布列方程解應(yīng)用題；用數(shù)學(xué)邏輯語言寫出證明過程；用坐標(biāo)語言描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；用計(jì)算機(jī)語言指揮計(jì)算等等數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)是：精確、簡(jiǎn)約（無歧義、無含糊不清、通用、速記） 數(shù)學(xué)語言（符號(hào)系統(tǒng)）現(xiàn)在已成為通用的語言，在現(xiàn)代社會(huì)中，許多事物均用數(shù)學(xué)來表征。從基本的度量如長(zhǎng)度、面積、容積、重量到門牌號(hào)碼、電話號(hào)碼、郵政編碼，體格檢查如體溫、血壓、肝功能、血脂、白血球等等，無一不用數(shù)學(xué)來表示。各個(gè)民族都有自

57、己的語言，有些語言為多個(gè)民族所共用，但僅有數(shù)學(xué)的“語言”供世界各民族所共用。數(shù)學(xué)語言是迄今為止惟一的世界通用語言，是一種科學(xué)的語言。 科學(xué)數(shù)學(xué)化、社會(huì)數(shù)學(xué)化的過程，乃是數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用過程；科學(xué)成果也是用數(shù)學(xué)語言表述的，正如伽利略所說： “自然界的偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的。”一切數(shù)學(xué)的應(yīng)用，都是以數(shù)學(xué)語言為其表征的。數(shù)學(xué)語言已成為人類社會(huì)中交流和貯存信息的重要手段。因此，數(shù)學(xué)語言是每個(gè)人都必須學(xué)習(xí)使用的語言，使用數(shù)學(xué)語言可以使人在表達(dá)思想時(shí)做到清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，在處理問題時(shí)能夠?qū)栴}中各種因素之間的復(fù)雜關(guān)系表述得條理清楚、結(jié)構(gòu)分明。二.數(shù)系的擴(kuò)充 教學(xué)上：零、分?jǐn)?shù)負(fù)數(shù)無理數(shù)正整數(shù)集算術(shù)數(shù)集有理

58、數(shù)集實(shí)數(shù)集歷史上：零、負(fù)數(shù)正整數(shù)集正有理數(shù)集正實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集正分?jǐn)?shù)正無理數(shù)無理數(shù)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集零、負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)科學(xué)上：實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)整數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)零分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)注: 有理數(shù)集分?jǐn)?shù)集循環(huán)小數(shù)集; 實(shí)數(shù)集小數(shù)集實(shí)數(shù)的分類： 1. 解決實(shí)際問題的需要 (計(jì)數(shù)、相反意義的量、等分、計(jì)數(shù)、相反意義的量、等分、 分配、測(cè)量等分配、測(cè)量等） 2. 數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要 (運(yùn)算的封閉性、解方程的需要運(yùn)算的封閉性、解方程的需要) 數(shù)集擴(kuò)充的必要性: :結(jié)論： 1.數(shù)的概念在實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展； 2.新數(shù)集是在舊數(shù)集的基礎(chǔ)上添加新元素而擴(kuò)充得來的，而且原有的運(yùn)算律仍然適用； 3.新數(shù)集解決了某些運(yùn)算

59、在舊數(shù)集中不能永遠(yuǎn)實(shí)施的矛盾； 4.在實(shí)數(shù)集內(nèi)，開方運(yùn)算仍不能永遠(yuǎn)實(shí)施。 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，1 有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)立方根；一元一次方程有一個(gè)根，而一元二次方程卻可能沒有實(shí)數(shù)根。這既“不合理”, 也有悖于數(shù)學(xué)的美，何況還有許多問題在實(shí)數(shù)集內(nèi)無法解決！實(shí)數(shù)集必須擴(kuò)充!三.復(fù)數(shù)的引入 為了使方程 x2+10有解，使實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算總可以實(shí)施，實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充就從引入平方等于1的“新數(shù)”開始 為此，我們引入一個(gè)新數(shù) i，叫做虛數(shù)單位并規(guī)定： (1) i21， (2) i可以與實(shí)數(shù)一起按原有的運(yùn)算律進(jìn)行四則運(yùn)算坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程選修系列4 專題41.本專題是“平面解析幾何初步”、“圓錐曲線與方

60、程”的延續(xù)與拓廣2.解析幾何與函數(shù)、三角函數(shù)、向量等內(nèi)容的綜合應(yīng)用內(nèi)容 ：坐標(biāo)系、參數(shù)方程方法 ：代數(shù)形式刻畫幾何圖形3.促進(jìn)數(shù)學(xué)觀念的形成地位與作用 坐標(biāo)系和參數(shù)方程中，數(shù)與形的結(jié)合、相對(duì)與絕對(duì)、運(yùn)動(dòng)與變化、分解與綜合等思想方法十分突出這一內(nèi)容，對(duì)學(xué)生辯證地認(rèn)識(shí)世界以及形成研究的態(tài)度意義重大 內(nèi)容與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系極坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系 平面坐標(biāo)系 中的變換參數(shù)方程曲線的極坐標(biāo)方程意義直線 圓 圓錐曲線意義、互化、應(yīng)用、欣賞平移變換伸縮變換直角坐標(biāo)系編寫意圖與教法建議 坐標(biāo)系是一個(gè)參照系，它是實(shí)現(xiàn)幾何圖形與代數(shù)形式互相轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)坐標(biāo)系u直角坐標(biāo)系復(fù)習(xí)（對(duì)稱、斜率、方程等） 體會(huì)坐標(biāo)系思想u極坐