信號(hào)與系統(tǒng)第6章(2) (3)

1、1第8章 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域與變換域分析8.6 應(yīng)用應(yīng)用Matlab分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析離散時(shí)間系統(tǒng)8.5 數(shù)字濾波器的一般概念數(shù)字濾波器的一般概念8.4 離散系統(tǒng)的頻響特性離散系統(tǒng)的頻響特性8.3 離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)8.2 常系數(shù)線性差分方程的求解常系數(shù)線性差分方程的求解8.1 離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程28.1 8.1 離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程8.1.1 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)可以看成為一個(gè)離散信號(hào)的變換器，當(dāng)輸入信號(hào)xn經(jīng)過該離散系統(tǒng)后，將變換成另一個(gè)序列-輸出信號(hào)yn，

2、其框圖如圖8.1-1所示。最基本的一類系統(tǒng)：線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng) 線性離散系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)是指滿足疊加性與均勻性的離散系統(tǒng)。是指滿足疊加性與均勻性的離散系統(tǒng)。 38.1.1 8.1.1 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)不變離散系統(tǒng)時(shí)不變離散系統(tǒng)是指在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)。即：若激勵(lì)信號(hào)xn產(chǎn)生的響應(yīng)為yn，則激勵(lì)信號(hào)xn - m產(chǎn)生的響應(yīng)為yn - m，即發(fā)生同步延遲。 48.1.1 8.1.1 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)例例8.1-1 設(shè)某離散系統(tǒng)激勵(lì)xn與響應(yīng)yn之間的關(guān)系為 yn = nxn，判斷該系統(tǒng)

3、是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。解：解： 設(shè)y1n和y2n分別為輸入x1n和x2n的響應(yīng)，即 y1n = nx1n，y2n = nx2n（1）當(dāng)xn= ax1n時(shí)，yn = n(ax1n) = anx1n = ay1n， 該系統(tǒng)滿足均勻性。（2）當(dāng)xn = x1n+x2n時(shí)， yn = n(x1n +x2n)= nx1n +nx2n= y1n+ y2n 該系統(tǒng)滿足疊加性。所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（3）當(dāng)xn= x1n-m時(shí)，yn = nx1n-m。而y1n-m=(n-m)x1n-m， 顯然yn y1n-m， 該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)（或稱時(shí)變系統(tǒng)）不是時(shí)不變系統(tǒng)（或稱時(shí)變系統(tǒng)）。綜合以上

4、討論，該系統(tǒng)是一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)。 58.1.1 8.1.1 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)例例8.1-2 判斷滑動(dòng)平均濾波器的線性特性及時(shí)不變特性。廣義的滑動(dòng)平均系統(tǒng)的輸出yn與輸入xn滿足以下關(guān)系 21121 T 1MkMy nx nx nkMM解：解：假設(shè) y1n =Tx1n和y2n = Tx2n，即y1n和y2n分別為輸入x1n和x2n時(shí)的輸出信號(hào)。（1）當(dāng)輸入信號(hào)為xn= ax1n時(shí)，輸出信號(hào)為2111121 T 1MkMy nax nax nkMM因而該系統(tǒng)滿足均勻性。211112 1MkMax nkay nMM68.1.1 8.1.1 線性時(shí)不變離散時(shí)間系

5、統(tǒng)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)（2）輸入信號(hào)為xn= x1n+x2n時(shí)，輸出信號(hào)為212211121112121212121 T ( )11111 MkMMMkMkMynx nx nx n kx n kMMx n kx n kMMMMy ny n21111121 T 1MkMy nx nmx nmky nmMM該系統(tǒng)滿足疊加性，所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（3）假設(shè)輸入信號(hào)為xn= x1n-m，則輸出信號(hào)為因而該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。綜合以上討論，該系統(tǒng)是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。78.1.2 8.1.2 差分方程差分方程離散時(shí)間系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元符號(hào)離散時(shí)間系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元符號(hào) 88.1.2 8.1.2 差分方

6、程差分方程例例8.1-3 考察圖8.1-5所示的離散系統(tǒng)，它由移位、相加、乘系數(shù)等三個(gè)基本單元組合而成，試寫出其激勵(lì)xn和響應(yīng)yn之間關(guān)系的差分方程。乘系數(shù)單元：輸入為yn-1，輸出為ayn-1；加法器單元：輸入為xn和ayn-1，輸出為yn。因此，針對(duì)加法器可以寫出： yn = xn + ayn-1移項(xiàng)整理可得： yn-ayn-1 = xn(8.1-2)-一階常系數(shù)線性后向差分方程一階常系數(shù)線性后向差分方程 解：解：單位移位（延時(shí)）器：輸入為yn，輸出為yn-1；98.1.2 8.1.2 差分方程差分方程-一階常系數(shù)線性前向差分方程一階常系數(shù)線性前向差分方程 例例8.1-4 將圖8.1-5所

7、示的離散系統(tǒng)中的延時(shí)器位置稍做調(diào)整，組成如圖8.1-6所示的系統(tǒng)，試寫出其輸入、輸出關(guān)系式。延時(shí)器的輸出為yn，則輸入必為yn+1，即加法器輸出為yn+1，針對(duì)加法器可寫出 yn+1 = xn + ayn解：解：即 yn+1-ayn = xn (8.1-3)108.1.2 8.1.2 差分方程差分方程yn-a1yn-1-a2yn-2 = b0 xn + b1xn-1 + b2xn-2 (8.1-4)例例8.1-5 對(duì)圖8.1-7所示的離散系統(tǒng)，試寫出其輸入、輸出關(guān)系式。解：解：118.1.2 8.1.2 差分方程差分方程差分方程的求解方法差分方程的求解方法 1遞推解法（迭代法）2時(shí)域經(jīng)典法3零

8、輸入、零狀態(tài)響應(yīng)解法4z變換法 例：例：yn-ayn-1 = xn設(shè)輸入 xn=n，并假設(shè) y-1=0， y0 = x0 + ay-1 = 1y1 = x1 + ay0 = ay2 = x2 + ay1 = a 2yn = xn + ayn-1 = a n此范圍僅限于n 0，故 yn = anun5狀態(tài)空間分析法128.2 8.2 常系數(shù)線性差分方程的求解常系數(shù)線性差分方程的求解00NMkrkra y nkb x nr(8.2-2)8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解一般地，常系數(shù)線性差分方程的解由齊次解和特解解由齊次解和特解組成。 式(8.2-2)

9、所對(duì)應(yīng)的齊次方程的形式為：00Nkka y nk(8.2-3)齊次差分方程的齊次解為齊次差分方程的齊次解為h1122 nnnNNy nCCC(8.2-9)138.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解經(jīng)典法求解其中其中 1， 2， N為差分方程為差分方程(8.2-2)或或(8.2-3)的特征方程的特征方程（8.2.8）特征根，且是單根。）特征根，且是單根。 h1122 nnnNNy nCCC(8.2-9)10110NNNNaaaa(8.2-8) 系數(shù)C1，C2，CN是由差分方程邊界條件決定的系數(shù)。 例例8.2-1 設(shè)描寫某系統(tǒng)的齊次差分方程為 yn -

10、0.7yn-1 + 0.1yn-2 = 0， 并設(shè) y-1= -26，y-2= -202， 求該差分方程的齊次解。148.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解差分方程的特征方程為： 2 0.7 + 0.1=0求得特征根為：1 = 0.2，2 = 0.5，于是齊次解為：yn = C1(0.2)n + C2(0.5)n將已知的邊界條件y1= 26，y2= 202代入原方程式，通過迭代求出y0和y1：y0 = 0.7 y1 0.1 y2 = 18.2 + 20.2 = 2y1 = 0.7 y0 0.1 y1 = 1.4 + 2.6 = 4將y0和y

11、1分別代入上述解中，得到一組聯(lián)立方程12122 4 (0.2) (0.5)CCCC由此求得系數(shù), C1 = 10，C2 = 12，則方程的解為 yn = -10 (0.2)n + 12 (0.5)n解：解：158.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解特征方程有重根特征方程有重根 假定1是特征方程式的K重根，那么，在齊次解中，相應(yīng)于 1的部分將有K項(xiàng) 121121111KnKnnnKKC nC nCnC(8.2-10)例例8.2-2 求下述差分方程的齊次解。 yn -2yn-1 +2yn-2 -2yn-3+ yn-4 = 0已知邊界條件為： y

12、1=1, y2 =0, y3 =1, y5 =1。解解：特征方程為 4-23 +2 2 -2 +1 = 0 即 ( -1)2(2 + 1) = 0特征根為 1 = 2 =1（二重根），3 = j, 4 = -j（共軛復(fù)根）168.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解特征方程有重根特征方程有重根 j/2j/212341234 j( j)eennnny nC nCCCC nCCC12=cossin22nnC nCPQ 1 = C1+C2+Q 0 = 2C1+C2-P 1 = 3C1+C2-Q 1 = 5C1+C2+Q由上述方程組解得 C1 = 0

13、, C2 = 1, P = 1, Q = 0從而有 1cos2ny n 178.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解 例例8.2-3 圖8.2-1是一個(gè)鏈形電阻網(wǎng)絡(luò)，設(shè)信號(hào)源的電壓為x(t)，試確定輸出端的電流y(t)（注：本例的鏈形網(wǎng)絡(luò)不是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，因?yàn)閚不是時(shí)間變量，而是表示節(jié)點(diǎn)的序號(hào)，如前所述差分方程中變量的選取因具體函數(shù)而異，并不僅限于時(shí)間）。0( )vRy t102( )3( )vvRy tRy t解：根據(jù)該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和電阻值，設(shè)從右往左數(shù)的第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的對(duì)地電壓為vn，則有188.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線

14、性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解 111222v nv nv nv nv nRRR 4 120v nv nv n2410 1223,2312 (23)(23)nnv nCC對(duì)2 n 100的節(jié)點(diǎn)，則有 整理后得 該二階差分方程式的特征方程為 特征根為 于是節(jié)點(diǎn)電壓的一般表達(dá)式為 198.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解12120( ) 1(23)(23)3( )vCCRy tvCCRy t根據(jù)初始條件，有 123333( ) ( ) 66CRy tCRy t1 (33)(23)(33)(23) ( )6nnv nRy t100

15、1006( )( )(33)(23)(33)(23)x ty tR所以 從而有 顯然，當(dāng)n = 100時(shí)，有v100 = x(t)，于是求得208.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解特解的求解特解的求解 (C0+C1n+C2n2+ Cr-1nr-1+Crnr )n（是方程的r重特征根）nCe nCn（不是方程的特征根）nC0+C1n+C2n2+ Ck-1nk-1+CknkC1sin n+C2cos nsin n（ cos n）C0+C1nA e j n（A為復(fù)數(shù)）e j nB（常數(shù)）特 解 形 式自 由 項(xiàng)特 解 形 式e n（為實(shí)數(shù)）n

16、knC（常數(shù)）自 由項(xiàng)218.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解 2 1 1y ny nx nx n2 x nnh ( 2)ny nC2 x nn21n 例例8.2-4 求差分方程的完全解。解：（1）齊次解為代入差分方程的右端，得自由項(xiàng)為p12 y nD nD從而特解為 11y ，且邊界條件為其中激勵(lì)信號(hào)為（2）將其中，D1和D2為待定系數(shù)，代入原方程得12133221D nDDn228.2.1 8.2.1 線性常系數(shù)差分方程的時(shí)線性常系數(shù)差分方程的時(shí)域經(jīng)典法求解域經(jīng)典法求解比較兩端系數(shù)得到 122 /3,1/9DDhp21 ( 2)39n

17、y ny ny nCn 11y 11( 2)2/3 1/9C hp821 ( 2)939ny ny ny nnp21 39y nn所以特解為完全解為 （3）將邊界條件代入上式，可得從而C = 8/9所以完全響應(yīng)為 238.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解1NnkkkC 自由響應(yīng)齊次解 (8.2-11)強(qiáng)迫響應(yīng) = ypn = 特解 (8.2-12)p1 NnkkkCy n完全解 (8.2-13)完全響應(yīng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) + 零狀態(tài)響應(yīng)248.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸

18、入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解若系統(tǒng)的激勵(lì)序列xn = 0，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y-1, y-2, , y-N 引起的響應(yīng)，稱為離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，常用yzi n表示。零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：若激勵(lì)序列xn在n = 0時(shí)接入系統(tǒng)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)指 y-1 = y-2 = = y-N = 0，此時(shí)，僅由激勵(lì)序列xn所引起的響應(yīng)，稱為離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，常用yzsn表示。零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)： yn = yzin + yzsn(8.2-14)258.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解pzizsp111

19、 NNNnnnkkkkkkkkky nCy nCCy n (8.2-17) 強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)例例8.2-5 已知某系統(tǒng)的差分方程為11 1 23y ny nu n試分別求下面兩種起始狀態(tài)下的完全響應(yīng)。 （1）y1 = 0， （2）y1 = 1268.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解解：解： （1）齊次解為 h1 2ny nC12 23ny nCzs112 323ny nynu n當(dāng)n 0時(shí)，方程右端自由項(xiàng)為常數(shù)1/3，故可假設(shè)特解為D，將其代入差分方程，解得D = 2/3。從而完全解為再將y-1

20、 = 0代入yn，可得到C = -1/3。所以完全響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）寫為278.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解（2）齊次解為 h1 2ny nC12 23ny nC112 623ny nu n當(dāng)n 0時(shí)，方程右端自由項(xiàng)為常數(shù)1/3，故可假設(shè)特解為D，將其代入差分方程，解得D = 2/3。從而完全解為再將y-1 = 1代入yn，可得到C = 1/6。所以完全響應(yīng)為288.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解（3）零輸入響應(yīng)為 zi1 2ny

21、nAp1 2nzsynBy n當(dāng)n 0時(shí)，方程右端自由項(xiàng)為常數(shù)1/3，故可假設(shè)ypn為D，將其代入差分方程，解得D = 2/3。再將y-1 = 1代入yzin，可得到A = 1/2。所以yzin 為zi1 1 2 2nyn零狀態(tài)響應(yīng)為 298.2.2 8.2.2 線性常系數(shù)差分方程的零線性常系數(shù)差分方程的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)求解zizs112 623ny nynynu n考慮零狀態(tài)條件，即y-1 = 0代入yn，可得到B = -1/3。所以零狀態(tài)響應(yīng)為zs112 323nynu n完全響應(yīng)為：308.2.3 8.2.3 線性常系數(shù)差分方程的線性常系數(shù)差分方程的z z變

22、換法求解變換法求解00NMkrkra y nkb x nr(8.2-2) x nx n u n輸入信號(hào)為，, y2, y1，兩邊做單邊z變換，得代數(shù)方程 100( ) ( )NMklrkrklkra zY zy l zb zX z(8.2-19)，起始狀態(tài)為y-N, y-N + 1,10000 ( )( )NMklrkrklkrNNkkkkkka zy l zb zY zX za za z(8.2-21) 318.2.3 8.2.3 線性常系數(shù)差分方程的線性常系數(shù)差分方程的z z變換法求解變換法求解1120.7 10.1 10.1 2( )10.70.1yzyyY zzz11222.62 (1

23、.3)1210( )(0.5)(0.2)0.50.210.70.1zz zzzY zzzzzzz例例8.2-6 用z變換法重解例8.2-1的差分方程。解：對(duì)差分方程兩邊取單邊z變換。根據(jù)時(shí)移性質(zhì)可得 Y(z) - 0.7z-1Y(z) + y-1 + 0.1z-2Y(z) + z-1y-1 + y-2 = 0 代入起始條件y1 = 26和y2 = 202，并進(jìn)行部分分式展開求其逆變換，得到零輸入響應(yīng)為12(0.5)10(0.2) nnu nyn = 328.2.3 8.2.3 線性常系數(shù)差分方程的線性常系數(shù)差分方程的z z變換法求解變換法求解 1 y ny nnu n111 1( )( )11

24、yY zX zzz23133( )11(1)(1)zzzzY zzzzzz例例8.2-7 用z變換法求解差分方程， 其中已知y-1=1。解：解：對(duì)差分方程兩邊取單邊z變換。根據(jù)時(shí)移性質(zhì)可得 Y(z) - z-1Y(z) + y-1 = X(z) 2( )(1)zX zz代入和起始條件y1 = 1， 得到(1)(1)1 1 22n nn nu nu nu nyn =338.3 8.3 離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)8.3.1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)定義定義：離散時(shí)間系統(tǒng)受單位樣值信號(hào)n激勵(lì)而產(chǎn)生的，稱為單位樣值響應(yīng)（也稱為單位沖激響應(yīng)），一般以hn表示。hn在

25、離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用，完全類似于連續(xù)系統(tǒng)中的由 (t)引起的沖激響應(yīng)h(t)。)()(ttx系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：( )( )zsyth t x nn系統(tǒng)離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)： zsynh nhn的求法：的求法： 1、迭代法；、迭代法； 2、z變換法變換法348.3.1 8.3.1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)例例8.3-1：已知已知yn-1/3yn-1=xn, 試求其單位樣值響應(yīng)試求其單位樣值響應(yīng) hn。對(duì)于因果系統(tǒng)，對(duì)于因果系統(tǒng)， h-1=0 , x-1=-1=0210 100113111013311212( )3311 1 ( )33nhhhhhhh nh nn 1,01 330,0nnnh

26、 nu nn yn - 1/3 yn-1 = xnhn - 1/3hn-1 = n- 齊次解的形式解解358.3.1 8.3.1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng) ) 3)(2(365365131)()(222212zzzzzzzzzzXzYzH 解：解：對(duì)上述差分方程取z變換 zXzzYzz)31 ()651 (2213222121)3)(2(3)(2zzzzzzzzzH例例(補(bǔ)充補(bǔ)充): 已知因果系統(tǒng)的差分方程為已知因果系統(tǒng)的差分方程為 5 16 2 3 2y ny ny nx nx n求求hn。368.3.1 8.3.1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)3222121)(zzzzzH11 2 2 3 2

27、2nnh nnu nu n 11 (2 32) 2nnnu n 11 (2 32) 122nnnnnu n 1 5 1(2 32) 2nnnnu n378.3.1 8.3.1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)0 mu nnm0 mg nh nm 1nu nu nu n 例例8.3-4 試?yán)镁€性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，討論離散系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)un的零狀態(tài)響應(yīng)單位階躍響應(yīng)gn與單位樣值響應(yīng)hn之間的關(guān)系。解：解：由式(7.1-4)第一個(gè)等號(hào)，知利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)不變特性和疊加性，有 另一方面，根據(jù)式(7.1-5)，得從而有 1h ng ng ng n (8.3-2)(8.3-1)388.3.1 8.3.

28、1 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng)h(n)與系統(tǒng)穩(wěn)定性及因果性的關(guān)系與系統(tǒng)穩(wěn)定性及因果性的關(guān)系:離散穩(wěn)定系統(tǒng) nnh| |離散因果系統(tǒng) 0, 0nnhnunhnh或8.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積和卷積和 mx nx mnm根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)， 有 zsmynx m h nm x nh n因?yàn)?8.3-3)398.3.2 8.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積和卷積和式(8.3-3)說明，對(duì)于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，其零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)信號(hào)和其單位樣值響應(yīng)的卷積和。這一特點(diǎn)類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的意義，而且其

29、計(jì)算方法也類似于卷積積分的四個(gè)步驟，即包括反四個(gè)步驟，即包括反褶、時(shí)移、相乘、求和褶、時(shí)移、相乘、求和。當(dāng)然也可以用變換域方法實(shí)現(xiàn)。在7.1.3節(jié)我們已給出了卷積和的定義及其計(jì)算的一個(gè)簡單示例。 408.3.2 8.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積和卷積和hn或hmxn或xmn或mn或m1)當(dāng)n0時(shí)，hn-m 和xm相乘為零。 yn=0例：例：某系統(tǒng)某系統(tǒng)hn=an un, 0a0，hn恒為正值，且（2）pm 0時(shí)的情況相同。nmp規(guī)律變化的正弦序列分量。568.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

30、單位樣值響應(yīng)絕對(duì)可和。 nh n nnH zh nh n zZ Z nnnnH zh n zh n z 令 則：1z nH zh n 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是H(z)的收斂域必須包含單位圓。的收斂域必須包含單位圓。578.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果系統(tǒng)的充分必要條件是單位樣值響應(yīng)是因果序列，即 , 0 0, 0h nnh nn從而：系統(tǒng)函數(shù)的收斂域?yàn)?| z | R_下面討論幾種不同的系統(tǒng)。（1）因果系統(tǒng)（）因果系統(tǒng)（hn為因果信號(hào)）為因果信號(hào)）1xR1)Re(z)Im(zj收斂域?yàn)?xRz 則則 H(z)的

31、全部極點(diǎn)落在單位圓內(nèi)。的全部極點(diǎn)落在單位圓內(nèi)。如果收斂域應(yīng)包含單位圓，即11xR因而系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。588.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（2）若）若hn為左邊序列為左邊序列收斂域?yàn)?xRz 2xR1)Re(z)Im(zj如果收斂域包含單位圓，即12xR則則 H(z)的全部極點(diǎn)落在單位圓外。的全部極點(diǎn)落在單位圓外。因而系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。收斂域?yàn)?1xxRzR則則 H(z)有些極點(diǎn)落在單位圓內(nèi)，有些極點(diǎn)落在單位圓內(nèi)，有些極點(diǎn)落在單位圓外。有些極點(diǎn)落在單位圓外。如果收斂域應(yīng)包含單位圓，即1, 121xxRR（3）若）若hn為雙邊序列為雙邊序列1xR1)R

32、e(z)Im(zj2xR598.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性解：解：(1) 0.5 nh nu n因果、穩(wěn)定5 . 01)Re(z)Im(zj21)Re(z)Im(zj(3) 21nh nun (2) 2 nh nu n21)Re(z)Im(zj因果、非穩(wěn)定非因果、穩(wěn)定例例7-22：檢驗(yàn)下列系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。檢驗(yàn)下列系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。5 . 05 . 0)() 1 (zzzzH22)()2(zzzzH22)()3(zzzzH(4)( )0.52(0.5)(2)zH zzzz608.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系

33、統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性(4)( )0.52(0.5)(2)zH zzzz非因果、穩(wěn)定0.51)Re(z)Im(zj22 0.5 213nnh nu nun 618.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性例：例：對(duì)于下列差分方程所表示的離散因果系統(tǒng)對(duì)于下列差分方程所表示的離散因果系統(tǒng) 0.2 10.24 2 1y ny ny nx nx n(1)求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(z), 并說明它的收斂域及系統(tǒng)的穩(wěn)定性；并說明它的收斂域及系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(2)求單位樣值響應(yīng)求單位樣值響應(yīng)hn；(3)當(dāng)激勵(lì)當(dāng)激勵(lì) xn為單位階躍序列時(shí)，求零狀態(tài)響應(yīng)為單位階躍序列時(shí)，求零狀態(tài)響應(yīng)

34、yzsn解：解：(1)將差分方程兩邊取z變換，得)()()(24. 0)(2 . 0)(121zXzzXzYzzYzzY于是)6 . 0)(4 . 0() 1()()()(zzzzzXzYzH628.3.5 8.3.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性H(z)的極點(diǎn)為0.4和0.6，因?yàn)槭且蚬到y(tǒng)，所以收斂域|z|0.6，因此該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) 將H(z)/z展成部分分式，得到6 . 04 . 04 . 04 . 1)(zzzzzH 1.4(0.4)0.4( 0.6) nnh nu n(3)若激勵(lì)xn=un,則1)(zzzX)6 . 0)(4 . 0)(1() 1(

35、)()()(2zzzzzzXzHzY2.080.930.1510.40.6zzzzzz 2.080.93(0.4)0.15( 0.6) nny nu n638.4 8.4 離散系統(tǒng)的頻響特性離散系統(tǒng)的頻響特性 8.4.1 8.4.1 離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的意義離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的意義 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性（簡稱頻響特性），反映了離散系統(tǒng)在正弦序列激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率變化的情況。 jn Tx nAe設(shè)式中：jAAe ()() jnTjTjTy nh nx nAeH eH ex n系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：其中：其中：0() ( )j Tj Tj Tnz enH eh n eH z

36、 - 離散系統(tǒng)頻響特性離散系統(tǒng)頻響特性（8.4-3）648.4.1 8.4.1 離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的意義離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的意義( )()()jjjH eH ee T 0() ( )jjj nz enH eh n eH z（8.4-4） 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是 的連續(xù)的周期函數(shù)，其的連續(xù)的周期函數(shù)，其周期是周期是2 。這是離散系統(tǒng)不同于連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)突出。這是離散系統(tǒng)不同于連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)突出特點(diǎn)。特點(diǎn)。()jH e- 幅頻特性幅頻特性- 相頻特性相頻特性( ) 所以式（8.4-3）有可改寫為：（8.4-5）65|H(ej)| 2 c2 2 2 2668.4.2 8.4.2

37、 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)也可以由H(z)在z平面上零極點(diǎn)分布來判斷。12100121()()()()( )()()()()MrMrNNmmzzzzzzzzH zHHzpzpzpzp( )101()()|()|()MjrjjjrNjmmezH eHH eeep 分子分子：rjjrrezAe分母分母：mjjmmepB e678.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定幅頻特性 1Mrr1Nmm () = (8.4-7)j(e)H11MrrNmmAB= | H0 |(8.4-6)相頻特性( )101()()|()|()MjrjjjrNjmmezH eHH eee

38、p 688.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定圖8.4-2 離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(ej)的幾何確定法698.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定例例8.4-1：求下圖所示一階因果離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。求下圖所示一階因果離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。xna1zyn解解 : 該一階系統(tǒng)的差分方程為 1 y nay nx n 它是因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為( )zH zza頻率響應(yīng)為1()(1cos )sinjjjeH eeaaja708.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定幅頻特性為j(e)H2112 cosaa= sin1cosaa () = arct

39、an相頻特性為（1）當(dāng) 0 a 1時(shí)：718.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定幅頻特性為j(e)H2112 cosaa= sin1cosaa () = arctan相頻特性為（2）當(dāng) 1 a 0時(shí)：728.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定例例8.4-2 分析圖8.4-5所示二階離散系統(tǒng)的幅頻特性。解：解： 0.9 10.81 21y ny ny nx n81. 09 . 081. 09 . 01)(2211zzzzzzzH323119 . 0,9 . 0, 0jjepepz738.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定112jj

40、j()j1jj /3jj /3e12e(e )( )e(e0.9e)(e0.9e)zAHH zBB j(e )H112AB B121B B112( )=() 748.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定例例8.4-3 證明圖8.4-7(a)所示系統(tǒng)為二階全通離散系統(tǒng)。其中bl, b2為實(shí)數(shù)，且滿足b12 4b2 0。 證明證明：圖示系統(tǒng)的差分方程為 yn + b1yn 1 + b2yn 2 = b2xn+ b1xn 1 + xn 2758.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定yn + b1yn 1 + b2yn 2 = b2xn+ b1xn 1 + xn

41、 2zbzbzbbzzbzbzzbbzH112211221121121)(1221122122()coscos sinsincoscos sinsinjjjjjebb eH eb ebebbj bbbj b()1jH e-全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)768.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定122212112212121( )1bb zzb zb zH zb zb zzb zb全通系統(tǒng)的特點(diǎn)：21111()()()()b zzzzzpzp212(40)bb2121142bjbbp21211242bjbbzb212|pb2121|zb778.4.2 8.4.2 頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響

42、應(yīng)的幾何確定11,jjprepre1111,jjzezerr令： 788.5 8.5 數(shù)字濾波器的一般概念數(shù)字濾波器的一般概念8.5.1 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 hn或或H(z) x n y n y nh nx n)()()(zXzHzY()()()jjjY eH eX e（8.5-1）輸入序列xn的頻譜X(e j)經(jīng)過濾波器后變?yōu)檩敵鲂蛄衴n的頻譜Y(e j)。 798.5.1 8.5.1 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理的一般過程808.5.2 8.5.2 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)解：解：（1）直接形式）直接形式例例8.5-1：分別用直

43、接形式、級(jí)聯(lián)形式和并聯(lián)形式模擬系統(tǒng)：32132353142)(zzzzzzH)(zY3)(zX1z51z1z423818.5.2 8.5.2 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu))321)(1 ()2(2353142)(21121132132zzzzzzzzzzzzH（2）級(jí)聯(lián)形式）級(jí)聯(lián)形式11112)(zzzH212123212)(zzzzzH)(zY)(zX31z221z21z1828.5.2 8.5.2 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)2311212311224( )1 3531123zzzzzH zzzzzzz（3）并聯(lián)形式）并聯(lián)形式,1)(111zzzH21212321)(zzzzzH)(zY)

44、(zX31z1z21z11838.6 8.6 應(yīng)用應(yīng)用MatlabMatlab分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析離散時(shí)間系統(tǒng)Filter- 計(jì)算對(duì)于指定時(shí)間范圍的激勵(lì)序列的響應(yīng)Conv-求兩個(gè)有限時(shí)間區(qū)間非零的離散時(shí)間序列卷積和Freqz-分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)Tf2zp，zp2tf-提供系統(tǒng)函數(shù)的兩種不同形式的轉(zhuǎn)換Zplane-可以繪制零極點(diǎn)分布圖的函數(shù)Impz- 計(jì)算系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的函數(shù)848.6 8.6 應(yīng)用應(yīng)用MatlabMatlab分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析離散時(shí)間系統(tǒng)0.2z 4j10.8ep4j20.8ep例例8.6-1 已知離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分別為：解： 繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，并繪出系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)hn的時(shí)域波形z=0.2;p=0.8*exp(pi*i/4);0.8*exp(-pi*i/4);k=1;subplot(121);zplane(z,p);a,b=zp2tf(z,p,k);subplot(122);impz(a,b,20);title(hn); 858.6 8.6 應(yīng)用應(yīng)用MatlabMatlab分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析離散時(shí)間系統(tǒng)868.6 8.6 應(yīng)用應(yīng)用MatlabMatlab分析離散時(shí)間系統(tǒng)分析離散時(shí)間系統(tǒng)2 3 12 2 1y ny ny nx nx n 4sin 5nx nu n例8.6-2 已知離散