南開大學數(shù)學系考研真題

1、2003南開大學年數(shù)學分析一、 設其中有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：令u=x+y,v=x-y,z=x則；二、 設數(shù)列非負單增且，證明解：因為an非負單增，故有由；據(jù)兩邊夾定理有極限成立。三、 設試確定的取值范圍，使f(x)分別滿足：（1） 極限存在（2） f(x)在x=0連續(xù)（3） f(x)在x=0可導解：（1）因為=極限存在則2+知(2)因為=0=f(0)所以要使f(x)在0連續(xù)則（3）所以要使f(x)在0可導則四、設f(x)在R連續(xù)，證明積分與積分路徑無關解；令U=則=又f(x)在R上連續(xù)故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=所以積分與路徑無關。 （此題應感謝小毒物提供思路）五、 設f(x)

2、在a,b上可導，且,證明證：因f(x)在a,b可導，則由拉格朗日中值定理，存在即有六、設單減而且收斂于0。發(fā)散a) 證明b) 證明其中；證：（1）因為而單減而且收斂于0據(jù)狄利克萊判別法知（2）因為正項級數(shù)發(fā)散則又由上題知故有七、設證明（1）在一致收斂（2） 在連續(xù)證：（1）因收斂（可由狄利克萊判別法判出）故在t>=0上一致收斂；又在x>=1,t>=0 單調(diào)且一致有界由阿貝爾判別法知一致收斂（2）由上題知，F(xiàn)（t）在一致收斂，且由在（x,t）上連續(xù)知F（t）在連續(xù)所以在連續(xù)，由的任意性得證八、令是a,b上定義的函數(shù)列，滿足（1）對任意是一個有界數(shù)列（2）對任意，存在一

3、個求證存在一個子序列在a,b上一致收斂證：對任意，是一個有界數(shù)列故由致密性定理存在一收斂子列，設為，又令U=則U為a,b的一個開覆蓋集，由有限覆蓋定理，存在有限個開區(qū)間覆蓋a,b，不妨設為于是對>0，有令則由條件（2）知對上述于是+由柯西準則得證。2004年南開大學數(shù)學分析試題答案1. 2. ,=3.即證明，即證設，證完。4.= 5.設P=，Q=，積分與路徑無關，則6. ,又當時，收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，原題得證7.由拉格朗日定理，其中，原題得證8.（1）應用數(shù)學歸納法，當時命題成立，若當時命題也成立，則當時，由歸納假設連續(xù)。（2）（3）由單調(diào)遞減趨于，與都連續(xù)，由地尼定理，該收斂為一致收

4、斂。9.(1)證明：取，代入式中得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增有下界，從而存在右極限，則；，由題設可得，即從而，所以導函數(shù)遞增。(2)參考實變函數(shù)的有關教材。2005年南開大學數(shù)學分析試題答案2.，其中由 求出3.4.在上單調(diào)一致趨于0，則在上一致收斂，又在上連續(xù)，則在上連續(xù)。5.由泰勒公式，則，后者收斂，則原級數(shù)收斂。6.由拉格朗日中值定理，后者收斂，由魏爾特拉斯定理，原級數(shù)一致收斂。由一致收斂，則可以逐項求導，也一致收斂且連續(xù)，故連續(xù)可導7.反證：設存在有，不妨設，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，知道存在一個鄰域當時，則存在一個圓周與已知矛盾。8.當時，時，綜上，若對任意的有，則在時，不存在，矛盾。設當

5、時，當時，兩邊對積分即可6. ，由在上有定義，則在上有界，則可以得到在上連續(xù)。，則，則 則單調(diào)遞增有下界，存在右極限，存在，同理存在，由極限的保不等式性可得2003年中國科學院數(shù)學研究院數(shù)學分析試題答案1. （1）當時，當時，當時，當時，（2）當時，=（3）當時，當時，當時，當時，2. 當時， ，從而連續(xù)；當時，存在；當時， ,3.即證：，當時，設，所以，當時，設，所以，4. 5.假設存在常數(shù)M，積分矛盾6.作代換=7.橢球面的切向量為，切點為和8. 當時，相加：令，所以9由含參量積分的性質(zhì)，科院2006年數(shù)學分析試題參考解答1求a,b使下列函數(shù)在x=0處可導:解：由于函數(shù)在x=0處可導，從而

6、連續(xù)，由得到b=1;又由得到a=0.即得。2 證明: 用反證法。 由知，均為正項級數(shù)。假設級數(shù)收斂，則，于是有，從而由正項級數(shù)的比較判別法知級數(shù)收斂，矛盾，從而得證。3 解：從而即得解。（利用余元公式、換元、函數(shù)更為簡單）4 證明：知,從而令有從而得證。 5證明: 6 證明: 我們先來證明一個不等式，一般的稱為Cauchy-Schwarz不等式，即定理1 7 證明：8 設曲線的周長和所圍成的面積分別為L和S，還令，則.證明：由對稱性知9 解： 為證明=I，我們先來證明一個定理：定理2 設在|x|<R內(nèi)收斂，若也收斂，則 回到題目，看數(shù)項級數(shù)收斂，設=，|x|<1,由定理2即知 =I

7、.10 解: 這是星形線，充分考慮到對稱性(x=0,y=0,x=y,x=-y)，有北京大學20051設，試求和.解: 當然此上極限可以令.此下極限當然可以令1. (1)設在開區(qū)間可微，且在有界。證明在一致連續(xù).證明:由存在.這顯然就是(2) 設在開區(qū)間可微且一致連續(xù)，試問在是否一定有界。（若肯定回答，請證明；若否定回答，舉例說明）證明:否定回答.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù).所以顯然此而3設. (1)求的麥克勞林展開式。(2)求。 . 又由于 比較系數(shù)有：，接下來，若 中 ，此時令 有。 同理可得：， 。綜合得： 4試作出定義在中的一個函數(shù)，使得它在原點處同時滿足以下三個條件： （1）的兩個偏導數(shù)

8、都存在；（2）任何方向極限都存在；（3）原點不連續(xù) 解： 。顯然這個函數(shù)在 的時候，有偏導數(shù)存在 ，而對于的時候，有 ，此式在原點也成立。 對于任意方向極限，有。顯然沿任意方向趨于原點。 此函數(shù)的方向極限都存在。最后，因為沿不同方向趨向原點。不妨設有不同的極限 。且其都不為0。所以該函數(shù)在原點不連續(xù)。5計算.其中是球面與平面的交線。 解：首先，曲線是球面與平面的交線。因為平面過原點，球面中心為原點。 所以它們的交線是該球面上的極大圓。再由坐標的對稱性。易知有 。 因此有 =。6設函數(shù)列滿足下列條件：（1），在連續(xù)且有（） （2）點點收斂于上的連續(xù)函數(shù)證明：在上一致收斂于 證法1：首先，因為對任

9、意。且有，所以，對于任意，有。 又因為在點連續(xù)。所以可以找到，當 時。有，以及 同時成立。因此，當， 時，有 。 如此，令，所以有開區(qū)間族 覆蓋了區(qū)間。 而在閉區(qū)間上連續(xù)。由Heine-Borel 定理，從開區(qū)間族中可以選出有限個， 使 。由的選法?？捎上鄳c，當，且時，有。 取，當時，且，有 成立。所以在上一致收斂于。 證畢。 證法2：反證法.設存在某，對于任意，有一，使得又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在收斂子列收斂于中某值因為對任意。且有，所以，當時，有設某，由與連續(xù)性存在一，當時有同時成立顯然，又因為所以存在值， 當時， 成立最后，當時，有這與假設矛盾所

10、以在上，是一致收斂于證畢大連理工大學2005試題數(shù)學分析試題解答一、 計算題1、 求極限：解：2、求極限：解：3、證明區(qū)間（0，1）和（0，+）具有相同的勢。證明：構(gòu)造一一對應y=arctanx。4、計算積分，其中D是x=0,y=1,y=x圍成的區(qū)域解：5、計算第二類曲線積分：，方向為逆時針。解：6、設a>0,b>0,證明：。證明：二、 設f(x)為a,b上的有界可測函數(shù)，且證明：f(x)在a,b上幾乎處處為0。證明：反證法，假設A=x|f(x)0，那么mA>0。三、 設函數(shù)f(x)在開區(qū)間（0，+）內(nèi)連續(xù)且有界，是討論f(x)在（0，+）內(nèi)的一致連續(xù)性。討論：非一致連續(xù)，構(gòu)造函數(shù)：四、 設，討論函數(shù)的連續(xù)性和可微性。解：1）連續(xù)性：連續(xù)2）可微性：可微五、 設f(x)在（a,b）內(nèi)二次可微，求證：證明：六、 f(x)在R上二次可導，證明：f(x)在R上恰有兩個零點。證明：七、 設函數(shù)f(x)和g(x)在a,b內(nèi)可積，證明:對a,b內(nèi)任意分割證明：八、 求級數(shù)：解：九、 討論函數(shù)項級數(shù)在(0,1)和(1,+)的一致收斂