向量知識(shí)點(diǎn)歸納

1、向量知識(shí)點(diǎn)的歸納一、知識(shí)梳理：（1）本章要點(diǎn)梳理：1、向量加法的幾何意義：起點(diǎn)相同時(shí)適用平行四邊形法則（對(duì)角線），首尾相接適用“蛇形法則”，特別注意： 表示ABC的邊BC的中線向量。向量減法的幾何意義：起點(diǎn)相同適用三角形法則，（終點(diǎn)連結(jié)而成的向量，指向被減向量），表示A、B兩點(diǎn)間的距離；以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別表示向量+、（或）。2、理解單位向量、平行向量、垂直向量的意義。與非零向量同向的單位向量，叫做的單位向量。而都與共線（與反向的單位向量為-）。3、兩向量所成的角指的是兩向量方向所成的角；兩向量數(shù)量積；其中可視為向量在向量上的投影。4、向量運(yùn)算中特別注意的應(yīng)用。研究向量的模常

2、常先轉(zhuǎn)化為模平方再進(jìn)行向量運(yùn)算。另外，有關(guān)向量的運(yùn)算也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求解，有些題目就可以由作圖得解。5、向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，向量的坐標(biāo)形式實(shí)質(zhì)上是其分解形式的“簡(jiǎn)記”。其中分別表示與軸、軸正方向同向的單位向量。6、利用向量求角時(shí)，要注意范圍。兩向量所成角的范圍是。特別注意：不能等同于所成角是銳角，因?yàn)楫?dāng)同向時(shí)也滿足；同樣的道理，不能等同于所成角是鈍角，因?yàn)楫?dāng)反向時(shí)也滿足。例是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線，它與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則ABO是（）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關(guān).分析：由直線過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，聯(lián)立得：，即：，則，又

3、=.則，則一定是鈍角.選C.7.直線l的向量參數(shù)方程式：A、P、B三點(diǎn)共線 則8.關(guān)注向量運(yùn)算與三角函數(shù)綜合是高考中的常見(jiàn)題型.例已知向量.設(shè).（1）若且，求的值； （2）若函數(shù)的圖像按向量平移后得到函數(shù)的圖像，求實(shí)數(shù)的值.解析：（1），易得.（2）函數(shù)是由函數(shù)的圖像向左平移，再把所得圖像向上平移1個(gè)單位而得，所以.二、易錯(cuò)、易混、易忘點(diǎn)梳理：【易錯(cuò)點(diǎn)1】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用，易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例1.下列命題：|·|=|·|若則，則存在唯一實(shí)數(shù)，使若，且，則設(shè)是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯一一組實(shí)數(shù)x、y，使成立。若|+|=|則·

4、;=0。·=0，則=或=。其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D3個(gè)以上解析：正確。根據(jù)向量模的計(jì)算判斷。錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義表示和向量共線的向量，同理表示和向量共線的向量，顯然向量和向量不一定是共線向量，故不一定成立。錯(cuò)誤。應(yīng)為錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有傳遞性。錯(cuò)誤。應(yīng)加條件“非零向量”。錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)。錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共線的向量即一組基底。正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊

5、形的對(duì)角線相等，即四邊形為矩形。故·=0。錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。 答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知，和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：·· (交換律)（）·（·）·（） (數(shù)乘結(jié)合律)()··· (分配律)說(shuō)明：（1）一般地，(·)（·）（2）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····，()

6、3;【練習(xí)】設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（a·b）c（c·a）b=0 |a|b|<|ab| （b·c）a（c·a）b不與c垂直（3a+2b）（3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命題的有（ ）A. B. C. D. 答案： D【易錯(cuò)點(diǎn)2】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算的幾何意義解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)不夠，忽視隱含條件。例2.四邊形ABCD中，且····，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量，易忽視如下兩

7、點(diǎn)：（1）在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系。解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)橐环矫妫河?得（），即()（）2即··由于··，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形.另一方面，由··，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得·(2)即·，也即ABBC。綜上所述，四邊形ABCD是矩形.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】向量是高考的一個(gè)亮點(diǎn)，因?yàn)橄蛄恐R(shí)，向量觀

8、點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視?；谶@一點(diǎn)解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。例如很多重要結(jié)論都可用這種思想直觀得到：（1）向量形式的平行四邊形定理：2（+）=+（2）向量形式的三角形不等式：-±+(試問(wèn)：取等號(hào)的條件是什么?)等有用的結(jié)論。【練習(xí)】（1）點(diǎn)O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（ ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) （B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) （C）三條中線的交點(diǎn) （D）三條高的交點(diǎn)（2）的外

9、接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = 答案： （1）D （2）m=1【易錯(cuò)點(diǎn)3】忽視向量積定義中對(duì)兩向量夾角的定義。例3.已知中,求. (答案:-20)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高中階段涉及角的概念不少,在學(xué)習(xí)過(guò)程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是，兩向量的夾角的范圍是，注意向量的夾角是否為三角形內(nèi)角。【易錯(cuò)點(diǎn)4】向量數(shù)積性質(zhì)的應(yīng)用。例4.已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角。解析：本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹(shù)立整體求解的思想。 答案： 60°。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用向量的數(shù)量積的重要

10、性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可解決涉及長(zhǎng)度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數(shù)等問(wèn)題，要熟記并靈活應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)與都是非零向量，與的數(shù)量積的幾何意義是向量在向量方向的單位向量正射影的數(shù)量··或··【練習(xí)】（1）已知向量若則與的夾角為（ ）A30° B60° C120° D150° 答案：C（注意）（2已知向量，|1，對(duì)任意tR，恒有|t|，則（ ）(A) (B) () (C) () (D) ()() 答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)5】向量與三角函數(shù)求值、運(yùn)算的交匯例5、，與的夾角為1， 與的夾角為2，且的值.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解

11、答過(guò)程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來(lái)，注意在用已知角表示兩組向量的夾角的過(guò)程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。解析：故有因，從而【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交匯性，向量是新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系這些知識(shí)的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì)。高考對(duì)三角的考查常常以向量知識(shí)為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的模或向量的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。【易錯(cuò)點(diǎn)6】向量與解三角形的交匯例6.ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且345=。求數(shù)量積，·，·，·；求ABC的面積?！舅季S分析】第1由題意可知3、4、5三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律將一向量移項(xiàng)平方即可。第2問(wèn)據(jù)題意可將已知三角形分割成三個(gè)小三角形利用正弦理解答。解析：|=|=|=1由345=得：34=5兩邊平方得