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文檔簡介
1、2020 年中考代數(shù)綜合第 14講:以二次函數(shù)為主導(dǎo)的平行四邊形的存在性問題【案例賞析】1.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,拋物線yi = x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的 左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)為(3, 0),將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位 長度后恰好經(jīng)過B、 C 兩點(1)求直線BC解析式y(tǒng)2及拋物線的解析式;(2)求x滿足什么條件時,yi<y2;( 3) 點 Q 在 y 軸上,點P 在拋物線上,要使Q、 P、 A、 B 為頂點的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點P 的坐標(biāo)2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y = x+ m (m為常數(shù))的圖象與
2、 x軸交于 4點A ( - 3, 0),與y軸交于點C.以直線x= 1為對稱軸的拋物線y = ax2+ bx+ c (a, b, c為常數(shù),且 aw0)經(jīng)過A、C兩點,并與 x軸的正半軸交于點B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若P是拋物線對稱軸上一動點, ACP周長最小時,求出P的坐標(biāo);(3)是否存在拋物在線一動點Q,使彳ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(4)在(2)的條件下過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于Mi (xi, yi),是否為定值?如果是,請直接寫出結(jié)果;如果不是請M2(X2, y2)兩點,試問3.在平面直角
3、坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過A (-4, 0), B (0, -4), C (2, 0)三點.(1)求拋物線解析式;(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,點M的橫坐標(biāo)為 m, AMOA的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng) m為何值時,S有最大值,這個最大值是多少?(3)若點Q是直線y=-x上的動點,過 Q做y軸的平行線交拋物線于點 P,判斷有幾 個Q能使以點P, Q, B, O為頂點的四邊形是平行四邊形的點,直接寫出相應(yīng)的點 Q的 坐標(biāo).4 .如圖,拋物線 y=ax2+bx+c交x軸于點A (3, 0),點B (1, 0),交y軸于點E (0,-3).點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點F是線
4、段BC的中點,直線l過點F且與y軸平行.直線y= - x+m過點C,交y軸于D點.苗用圖(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線 CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值;(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點 N,使以點A, C, M, N為頂點的四邊形是平行四邊形,求點 N的坐標(biāo).5 .已知平面直角坐標(biāo)系 xOy (如圖1, 一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸交于點A,點M在4正比例函數(shù)y=次的圖象上,且 MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點 A、M. 2(1)求線段AM的長;(2)求這個二次函數(shù)的解析式;(3)如果點B在y
5、軸上,且位于點 A下方,點C在上述二次函數(shù)白圖象上,點D在一次函數(shù)丫 =當(dāng)+3的圖象上,且四邊形 ABCD是菱形,求點 C的坐標(biāo).4訃1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 r-1 6.將拋物線ci: y= 一對312 4Am沿x軸翻折,得到拋物線 C2,如圖所示.(1)請直接寫出拋物線 C2的表達(dá)式;(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m (m>0)個單位長度,平移后得到的新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為 A, B;將拋物線C2向右也平移m個單位長度,平移后 得到的新拋物線的頂點為 N,與x軸的交點從左到右依次為 D, E.用含m的代
6、數(shù)式表示點 A和點E的坐標(biāo);在平移過程中,是否存在以點A, M, E為頂點的三角形是直角三角形的情形?若存在,請求出此時 m的值;若不存在,請說明理由.7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+6與x軸交于點A,與y軸交點C,拋物線y=-2x2+bx+c過A, C兩點,與x軸交于另一點 B.(1)求拋物線的解析式.(2)在直線AC上方的拋物線上有一動點E,連接BE,與直線AC相交于點F,當(dāng)EF=-BF 時,求 sin/EBA 的值.(3)點N是拋物線對稱軸上一點,在(2)的條件下,若點 E位于對稱軸左側(cè),在拋物 線上是否存在一點 M,使以M, N, E, B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在
7、,直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.8.如圖1 (注:與圖2完全相同),在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點 A (1, 0)、B (5, 0)、(1)求拋物線的解析式和對稱軸;(2) P是拋物線對稱軸上的一點,求滿足PA+PC的值為最小的點 P坐標(biāo)(請在圖1中探索);(3)在第四象限的拋物線上是否存在點巳 使四邊形 OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為12的平行四邊形?若存在,請求出點E坐標(biāo),若不存在請說明理由(請在圖2中探索)9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y= - x+3的圖象與x軸交于點A,與y軸交4于B點,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點,在第一象限的拋物線上取一點D,
8、過點D作DC,x軸于點C,交直線AB于點E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)是否存在點D,使得 BDE和4ACE相似?若存在,請求出點 D的坐標(biāo),若不存 在,請說明理由;(3)如圖2, F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(不與點 D重合),點G是線段AB上的 動點.連接DF, FG,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時,請直接寫出點 G的 坐標(biāo).10.如圖,已知拋物線 y=ax2+bx-1與x軸的交點為A (- 1, 0), B (2, 0),且與y軸交 于C點.(1)求該拋物線的表達(dá)式;(2)點C關(guān)于x軸的對稱點為 C1, M是線段BC1上的一個動點(不與 B、C1重合), ME±x
9、軸,MFy軸,垂足分別為 E、F,當(dāng)點M在什么位置時,矩形 MFOE的面積最 大?說明理由.(3)已知點P是直線y = x+1上的動點,點 Q為拋物線上的動點,當(dāng)以 C、C1、p、Q 為頂點的四邊形為平行四邊形時,求出相應(yīng)的點P和點Q的坐標(biāo).【參考答案】1.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,拋物線yi = x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的 左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)為(3, 0),將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位 長度后恰好經(jīng)過B、C兩點.(1)求直線BC解析式y(tǒng)2及拋物線的解析式;(2)求x滿足什么條件時,yi<y2;(3)點Q在y軸上,點P在拋物線上,要使 Q、
10、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊 形求所有滿足條件點 P的坐標(biāo).【分析】(1)依題意設(shè)直線 BC的解析式為 y=kx+3,把B點坐標(biāo)代入解析式求出直線 BC的表達(dá)式,然后又已知拋物線y=x2+bx+c過點B, C,代入求出解析式.(2)畫出圖象,找到y(tǒng)i在y2下面時,x的取值范圍即可,也可聯(lián)立 yi、y2的解析式,運 用不等式求解.(3)分兩種情況討論, 當(dāng)PQ/AB時,此時根據(jù)PQ = AB=2,可得出點P的橫坐標(biāo), 代入即可得出點 P的坐標(biāo); 當(dāng)P、Q為對角頂點時,作 PD ±x軸于D點,此時根 據(jù)AD = OB可求出點P的橫坐標(biāo)為4,繼而代入可得出點 P的縱坐標(biāo).【解答】解:
11、(1)由題意得:直線 BC為y2=kx+3,把B (3, 0)代入得:3k+3=0,解得:k= - 1,故直線BC的解析式為y= - x+3,從而可得點C坐標(biāo)為(0, 3),2把B、C兩點代入y1 =x2+ bx+c得,,到/日fb -解得 ,故拋物線的解析式為y1 = x2- 4x+3.(2)由圖可知:當(dāng) 0vxv3時,y1y2.從而可得點P的橫坐標(biāo)為2 或-2,當(dāng) x=2 時,y= - 1;當(dāng) x= - 2 時,y= 15,D點,故 Pi 為(2, - 1), P2 為(-2, 15),則有 OB = BQX cos/QBO, AD = APcos/PAD,四邊形ABCD是平行四邊形,AP
12、=BQ, /QBO = /PAD,AD= OB=3,則可得點P的橫坐標(biāo)為4,當(dāng)x= 4時,y=3,所以P3為(4, 3).綜上可得符合題意的點P的坐標(biāo)有三個:Pi(2, -1),P2(-2,15),P3(4,3).【點評】此題考查了二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì),難點在第三問,需要分類討論,不要漏解.2.,一 _ 一“,5 一、一如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,一次函數(shù)y=-x+m (m為吊數(shù))的圖象與 x軸交于 fl點A (-3, 0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c (a, b, c為常數(shù),且 aw0)經(jīng)過 A、C
13、兩點,并與 x軸的正半軸交于點 B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若P是拋物線對稱軸上一動點, ACP周長最小時,求出 P的坐標(biāo);(3)是否存在拋物在線一動點 Q,使彳ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(4)在(2)的條件下過點 P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 M1 (x1, y1),M2 (x2, y2)兩點,試問HR是否為定值?如果是,請直接寫出結(jié)果;如果不是請M泗鼻說明理由.【分析】(1)首先求得m的值,根據(jù)拋物線對稱性得到B點坐標(biāo),根據(jù) A、B點坐標(biāo)利用交點式求得拋物線的解析式;(2) (4)問較為復(fù)雜,如答圖所示
14、,分幾個步驟解決:第1步:確定何時 ACP的周長最小.利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的原理解 決;第2步:確定P點坐標(biāo)P (1, 3),從而直線 M1M2的解析式可以表示為 y=kx+3-k;第3步:利用根與系數(shù)關(guān)系求得 Mi、M2兩點坐標(biāo)間的關(guān)系,得到 xi+X2 = 2-4k, X1X2 =-4k-3.這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計算做準(zhǔn)備;第4步:利用兩點間的距離公式,分別求得線段M1M2、MiP和M2P的長度,相互比較H P 兒 P即可得到結(jié)論:I 工_=1為定值.這一步涉及大量的運算,注意不要出錯,否則難跖隊以得出最后的結(jié)論.(3)分若C為直角頂點, ACO相似于 CQE,若A為直角頂
15、點, ACO相似于 AQE,兩種情況討論求解.【解答】解:(1)二一次函數(shù)y=x+m經(jīng)過點A (-3, 0),4則C的坐標(biāo)為(0,工旦),4拋物線經(jīng)過點 A (-3, 0)、C (0,),且以直線x= 1為對稱軸,則點B的坐標(biāo)為(5, 0),一二次函數(shù)為 y= - (x+3) (x - 5)y= - -x2+xi44 24'(2)要使 ACP的周長最小,只需 AP+CP最小即可.如答圖2,連接BC交x=1于P點,因為點A、B關(guān)于x=1對稱,根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短,可知此時 AP+CP最小(AP+CP最小值為線段 BC的長度).B (5, 0), C (0,與),直線BC解析
16、式為y=-目X+與, 44- xp=1, yp=3,即 P (1, 3).(3)存在(7分)設(shè) Q(X,若C為直角頂點,則由 ACO相似于 CQE ,得 x= 5.2,若A為直角頂點,則由 ACO相似于 AQE,得 x= 8.2,.Q的橫坐標(biāo)為 5.2, 8.2.(4)是定值,定值為1.令經(jīng)過點 P (1, 3)的直線為 y=kx+b,則k+b=3,即b = 3- k,則直線的解析式是:y= kx+3 - k,- y= kx+3 - k, y=- =x2+Jx+_ia A .門 A '聯(lián)立化簡得:x2+ (4k- 2) x-4k-3=0, xi+x2= 2 4k, xix2= 4k 3
17、.yi = kxi+3 - k, y2= kx2+3 - k, yi - y2= k (xi x2).根據(jù)兩點間距離公式得到:MiM2 =,(盯-七)2 + (力一七)2= J ( VG 4k2 (打 一七)2=Jl+k%(勺-工2)4,MiM2=(盯f/尸+k紂(2-4k)2y "獨=4(i+k> 又 . MiP=J(勺-I)。十=+3-k-3 )M2P ='二 y.MiP?M2P= (i+k2) ?J(工廠1)2(工 2T)2=(仃?J勺耳限(勺十工 " 十 I?=(i+k2)?V-4k'3-C2)+lS|= 4(i+k2)-MiP?M2P = M
18、iM2,【點評】 本題是難度很大的中考壓軸題,綜合考查了初中數(shù)學(xué)的諸多重要知識點:代數(shù)方面,考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次根式的運算等;幾何方面,考查了兩點間的距離公式、軸對稱-最短路線問題等.本題解題技巧要求高,而且運算復(fù)雜,因此對考生的綜合能力提出了很高的要求.3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過A (-4, 0), B (0, -4), C (2, 0)三點.(1)求拋物線解析式;(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,點M的橫坐標(biāo)為 m, AMOA的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng) m為何值時,S有最大值,這個最大值是多少?
19、(3)若點Q是直線y=-x上的動點,過 Q做y軸的平行線交拋物線于點 P,判斷有幾個Q能使以點P, Q, B, O為頂點的四邊形是平行四邊形的點,直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo).【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,然后把點A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析 式,利用待定系數(shù)法求解即可;(2)利用拋物線的解析式表示出點M的縱坐標(biāo),從而得到點 M到x軸的距離,然后根據(jù)三角形面積公式表示并整理即可得解,根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的 最值,然后即可得解;(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標(biāo),然后求出 PQ的長度,再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出算式,然后解關(guān)于x的一元二次方
20、程即可得解.【解答】解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,拋物線經(jīng)過 A ( - 4, 0), B (0, - 4), C (2, 0),“16“曲+e=0 c=-4,;4a+2b+<?=0.拋物線解析式為y = ,x2+x - 4;(2) 丁點M的橫坐標(biāo)為m,,點M的縱坐標(biāo)為-im2+m - 4,又. A (4, 0),,AO=0- (- 4) =4,,8=3* 4X| ?m2+m 4|= (m2+2m-8) = m2-2m+8,: S= - ( m2+2m - 8) = - ( m+1) 2+9,點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,當(dāng) m= - 1時,S有最大值,最大值為S=
21、9;故答案為:S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為 S= - m2-2m+8,當(dāng)m= - 1時,S有最大值9;(3) 丁點Q是直線y= - x上的動點,設(shè)點Q的坐標(biāo)為(a, - a),點P在拋物線上,且 PQ / y軸,點P的坐標(biāo)為(a, a2+a-4), 2PQ= - a - ( a2+a - 4)=a2- 2a+4 , 22又 OB = 0- (- 4) = 4,以點P, Q, B, O為頂點的四邊形是平行四邊形,|PQ|=OB,即 |一二a2 2a+4|= 4,-712 2a+4 = 4 時,整理得,a2+4a=0,解得a= 0 (舍去)或a= - 4,a = 4,所以點Q坐標(biāo)為(-4, 4),-二a
22、2-2a+4=-4 時,整理得,a2+4a- 16=0,解得 a = - 2± 2JR所以點Q的坐標(biāo)為(-2+2“,2- 2-75)或(-2-2-, 2+27e),綜上所述,Q 坐標(biāo)為(-4, 4)或(-2+2虧,2-2 7)或(-2-24, 2+2J5)時, 使點P, Q, B, O為頂點的四邊形是平行四邊形.【點評】本題是對二次函數(shù)的綜合考查,有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,三角形的面積,二次函數(shù)的最值問題,平行四邊形的對邊相等的性質(zhì),平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離的表示,綜合性較強(qiáng),但難度不大,仔細(xì)分析便不難求解.4.如圖,拋物線 y=ax2+bx+c交x軸于點A (3, 0),點
23、B (1, 0),交y軸于點E (0,-3).點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點F是線段BC的中點,直線l過點F且與y軸 平行.直線y= - x+m過點C,交y軸于D點.昌月團(tuán)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線 CD交于點H,與拋物線交 于點G,求線段HG長度的最大值;(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點 N,使以點A, C, M, N為頂點的四邊形是平 行四邊形,求點 N的坐標(biāo).【分析】(1)把點E, A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,即可求出a、b、c的值;(2)根據(jù)C點的坐標(biāo)求出直線 CD的解析式,然后結(jié)合圖形設(shè)出 K點的坐標(biāo)(t, 0),表 達(dá)出
24、H點和G點的坐標(biāo),列出HG關(guān)于t的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;(3)需要討論解決,若線段AC是以點A、C, M、N為頂點的平行四邊形的邊,當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN = 3-n;當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,MN=n-3,然后根據(jù)已 知條件在求n的坐標(biāo)就容易了 若線段AC是以點A、C, M、N為頂點的平行四邊形的對角線時,由“點 C與點A關(guān) 于點B中心對稱”知:點 M與點N關(guān)于點B中心對稱,取點 F關(guān)于點B的對稱點P, 則P點坐標(biāo)為(-1, 0),過P點作NP,x軸,交拋物線于點 N,結(jié)合已知條件再求 n 的坐標(biāo)就容易了.【解答】解:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=a (x- 1) (x+
25、3)拋物線交y軸于點E (0, - 3),將該點坐標(biāo)代入上式,得 a= 1,所求函數(shù)表達(dá)式為 y = (x- 1) (x+3),即 y=x2+2x-3;(2)二.點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點 A坐標(biāo)(-3, 0),點B坐標(biāo)(1, 0),點 C 坐標(biāo)(5, 0),,將點 C坐標(biāo)代入 y= - x+m,得 m= 5,直線 CD的函數(shù)表達(dá)式為 y= - x+5,設(shè)K點的坐標(biāo)為(t, 0),則H點的坐標(biāo)為(t, - t+5) , G點的坐標(biāo)為(t, t2+2t- 3),點K為線段AB上一動點,- 3wt" .HG= ( t+5) (t2+2t3) = t23t+8= ( t+-|-) 2+
26、, 1 - 3< -同v 1,.當(dāng)t=- 加,線段HG的長度有最大值(3)二點F是線段BC的中點,點B (1, 0),點C (5, 0), 點F的坐標(biāo)為(3, 0), 直線l過點F且與y軸平行, 直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3, 點M在直線l上,點N在拋物線上,設(shè)點M的坐標(biāo)為(3, m),點N的坐標(biāo)為(n, n2+2n-3), 點 A ( - 3, 0),點 C (5, 0), . AC= 8,分情況討論:若線段AC是以點A、C, M、N為頂點的平行四邊形的邊,則需 MN/AC,且MN = AC=8.當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN = 3-n,3 - n= 8,解得 n = - 5,.N點的坐標(biāo)
27、為(-5, 12),當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,MN = n-3, 1- n 3= 8,解得n= 11,.N點的坐標(biāo)為(11, 140),若線段AC是以點A、C, M、N為頂點的平行四邊形的對角線,由“點 C與點A關(guān)于點B中心對稱”知:點 M與點N關(guān)于點B中心對稱,取點F關(guān)于點B的對稱點P,則P點坐標(biāo)為(-1,0)過P點作NP±x軸,交拋物線于點 N,將 x= 1 代入 y= x2+2x 3,得 y= - 4,過點N作直線NM交直線l于點M ,在 BPN和 BFM中,/ NBP = Z MBF ,BF=BP,/ BPN = Z BFM =90° , . BPNA BFM ,NB=
28、 MB, 四邊形ANCM為平行四邊形,坐標(biāo)(-1, -4)的點N符合條件, 當(dāng)N的坐標(biāo)為(-5, 12), (11, 140), (-1, -4)時,以點A、C、M、N為頂點的 四邊形為平行四邊形.【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式函數(shù)圖象交點的求法等知識點、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點,主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.5.已知平面直角坐標(biāo)系 xOy (如圖1, 一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸交于點A,點M在 正比例函數(shù)y=$ 的圖象上,且 MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點 A、M.(1)求線段AM的長;
29、(2)求這個二次函數(shù)的解析式;(3)如果點B在y軸上,且位于點 A下方,點C在上述二次函數(shù)白圖象上,點 D在一次函數(shù)y = J+3的圖象上,且四邊形 ABCD是菱形,求點 C的坐標(biāo). 4【分析】(1)先求出根據(jù) OA垂直平分線上的解析式,再根據(jù)兩點的距離公式求出線段AM的長;二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、M.待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式; 可設(shè)D (n, -|n+3),根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 C (n, n噂n+3)且點C在二次函數(shù)y=x2-Lx+3上,得到方程求解即可.【解答】解:(1)在一次函數(shù)y=3x+3中,4當(dāng) x=0 時,y=3. .A (0, 3).MO=MA,M為O
30、A垂直平分線上的點, OA垂直平分線上的解析式為y=又丁點M在正比例函數(shù), 2M (1,又A (0, 3).AM = 13 ; 一 /2(2)二.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點 A、M,可得|o+O+c=3解得-2.L c-3y= x2 - -x+3;2(3)二,點D在一次函數(shù)y=Wx+3的圖象上,4則可設(shè)D (n, Ji+3),4設(shè) B (0, m) (mv 3), C (n, n2 圖n+3)四邊形ABCD是菱形,E,|AB| = 3- m, |DC|= |yD - yc| = | n+3 - ( n2 n+3) |= |-n - n2|, 424|AD|=二:; j : : :=
31、Hfnb|AB|= |DC|, |AB|= |DA|,3- m=魯n,解得,ni =0 (舍去),n2=2,將n=2,代入C (n,n2_yn+3),.C (2, 2).即:滿足條件的點C坐標(biāo)為C (2, 2).【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及的知識點有拋物線解析式的確定,兩點 的距離公式,菱形的性質(zhì),解二元一次方程,綜合性較強(qiáng),難度較大.6.將拋物線C1: V= -沿X軸翻折,得到拋物線C2,如圖所示.(1)請直接寫出拋物線 C2的表達(dá)式;(2)現(xiàn)將拋物線ci向左平移m (m>0)個單位長度,平移后得到的新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為 A, B;將拋物線C2向
32、右也平移m個單位長度,平移后 得到的新拋物線的頂點為 N,與x軸的交點從左到右依次為 D, E.用含m的代數(shù)式表示點 A和點E的坐標(biāo);在平移過程中,是否存在以點A, M, E為頂點的三角形是直角三角形的情形?若存在,請求出此時 m的值;若不存在,請說明理由.【分析】(1)根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的特點即可得到拋物線C2的表達(dá)式;(2)由平移規(guī)律得到拋物線 ci向左平移m個單位長度的解析式,拋物線 C2向右也平 移m個單位長度的解析式,分別令 y = 0求出x的值,即可表示出 A與E的坐標(biāo); 假設(shè)在平移過程中,存在以點 A, M, E為頂點的三角形是直角三角形,由題意得只能 是/AME=90°
33、; ,過點M作MGx軸于點G,由平移得到點 M的坐標(biāo),確定出 G的坐 標(biāo),進(jìn)而得到AG, MG, EG的長,在直角三角形 AMG中,利用銳角三角函數(shù)定義表示 出tan/ MAG的值,利用特殊角的三角函數(shù)值求出/ MAG的度數(shù)為60° ,得到/ MEA的 度數(shù)為30° ,在直角三角形 MEG中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan/MEG的值,由MG的長及特殊角的三角函數(shù)值求出EG的長,即可確定出此時 m的值.【解答】解:(1)拋物線C2的表達(dá)式是y=V3x2 V3;(2)拋物線Ci向左平移m個單位長度,得到解析式為y= - V3 (x+m) 2+ V3,令y=0,得到-73 (
34、x+m) 2+*氏=0,解得:x= 1 m 或 x= - 1 - m,,點A的坐標(biāo)是(1 - m, 0),拋物線C2向右也平移 m個單位長度,得到 y = V3 (x-m) 2- 3,令 y= 0,得到 V3 (x- m) 2- V3= 0,解得:x= m+1 或 x= m- 1,,點E的坐標(biāo)是(1+m, 0);假設(shè)在平移過程中,存在以點A, M, E為頂點的三角形是直角三角形,由題意得只能是/ AME = 90° ,過點 M作 MGx軸于點 G, 由平移得:點M的坐標(biāo)是(-m, V3),,點G的坐標(biāo)是(-m, 0),.GA= 1, MG= V3, EG = 2m+1,在 RtAAG
35、M 中, tanZ MAG= V3, AG / MAG = 60° ,. /AME=90° , . MEA = 30° ,3則在平移過程中,當(dāng) m=1時,存在以點 A, M, E為頂點的三角形是直角三角形.【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:對稱的性質(zhì),平移規(guī)律,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握對稱性質(zhì)及平移規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+6與x軸交于點A,與y軸交點C,拋物線y=-2x2+bx+c過A, C兩點,與x軸交于另一點 B.(1)求拋物線的解析式.(2)在直線AC上方的拋物線上有一
36、動點E,連接BE,與直線AC相交于點F,當(dāng)EF時,求sin / EBA的值.(3)點N是拋物線對稱軸上一點,在(2)的條件下,若點 E位于對稱軸左側(cè),在拋物線上是否存在一點M,使以M, N, E,B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【分析】(1)先由直線解析式求出點 A、C坐標(biāo),再將所求坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,求解可得;(2)先求出 B (1 , 0),設(shè) E (t, - 2t2- 4t+6),作 EHx 軸、FGx 軸,知 EH / FG ,由EF=上BF知23 3BH23克結(jié)合BH=1-t可得BG =一't,據(jù)此知F3BE,從而得出方程-
37、2t2- 4t+6 =與 (-7-+-t), 解之得 t1 = - 2, t2 = - 1,據(jù)此得出點E坐標(biāo),再進(jìn)一步求解可得;(3)分EB為平行四邊形的邊和 EB為平行四邊形的對角線兩種情況,其中 EB為平行四邊形的邊時再分點 M在對稱軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別求解可得.【解答】 解:(1)在y = 2x+6中,當(dāng)x = 0時y= 6,當(dāng)y= 0時x= - 3, .C (0, 6)、A ( 3, 0),拋物線 y= - 2x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A、C兩點,-18-3b=0 c=6解得5三一4c=6,拋物線的解析式為y= - 2x2 - 4x+6;(2)令2x2-4x+6 = 0,解得 X1
38、= - 3, X2= 1,B (1, 0),點E的橫坐標(biāo)為t,E (t, - 2t2-4t+6),如圖,過點 E作EHx軸于點 H,過點 F作FGx軸于點 G,則EH / FG,1. EF=4F ,2. .典=盟=&2,BE BH EH 3BH = 1 -t,.BG=罵H=-t, 33 3.點F的橫坐標(biāo)為+t, 3 3F 茨如-2t2-4t+6 = |-(察+*),-t2+3t+2= 0,解得 t1= - 2, t2= - 1 ,當(dāng) t= - 2 時,2t2 4t+6 = 6,當(dāng) t= - 1 時,2t24t+6=8,.舊(-2, 6), E2 (- 1, 8),當(dāng)點 E的坐標(biāo)為(-2
39、, 6)時,在 RtAEBH中,EH=6, BH = 3,BE= VeH2+BH2=Vg2+3= 3-后.,sinZEBA=EH = _=M BE 3755同理,當(dāng)點E的坐標(biāo)為(-1, 8)時,sin / EBA的值為題H或國IL;517(3)二點N在對稱軸上,當(dāng)EB為平行四邊形的邊時,分兩種情況:(I )點M在對稱軸右側(cè)時,BN為對角線,. E ( 2, 6), xn= 1, - 1 - (2) =1, B (1, 0), xM = 1+1 = 2 ,當(dāng) x= 2 時,y= - 2X 224X 2+6= 10,M (2, - 10);(n )點 M在對稱軸左側(cè)時,BM為對角線,- XN= -
40、 1 , B (1, 0), 1 - (-1) =2, E (-2, 6), Xm = - 2 2 = 4,當(dāng) x= - 4 時,y= 2X (4)24X (4)+6= 10,M (- 4, - 10);當(dāng)EB為平行四邊形的對角線時,- B (1, 0), E ( 2, 6), Xn=- 1,1+ ( - 2) = - 1 + Xm ,.Xm = 0,當(dāng) x= 0 時,y= 6,M (0, 6);綜上所述,M的坐標(biāo)為(2, - 10)或(-4, - 10)或(0, 6).【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用及平行四邊形的判定和
41、性質(zhì)等知識點.8.如圖1 (注:與圖2完全相同),在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點 A (1, 0)、B (5, 0)、C (0, 4)三點.V* u(1)求拋物線的解析式和對稱軸;(2) P是拋物線對稱軸上的一點,求滿足PA+PC的值為最小的點 P坐標(biāo)(請在圖1中探索);(3)在第四象限的拋物線上是否存在點巳 使四邊形 OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為12的平行四邊形?若存在,請求出點E坐標(biāo),若不存在請說明理由(請在圖2中探索)【分析】(1)將點A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:y=a (x- 1) (x-5) = a (x2-6x+5),即可求解;(2)連接B、C交對稱軸于點 P,此時PA+P
42、C的值為最小,即可求解;-、_一 12 (3) S四邊形OEBF = OBXyE = 5XyE=12,則yE=,將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解.【解答】解:(1)將點A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:y= a (x-1) (x-5) = a(x2- 6x+5),則 5a=4,解得:a=,5拋物線的表達(dá)式為:y= (x2-6x+5) = x2- -x+4, 5|5|5函數(shù)的對稱軸為:x= 3,頂點坐標(biāo)為(3,-孕);(2)連接B、C交對稱軸于點P,此時PA+PC的值為最小,將點B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=kx+b得:,?他L _A解得:卜5,Lb=4直線BC的表達(dá)式為:y= - -x
43、+4 , 5當(dāng)x = 3時,y=旦,5故點P (3,3;(3)存在,理由:四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為 12的平行四邊形,則 S 四邊形 oebf = OB X 點=5X |yE|= 12,點E在第四象限,故:則12 yE=,將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:(X2 - 6x+5)=-125解得:x=2或4,故點E的坐標(biāo)為(2,125)或(4,【點評】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運用,涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等,其中(2),求線段和的最小值,采取用的是點的對稱性求解,這也是此類題目的一般解法.9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y= - -x+3的圖象與x軸交于點
44、A,與y軸交于B點,拋物線y= - x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點,在第一象限的拋物線上取一點D,過點D作DCx軸于點C,交直線AB于點E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)是否存在點D,使得 BDE和4ACE相似?若存在,請求出點 D的坐標(biāo),若不存 在,請說明理由;(3)如圖2, F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(不與點 D重合),點G是線段AB上的 動點.連接DF, FG,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時,請直接寫出點 G的 坐標(biāo).國L圉2【分析】(1)根據(jù)y=-冬+3,求出A, B的坐標(biāo),再代入拋物線解析式中即可求得拋 4物線解析式;(2) ABDE和4ACE相似,要分兩種情況進(jìn)行討論
45、:BDEsace,求得D 注 ,43);DBEsace,求得 D (苫,);(3)由DEGF是平行四邊形,可得 DE/FG, DE = FG,設(shè)D (m,m2坨+3),E(m, F (n, -門*“!+3), G (n, 上口十3),根據(jù)平行四邊形周長公式可444得:DEGF周長=-2 中+粵 ,由此可求得點 G的坐標(biāo). 一 . , sd 一 , "【解答】解:(1)在y= - -x+3中,令x= 0,得y = 3,令y= 0,得x = 4,A (4, 0), B (0, 3),r 2一一-、一c- 4H-4-hi+c 0將A (4, 0), B (0, 3)分別代入拋物線y=-x2
46、+bx+c中,得:,解得:lc=3!:?拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y= - x2+3x+3.4(2)存在.如圖1,過點B作BHXCD于H,設(shè)C (t, 0),則D (t, 一七之十),E (t,(t, 3);1 1 EC= -""+3, AC = 4-t,BH=t, DH = - t2+ 工t, DE= - t2+4t BDE 和 AACE 相似,/ BED = Z AEC BDEA ACE 或 DBEACE當(dāng)BDEsACE 時,/ BDE = Z ACE = 90° ,.旦1=配,即:BD?CE=AC?DEDE CEt(Tt+3)= (4t) x ( t2+4t),
47、解得:ti = 0 (舍去),t2=4 (舍去),t3 = 生, 44 D (竽 3)當(dāng) DBEACE 時,/ BDE = / CAE .BHXCD ./ BHD = 90° ,.器=tan/ BDE = tanZCAE= 號,即:BH?AC=CE?DH t(4t) =( yt+3)( - t2+-±-=-t),解得:ti = 0 (舍),t2= 4 (舍),tsu", 4412D (駕典);129綜上所述,點d的坐標(biāo)為(工3, 3)或(W3,上二); 4129(3)如圖2,二四邊形DEGF是平行四邊形 DE F FG, DE = FG設(shè) D (m, 一加2,E (m,,-"m+3),F(xiàn)(n, - -4,G( n,-"n+3),則:DE = - m2+4m, FG=n2+4n, . 一 m2+4m= n2+4n,即:(mn) (m+n 4) =0, mnw0m+n - 4 = 0,即: m+n = 4過點G作GKXCD于K,則GK / AC ./ EGK=Z BAO 粵=cosZ E
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