2020年中考代數(shù)綜合第14講：以二次函數(shù)為主導(dǎo)的平行四邊形的存在性問題學(xué)案設(shè)計(jì)

1、2020 年中考代數(shù)綜合第 14講：以二次函數(shù)為主導(dǎo)的平行四邊形的存在性問題【案例賞析】1.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線yi = x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的 左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3, 0）,將直線y=kx沿y軸向上平移3個(gè)單位 長度后恰好經(jīng)過B、 C 兩點(diǎn)（1）求直線BC解析式y(tǒng)2及拋物線的解析式；（2）求x滿足什么條件時(shí)，yi<y2；（ 3） 點(diǎn) Q 在 y 軸上，點(diǎn)P 在拋物線上，要使Q、 P、 A、 B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點(diǎn)P 的坐標(biāo)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y = x+ m (m為常數(shù))的圖象與

2、 x軸交于 4點(diǎn)A ( - 3, 0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x= 1為對稱軸的拋物線y = ax2+ bx+ c (a, b, c為常數(shù)，且 aw0)經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，并與 x軸的正半軸交于點(diǎn)B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)， ACP周長最小時(shí)，求出P的坐標(biāo);(3)是否存在拋物在線一動點(diǎn)Q,使彳ACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在,求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;(4)在(2)的條件下過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于Mi (xi, yi),是否為定值？如果是，請直接寫出結(jié)果；如果不是請M2(X2, y2)兩點(diǎn)，試問3.在平面直角

3、坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A (-4, 0), B (0, -4), C (2, 0)三點(diǎn).(1)求拋物線解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m, AMOA的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) m為何值時(shí)，S有最大值，這個(gè)最大值是多少？(3)若點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，過 Q做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn) P,判斷有幾 個(gè)Q能使以點(diǎn)P, Q, B, O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn) Q的 坐標(biāo).4 .如圖，拋物線 y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A (3, 0),點(diǎn)B (1, 0),交y軸于點(diǎn)E (0,-3).點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線

4、段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行.直線y= - x+m過點(diǎn)C,交y軸于D點(diǎn).苗用圖(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線 CD交于點(diǎn)H,與拋物線交于點(diǎn)G,求線段HG長度的最大值；(3)在直線l上取點(diǎn)M,在拋物線上取點(diǎn) N,使以點(diǎn)A, C, M, N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) N的坐標(biāo).5 .已知平面直角坐標(biāo)系 xOy (如圖1, 一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M在4正比例函數(shù)y=次的圖象上，且 MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A、M. 2(1)求線段AM的長；(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3)如果點(diǎn)B在y

5、軸上，且位于點(diǎn) A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)白圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)丫 =當(dāng)+3的圖象上，且四邊形 ABCD是菱形，求點(diǎn) C的坐標(biāo).4訃1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 r-1 6.將拋物線ci： y= 一對312 4Am沿x軸翻折，得到拋物線 C2,如圖所示.(1)請直接寫出拋物線 C2的表達(dá)式；(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m (m>0)個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 A, B;將拋物線C2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后 得到的新拋物線的頂點(diǎn)為 N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 D, E.用含m的代

6、數(shù)式表示點(diǎn) A和點(diǎn)E的坐標(biāo)；在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A, M, E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的情形？若存在，請求出此時(shí) m的值；若不存在，請說明理由.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+6與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)C,拋物線y=-2x2+bx+c過A, C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn) B.(1)求拋物線的解析式.(2)在直線AC上方的拋物線上有一動點(diǎn)E,連接BE,與直線AC相交于點(diǎn)F,當(dāng)EF=-BF 時(shí)，求 sin/EBA 的值.(3)點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在(2)的條件下，若點(diǎn) E位于對稱軸左側(cè)，在拋物 線上是否存在一點(diǎn) M,使以M, N, E, B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在

7、，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.8.如圖1 (注：與圖2完全相同)，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn) A (1, 0)、B (5, 0)、(1)求拋物線的解析式和對稱軸；(2) P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足PA+PC的值為最小的點(diǎn) P坐標(biāo)(請?jiān)趫D1中探索)；(3)在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)巳 使四邊形 OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為12的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在請說明理由(請?jiān)趫D2中探索)9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y= - x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交4于B點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,

8、過點(diǎn)D作DC，x軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)是否存在點(diǎn)D,使得 BDE和4ACE相似？若存在，請求出點(diǎn) D的坐標(biāo)，若不存 在，請說明理由；(3)如圖2, F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)(不與點(diǎn) D重合)，點(diǎn)G是線段AB上的 動點(diǎn).連接DF, FG,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn) G的 坐標(biāo).10.如圖，已知拋物線 y=ax2+bx-1與x軸的交點(diǎn)為A (- 1, 0), B (2, 0),且與y軸交 于C點(diǎn).(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為 C1, M是線段BC1上的一個(gè)動點(diǎn)(不與 B、C1重合)， ME±x

9、軸，MFy軸，垂足分別為 E、F,當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，矩形 MFOE的面積最 大？說明理由.(3)已知點(diǎn)P是直線y = x+1上的動點(diǎn)，點(diǎn) Q為拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)以 C、C1、p、Q 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求出相應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).【參考答案】1.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線yi = x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的 左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0),將直線y=kx沿y軸向上平移3個(gè)單位 長度后恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn).(1)求直線BC解析式y(tǒng)2及拋物線的解析式；(2)求x滿足什么條件時(shí)，yi<y2;(3)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使 Q、

10、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊 形求所有滿足條件點(diǎn) P的坐標(biāo).【分析】(1)依題意設(shè)直線 BC的解析式為 y=kx+3,把B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出直線 BC的表達(dá)式，然后又已知拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)B, C,代入求出解析式.(2)畫出圖象，找到y(tǒng)i在y2下面時(shí)，x的取值范圍即可，也可聯(lián)立 yi、y2的解析式，運(yùn) 用不等式求解.(3)分兩種情況討論， 當(dāng)PQ/AB時(shí)，此時(shí)根據(jù)PQ = AB=2,可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)， 代入即可得出點(diǎn) P的坐標(biāo)； 當(dāng)P、Q為對角頂點(diǎn)時(shí)，作 PD ±x軸于D點(diǎn)，此時(shí)根 據(jù)AD = OB可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,繼而代入可得出點(diǎn) P的縱坐標(biāo).【解答】解：

11、(1)由題意得：直線 BC為y2=kx+3,把B (3, 0)代入得：3k+3=0,解得：k= - 1,故直線BC的解析式為y= - x+3,從而可得點(diǎn)C坐標(biāo)為(0, 3),2把B、C兩點(diǎn)代入y1 =x2+ bx+c得，,到/日fb -解得 ,故拋物線的解析式為y1 = x2- 4x+3.(2)由圖可知：當(dāng) 0vxv3時(shí)，y1y2.從而可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2 或-2,當(dāng) x=2 時(shí)，y= - 1;當(dāng) x= - 2 時(shí)，y= 15,D點(diǎn),故 Pi 為（2, - 1）, P2 為（-2, 15）,則有 OB = BQX cos/QBO, AD = APcos/PAD,四邊形ABCD是平行四邊形，AP

12、=BQ, /QBO = /PAD,AD= OB=3,則可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,當(dāng)x= 4時(shí)，y=3,所以P3為(4, 3).綜上可得符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)有三個(gè)：Pi(2, -1),P2(-2,15),P3(4,3).【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問，需要分類討論，不要漏解.2.，一 _ 一“，5 一、一如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，一次函數(shù)y=-x+m (m為吊數(shù))的圖象與 x軸交于 fl點(diǎn)A (-3, 0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c (a, b, c為常數(shù)，且 aw0)經(jīng)過 A、C

13、兩點(diǎn)，并與 x軸的正半軸交于點(diǎn) B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)， ACP周長最小時(shí)，求出 P的坐標(biāo)；(3)是否存在拋物在線一動點(diǎn) Q,使彳ACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(4)在(2)的條件下過點(diǎn) P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 M1 (x1, y1),M2 (x2, y2)兩點(diǎn)，試問HR是否為定值?如果是，請直接寫出結(jié)果；如果不是請M泗鼻說明理由.【分析】(1)首先求得m的值，根據(jù)拋物線對稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式；(2) (4)問較為復(fù)雜，如答圖所示

14、，分幾個(gè)步驟解決:第1步：確定何時(shí) ACP的周長最小.利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解 決；第2步：確定P點(diǎn)坐標(biāo)P (1, 3),從而直線 M1M2的解析式可以表示為 y=kx+3-k;第3步：利用根與系數(shù)關(guān)系求得 Mi、M2兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，得到 xi+X2 = 2-4k, X1X2 =-4k-3.這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計(jì)算做準(zhǔn)備；第4步：利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別求得線段M1M2、MiP和M2P的長度，相互比較H P 兒 P即可得到結(jié)論：I 工_=1為定值.這一步涉及大量的運(yùn)算，注意不要出錯(cuò)，否則難跖隊(duì)以得出最后的結(jié)論.(3)分若C為直角頂點(diǎn)， ACO相似于 CQE,若A為直角頂

15、點(diǎn)， ACO相似于 AQE,兩種情況討論求解.【解答】解：(1)二一次函數(shù)y=x+m經(jīng)過點(diǎn)A (-3, 0),4則C的坐標(biāo)為(0,工旦)，4拋物線經(jīng)過點(diǎn) A (-3, 0)、C (0,),且以直線x= 1為對稱軸，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5, 0),一二次函數(shù)為 y= - (x+3) (x - 5)y= - -x2+xi44 24'(2)要使 ACP的周長最小，只需 AP+CP最小即可.如答圖2,連接BC交x=1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí) AP+CP最小(AP+CP最小值為線段 BC的長度).B (5, 0), C (0,與)，直線BC解析

16、式為y=-目X+與， 44- xp=1, yp=3,即 P (1, 3).(3)存在(7分)設(shè) Q(X,若C為直角頂點(diǎn)，則由 ACO相似于 CQE ,得 x= 5.2,若A為直角頂點(diǎn)，則由 ACO相似于 AQE,得 x= 8.2,.Q的橫坐標(biāo)為 5.2, 8.2.(4)是定值，定值為1.令經(jīng)過點(diǎn) P (1, 3)的直線為 y=kx+b,則k+b=3,即b = 3- k,則直線的解析式是：y= kx+3 - k,- y= kx+3 - k, y=- =x2+Jx+_ia A .門 A '聯(lián)立化簡得：x2+ （4k- 2） x-4k-3=0, xi+x2= 2 4k, xix2= 4k 3

17、.yi = kxi+3 - k, y2= kx2+3 - k, yi - y2= k （xi x2）.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：MiM2 =，（盯-七）2 + （力一七）2= J （ VG 4k2 （打 一七）2=Jl+k%（勺-工2）4，MiM2=（盯f/尸+k紂（2-4k）2y "獨(dú)=4（i+k> 又 . MiP=J（勺-I）。十=+3-k-3 ）M2P ='二 y.MiP?M2P= （i+k2） ?J（工廠1）2（工 2T）2=（仃?J勺耳限（勺十工 " 十 I?=（i+k2）?V-4k'3-C2）+lS|= 4（i+k2）-MiP?M2P = M

18、iM2,【點(diǎn)評】 本題是難度很大的中考壓軸題，綜合考查了初中數(shù)學(xué)的諸多重要知識點(diǎn)：代數(shù)方面，考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次根式的運(yùn)算等；幾何方面，考查了兩點(diǎn)間的距離公式、軸對稱-最短路線問題等.本題解題技巧要求高，而且運(yùn)算復(fù)雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求.3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A (-4, 0), B (0, -4), C (2, 0)三點(diǎn).(1)求拋物線解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m, AMOA的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) m為何值時(shí)，S有最大值，這個(gè)最大值是多少？

19、(3)若點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，過 Q做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn) P,判斷有幾個(gè)Q能使以點(diǎn)P, Q, B, O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析 式，利用待定系數(shù)法求解即可；(2)利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn) M到x軸的距離，然后根據(jù)三角形面積公式表示并整理即可得解，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的 最值，然后即可得解；(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后求出 PQ的長度，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關(guān)于x的一元二次方

20、程即可得解.【解答】解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,拋物線經(jīng)過 A ( - 4, 0), B (0, - 4), C (2, 0),“16“曲+e=0 c=-4,;4a+2b+<?=0.拋物線解析式為y = ,x2+x - 4;(2) 丁點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-im2+m - 4,又. A (4, 0),，AO=0- (- 4) =4,，8=3* 4X| ?m2+m 4|= (m2+2m-8) = m2-2m+8,: S= - ( m2+2m - 8) = - ( m+1) 2+9,點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn),當(dāng) m= - 1時(shí)，S有最大值，最大值為S=

21、9;故答案為：S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為 S= - m2-2m+8,當(dāng)m= - 1時(shí)，S有最大值9;(3) 丁點(diǎn)Q是直線y= - x上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a, - a),點(diǎn)P在拋物線上，且 PQ / y軸，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a, a2+a-4), 2PQ= - a - ( a2+a - 4)=a2- 2a+4 , 22又 OB = 0- (- 4) = 4,以點(diǎn)P, Q, B, O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,|PQ|=OB,即 |一二a2 2a+4|= 4,-712 2a+4 = 4 時(shí)，整理得，a2+4a=0,解得a= 0 (舍去)或a= - 4,a = 4,所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-4, 4),-二a

22、2-2a+4=-4 時(shí)，整理得，a2+4a- 16=0,解得 a = - 2± 2JR所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2+2“，2- 2-75)或(-2-2-, 2+27e)，綜上所述，Q 坐標(biāo)為(-4, 4)或(-2+2虧，2-2 7)或(-2-24, 2+2J5)時(shí)， 使點(diǎn)P, Q, B, O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【點(diǎn)評】本題是對二次函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的表示，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解.4.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A (3, 0),點(diǎn)

23、B (1, 0),交y軸于點(diǎn)E (0,-3).點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸 平行.直線y= - x+m過點(diǎn)C,交y軸于D點(diǎn).昌月團(tuán)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線 CD交于點(diǎn)H,與拋物線交 于點(diǎn)G,求線段HG長度的最大值；(3)在直線l上取點(diǎn)M,在拋物線上取點(diǎn) N,使以點(diǎn)A, C, M, N為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形，求點(diǎn) N的坐標(biāo).【分析】(1)把點(diǎn)E, A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出a、b、c的值；(2)根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線 CD的解析式，然后結(jié)合圖形設(shè)出 K點(diǎn)的坐標(biāo)(t, 0),表 達(dá)出

24、H點(diǎn)和G點(diǎn)的坐標(biāo)，列出HG關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；(3)需要討論解決，若線段AC是以點(diǎn)A、C, M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN = 3-n；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n-3,然后根據(jù)已 知條件在求n的坐標(biāo)就容易了 若線段AC是以點(diǎn)A、C, M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對角線時(shí)，由“點(diǎn) C與點(diǎn)A關(guān) 于點(diǎn)B中心對稱”知：點(diǎn) M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，取點(diǎn) F關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P, 則P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0),過P點(diǎn)作NP，x軸，交拋物線于點(diǎn) N,結(jié)合已知條件再求 n 的坐標(biāo)就容易了.【解答】解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=a (x- 1) (x+

25、3)拋物線交y軸于點(diǎn)E (0, - 3),將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得 a= 1，所求函數(shù)表達(dá)式為 y = (x- 1) (x+3),即 y=x2+2x-3;(2)二.點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn) A坐標(biāo)(-3, 0),點(diǎn)B坐標(biāo)(1, 0),點(diǎn) C 坐標(biāo)(5, 0),，將點(diǎn) C坐標(biāo)代入 y= - x+m,得 m= 5,直線 CD的函數(shù)表達(dá)式為 y= - x+5,設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為(t, 0),則H點(diǎn)的坐標(biāo)為(t, - t+5) , G點(diǎn)的坐標(biāo)為(t, t2+2t- 3),點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，- 3wt" .HG= ( t+5) (t2+2t3) = t23t+8= ( t+-|-) 2+

26、, 1 - 3< -同v 1,.當(dāng)t=- 加，線段HG的長度有最大值(3)二點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B (1, 0),點(diǎn)C (5, 0), 點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3, 0), 直線l過點(diǎn)F且與y軸平行， 直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3, 點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3, m),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n, n2+2n-3), 點(diǎn) A ( - 3, 0),點(diǎn) C (5, 0), . AC= 8,分情況討論：若線段AC是以點(diǎn)A、C, M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則需 MN/AC,且MN = AC=8.當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN = 3-n,3 - n= 8,解得 n = - 5,.N點(diǎn)的坐標(biāo)

27、為(-5, 12),當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN = n-3, 1- n 3= 8,解得n= 11,.N點(diǎn)的坐標(biāo)為(11, 140),若線段AC是以點(diǎn)A、C, M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對角線，由“點(diǎn) C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對稱”知：點(diǎn) M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)過P點(diǎn)作NP±x軸，交拋物線于點(diǎn) N,將 x= 1 代入 y= x2+2x 3,得 y= - 4,過點(diǎn)N作直線NM交直線l于點(diǎn)M ,在 BPN和 BFM中，/ NBP = Z MBF ,BF=BP,/ BPN = Z BFM =90° , . BPNA BFM ,NB=

28、 MB, 四邊形ANCM為平行四邊形，坐標(biāo)(-1, -4)的點(diǎn)N符合條件， 當(dāng)N的坐標(biāo)為(-5, 12), (11, 140), (-1, -4)時(shí)，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的 四邊形為平行四邊形.【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.5.已知平面直角坐標(biāo)系 xOy (如圖1, 一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M在 正比例函數(shù)y=$ 的圖象上，且 MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A、M.(1)求線段AM的長；

29、(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3)如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn) A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)白圖象上，點(diǎn) D在一次函數(shù)y = J+3的圖象上，且四邊形 ABCD是菱形，求點(diǎn) C的坐標(biāo). 4【分析】（1）先求出根據(jù) OA垂直平分線上的解析式，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出線段AM的長；二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M.待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式； 可設(shè)D （n, -|n+3）,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 C （n, n噂n+3）且點(diǎn)C在二次函數(shù)y=x2-Lx+3上，得到方程求解即可.【解答】解：（1）在一次函數(shù)y=3x+3中，4當(dāng) x=0 時(shí)，y=3. .A (0, 3).MO=MA,M為O

30、A垂直平分線上的點(diǎn), OA垂直平分線上的解析式為y=又丁點(diǎn)M在正比例函數(shù), 2M (1,又A (0, 3).AM = 13 ； 一 /2(2)二.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A、M,可得|o+O+c=3解得-2.L c-3y= x2 - -x+3;2(3)二,點(diǎn)D在一次函數(shù)y=Wx+3的圖象上，4則可設(shè)D (n, Ji+3),4設(shè) B (0, m) (mv 3), C (n, n2 圖n+3)四邊形ABCD是菱形，E，|AB| = 3- m, |DC|= |yD - yc| = | n+3 - ( n2 n+3) |= |-n - n2|, 424|AD|=二：； j : ： :=

31、Hfnb|AB|= |DC|, |AB|= |DA|,3- m=魯n,解得，ni =0 (舍去)，n2=2,將n=2,代入C (n,n2_yn+3),.C (2, 2).即：滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為C (2, 2).【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點(diǎn)有拋物線解析式的確定，兩點(diǎn) 的距離公式，菱形的性質(zhì)，解二元一次方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大.6.將拋物線C1： V= -沿X軸翻折，得到拋物線C2,如圖所示.(1)請直接寫出拋物線 C2的表達(dá)式；(2)現(xiàn)將拋物線ci向左平移m (m>0)個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 A, B;將拋物線C2向

32、右也平移m個(gè)單位長度，平移后 得到的新拋物線的頂點(diǎn)為 N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為 D, E.用含m的代數(shù)式表示點(diǎn) A和點(diǎn)E的坐標(biāo)；在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A, M, E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的情形？若存在，請求出此時(shí) m的值；若不存在，請說明理由.【分析】(1)根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的特點(diǎn)即可得到拋物線C2的表達(dá)式；(2)由平移規(guī)律得到拋物線 ci向左平移m個(gè)單位長度的解析式，拋物線 C2向右也平 移m個(gè)單位長度的解析式，分別令 y = 0求出x的值，即可表示出 A與E的坐標(biāo)； 假設(shè)在平移過程中，存在以點(diǎn) A, M, E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，由題意得只能 是/AME=90°

33、; ,過點(diǎn)M作MGx軸于點(diǎn)G,由平移得到點(diǎn) M的坐標(biāo)，確定出 G的坐 標(biāo)，進(jìn)而得到AG, MG, EG的長，在直角三角形 AMG中，利用銳角三角函數(shù)定義表示 出tan/ MAG的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出/ MAG的度數(shù)為60° ,得到/ MEA的 度數(shù)為30° ,在直角三角形 MEG中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan/MEG的值，由MG的長及特殊角的三角函數(shù)值求出EG的長，即可確定出此時(shí) m的值.【解答】解：(1)拋物線C2的表達(dá)式是y=V3x2 V3；(2)拋物線Ci向左平移m個(gè)單位長度，得到解析式為y= - V3 (x+m) 2+ V3,令y=0,得到-73 (

34、x+m) 2+*氏=0,解得：x= 1 m 或 x= - 1 - m,，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1 - m, 0),拋物線C2向右也平移 m個(gè)單位長度，得到 y = V3 (x-m) 2- 3，令 y= 0,得到 V3 (x- m) 2- V3= 0,解得：x= m+1 或 x= m- 1,，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1+m, 0);假設(shè)在平移過程中，存在以點(diǎn)A, M, E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,由題意得只能是/ AME = 90° ,過點(diǎn) M作 MGx軸于點(diǎn) G, 由平移得：點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-m, V3),，點(diǎn)G的坐標(biāo)是(-m, 0),.GA= 1, MG= V3, EG = 2m+1,在 RtAAG

35、M 中， tanZ MAG= V3, AG / MAG = 60° ,. /AME=90° , . MEA = 30° ,3則在平移過程中，當(dāng) m=1時(shí)，存在以點(diǎn) A, M, E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【點(diǎn)評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：對稱的性質(zhì)，平移規(guī)律，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握對稱性質(zhì)及平移規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+6與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)C,拋物線y=-2x2+bx+c過A, C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn) B.(1)求拋物線的解析式.(2)在直線AC上方的拋物線上有一

36、動點(diǎn)E,連接BE,與直線AC相交于點(diǎn)F,當(dāng)EF時(shí)，求sin / EBA的值.(3)點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在(2)的條件下，若點(diǎn) E位于對稱軸左側(cè)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使以M, N, E,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【分析】(1)先由直線解析式求出點(diǎn) A、C坐標(biāo)，再將所求坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,求解可得;(2)先求出 B (1 , 0),設(shè) E (t, - 2t2- 4t+6),作 EHx 軸、FGx 軸，知 EH / FG ,由EF=上BF知23 3BH23克結(jié)合BH=1-t可得BG =一't,據(jù)此知F3BE,從而得出方程-

37、2t2- 4t+6 =與 (-7-+-t), 解之得 t1 = - 2, t2 = - 1,據(jù)此得出點(diǎn)E坐標(biāo)，再進(jìn)一步求解可得;(3)分EB為平行四邊形的邊和 EB為平行四邊形的對角線兩種情況，其中 EB為平行四邊形的邊時(shí)再分點(diǎn) M在對稱軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別求解可得.【解答】 解：(1)在y = 2x+6中，當(dāng)x = 0時(shí)y= 6,當(dāng)y= 0時(shí)x= - 3, .C (0, 6)、A ( 3, 0),拋物線 y= - 2x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A、C兩點(diǎn),-18-3b=0 c=6解得5三一4c=6，拋物線的解析式為y= - 2x2 - 4x+6;(2)令2x2-4x+6 = 0,解得 X1

38、= - 3, X2= 1,B (1, 0),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t,E (t, - 2t2-4t+6),如圖，過點(diǎn) E作EHx軸于點(diǎn) H,過點(diǎn) F作FGx軸于點(diǎn) G,則EH / FG,1. EF=4F ,2. .典=盟=&2,BE BH EH 3BH = 1 -t,.BG=罵H=-t, 33 3.點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為+t, 3 3F 茨如-2t2-4t+6 = |-(察+*),-t2+3t+2= 0,解得 t1= - 2, t2= - 1 ,當(dāng) t= - 2 時(shí)，2t2 4t+6 = 6,當(dāng) t= - 1 時(shí)，2t24t+6=8,.舊(-2, 6), E2 (- 1, 8),當(dāng)點(diǎn) E的坐標(biāo)為(-2

39、, 6)時(shí)，在 RtAEBH中，EH=6, BH = 3,BE= VeH2+BH2=Vg2+3= 3-后.，sinZEBA=EH = _=M BE 3755同理，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1, 8)時(shí),sin / EBA的值為題H或國IL；517(3)二點(diǎn)N在對稱軸上,當(dāng)EB為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況：(I )點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)，BN為對角線，. E ( 2, 6), xn= 1, - 1 - (2) =1, B (1, 0), xM = 1+1 = 2 ,當(dāng) x= 2 時(shí)，y= - 2X 224X 2+6= 10,M (2, - 10);(n )點(diǎn) M在對稱軸左側(cè)時(shí)，BM為對角線，- XN= -

40、 1 , B (1, 0), 1 - (-1) =2, E (-2, 6), Xm = - 2 2 = 4,當(dāng) x= - 4 時(shí)，y= 2X (4)24X (4)+6= 10,M (- 4, - 10);當(dāng)EB為平行四邊形的對角線時(shí)，- B (1, 0), E ( 2, 6), Xn=- 1,1+ ( - 2) = - 1 + Xm ,.Xm = 0,當(dāng) x= 0 時(shí)，y= 6,M (0, 6);綜上所述，M的坐標(biāo)為(2, - 10)或(-4, - 10)或(0, 6).【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用及平行四邊形的判定和

41、性質(zhì)等知識點(diǎn).8.如圖1 (注：與圖2完全相同)，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn) A (1, 0)、B (5, 0)、C (0, 4)三點(diǎn).V* u(1)求拋物線的解析式和對稱軸；(2) P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足PA+PC的值為最小的點(diǎn) P坐標(biāo)(請?jiān)趫D1中探索)；(3)在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)巳 使四邊形 OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為12的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在請說明理由(請?jiān)趫D2中探索)【分析】(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=a (x- 1) (x-5) = a (x2-6x+5),即可求解；(2)連接B、C交對稱軸于點(diǎn) P,此時(shí)PA+P

42、C的值為最小，即可求解；-、_一 12 (3) S四邊形OEBF = OBXyE = 5XyE=12,則yE=,將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解.【解答】解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y= a (x-1) (x-5) = a(x2- 6x+5),則 5a=4,解得：a=,5拋物線的表達(dá)式為：y= (x2-6x+5) = x2- -x+4, 5|5|5函數(shù)的對稱軸為：x= 3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-孕)；(2)連接B、C交對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值為最小,將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b得：,?他L _A解得：卜5,Lb=4直線BC的表達(dá)式為：y= - -x

43、+4 , 5當(dāng)x = 3時(shí)，y=旦，5故點(diǎn)P （3,3;（3）存在，理由:四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線且面積為 12的平行四邊形,則 S 四邊形 oebf = OB X 點(diǎn)=5X |yE|= 12,點(diǎn)E在第四象限，故：則12 yE=,將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:(X2 - 6x+5)=-125解得：x=2或4,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,125）或（4,【點(diǎn)評】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（2）,求線段和的最小值，采取用的是點(diǎn)的對稱性求解，這也是此類題目的一般解法.9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y= - -x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)

44、A,與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y= - x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DCx軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)是否存在點(diǎn)D,使得 BDE和4ACE相似？若存在，請求出點(diǎn) D的坐標(biāo)，若不存 在，請說明理由；(3)如圖2, F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)(不與點(diǎn) D重合)，點(diǎn)G是線段AB上的 動點(diǎn).連接DF, FG,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn) G的 坐標(biāo).國L圉2【分析】(1)根據(jù)y=-冬+3,求出A, B的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中即可求得拋 4物線解析式；(2) ABDE和4ACE相似，要分兩種情況進(jìn)行討論

45、：BDEsace,求得D 注 ,43);DBEsace,求得 D (苫，);(3)由DEGF是平行四邊形，可得 DE/FG, DE = FG,設(shè)D (m,m2坨+3)，E(m, F (n, -門*“!+3), G (n, 上口十3),根據(jù)平行四邊形周長公式可444得：DEGF周長=-2 中+粵 ,由此可求得點(diǎn) G的坐標(biāo). 一 . ， sd 一 ， "【解答】解：(1)在y= - -x+3中，令x= 0,得y = 3,令y= 0,得x = 4,A (4, 0), B (0, 3),r 2一一-、一c- 4H-4-hi+c 0將A (4, 0), B (0, 3)分別代入拋物線y=-x2

46、+bx+c中，得：,解得：lc=3!:?拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y= - x2+3x+3.4(2)存在.如圖1,過點(diǎn)B作BHXCD于H,設(shè)C (t, 0),則D (t, 一七之十),E （t,（t, 3）;1 1 EC= -""+3, AC = 4-t,BH=t, DH = - t2+ 工t, DE= - t2+4t BDE 和 AACE 相似，/ BED = Z AEC BDEA ACE 或 DBEACE當(dāng)BDEsACE 時(shí)，/ BDE = Z ACE = 90° ,.旦1=配，即：BD?CE=AC?DEDE CEt（Tt+3）= （4t） x （ t2+4t）,

47、解得：ti = 0 （舍去），t2=4 （舍去），t3 = 生, 44 D （竽 3）當(dāng) DBEACE 時(shí)，/ BDE = / CAE .BHXCD ./ BHD = 90° ,.器=tan/ BDE = tanZCAE= 號，即：BH?AC=CE?DH t（4t） =（ yt+3）（ - t2+-±-=-t）,解得：ti = 0 （舍），t2= 4 （舍），tsu", 4412D （駕典）；129綜上所述，點(diǎn)d的坐標(biāo)為（工3, 3）或（W3,上二）； 4129（3）如圖2,二四邊形DEGF是平行四邊形 DE F FG, DE = FG設(shè) D （m, 一加2，E （m，,-"m+3），F(xiàn)（n, - -4，G（ n，-"n+3），則：DE = - m2+4m, FG=n2+4n, . 一 m2+4m= n2+4n,即：（mn） （m+n 4） =0, mnw0m+n - 4 = 0,即： m+n = 4過點(diǎn)G作GKXCD于K,則GK / AC ./ EGK=Z BAO 粵=cosZ E