地下水運(yùn)動(dòng)中計(jì)算

1、.地下水運(yùn)動(dòng)中的專(zhuān)門(mén)問(wèn)題§6.l 非飽和帶的地下水運(yùn)動(dòng) 在地下水面以上的非飽和帶（即包氣帶）也有水的運(yùn)動(dòng)。在許多情況下，研究非飽和帶的地下水運(yùn)動(dòng)具有很大的意義。例如，在地下水資源評(píng)價(jià)中，必須研究“三水”(即大氣水、地表水相地下水)的相互轉(zhuǎn)化，而非飽和帶的地下水運(yùn)動(dòng)是其轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。入滲的水必須經(jīng)過(guò)非飽和帶才能到達(dá)潛水面，故研究水在非飽和帶的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于入滲的計(jì)算很重要。其次，各種施加在地表的污染物將隨入滲的水一起運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)非飽和帶進(jìn)入地下水中。因此研究地下水污染時(shí)，也必須研究非飽和帶中水的運(yùn)動(dòng)。6.1.1 非飽和帶水分的基本知識(shí) 1. 含水率、飽和度和田間持水量 在非飽和帶中，空隙空

2、間的一部分充填了水，其余部分充填了空氣。水分和空氣的相對(duì)份量是變化的?？梢杂枚€(gè)變量來(lái)表示水分含量的多少。為含水率，表示單位體積中所占的體積： (6-1)式中，為含水率，無(wú)量綱；(Vw)0為典型單元體中水的體積；V0為典型單元體的體積；另個(gè)為飽和度Sw，表示巖石的空隙空間中水所占據(jù)部分所占的比例： (6-2)式中，Sw為飽和度，無(wú)量綱；(V0) 0為典型單元體中的空隙體積。 顯然，含水率不能大于空隙度n。而飽和度Sw不能大于1。兩者之間有下列關(guān)系：nSw (6-3)因?yàn)槔昧说湫蛦卧w的概念上述定義對(duì)于任一點(diǎn)都是適用的。 在長(zhǎng)時(shí)間重力排水后仍然保留在土中的水量稱(chēng)為田間持水量。此時(shí)，水以簿膜水的

3、形式和在顆粒接觸點(diǎn)附近以孤立的懸掛環(huán)形式存在。從圖6-1可以看出，空隙度減去田間持水量，相當(dāng)于排水空隙度，即排水時(shí)的有效空隙度。 2毛管壓力 當(dāng)多孔介質(zhì)空孔隙中有兩種不相混溶的流體(如水和空氣)接觸時(shí)，這兩種液體之間的壓力存在著不連續(xù)性。此壓力差的大小取決于該點(diǎn)界面的曲率(它又取決于飽和度)，這個(gè)壓力差pc稱(chēng)為毛管壓強(qiáng)： (6-4)式中，空氣的壓強(qiáng)，水的樂(lè)壓強(qiáng)。如假設(shè)孔隙中的空氣是在101325Pa(一個(gè)大氣壓)下、并取大氣壓強(qiáng)作為測(cè)量流休壓強(qiáng)的基準(zhǔn)，則0，于是： (6-5)故非和帶孔隙中的水處于小于大氣壓強(qiáng)的情況下。正如在毛細(xì)管現(xiàn)象中見(jiàn)到的一樣，在周?chē)嬉陨系拿軆?nèi)的壓強(qiáng)是負(fù)的。 和飽和帶

4、的情況一樣，可以定義非飽和帶水流中任何點(diǎn)的水頭(毛管水頭)： （6-6）式中，g為水的容重； (6-7)稱(chēng)為毛管壓力水頭。某些作者用符號(hào)表示壓力水頭的負(fù)值，即： (6-8) (6-9)對(duì)于飽和非飽和流動(dòng)，可以寫(xiě)出統(tǒng)一的水頭表達(dá)式； (6-10)式中，壓強(qiáng)少可正可負(fù)。在飽和帶中，p為水的壓強(qiáng)，取正值；在非飽和帶，p為毛管壓強(qiáng)的負(fù)數(shù)，取負(fù)值。其余符號(hào)同前。圖6-1 非飽和帶的含水量曲線圖6-2 土壤水分特征曲線（據(jù)Richards 和Weaner） 3土壤水分特征曲線 反映毛管壓強(qiáng)pc或毛管壓力水頭hc和土壤含水率或飽和度Sw關(guān)系的曲線，稱(chēng)為水分特征曲線(圖6-2)。它表示非飽和帶中水分的能量和數(shù)

5、量之間的關(guān)系，反映了包氣帶中水的基本特征。從曲線上還可以看出，即使在相當(dāng)高的壓強(qiáng)下，土樣中仍保持一定的水，含水率不再進(jìn)一步減小。這個(gè)含水率記作，相應(yīng)的飽和度為： 不同土的水分特征曲線是不同的。在同樣條件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。土的顆粒級(jí)配，對(duì)持征曲線的形狀也有影響，如圖6-2的曲線I和II。溫度的變化對(duì)它也有影響。溫度升高時(shí)，表面張力降低，在同樣吸力下含水率要低一些。水分持征曲線斜率的負(fù)倒數(shù)稱(chēng)為容水度，記作C： （6-11）容水度不是常數(shù)，它隨含水率或毛管壓強(qiáng)而變化，記作C()或C(hc)。它表示毛管壓力水頭變化一個(gè)單位時(shí)從單位體積土中釋放出的水體積，是計(jì)算非飽和帶水

6、運(yùn)動(dòng)的重要參數(shù)。圖6-3吸濕和排水情況下的水分特征曲線 (據(jù)J. Bear)實(shí)驗(yàn)表明：同一土樣在同樣的溫度下，排水過(guò)程和吸濕過(guò)程的水分特征曲線是不同的(圖6-3)。在同一pc或hc下，排水時(shí)的含水率要大于吸濕時(shí)的含水率。這種現(xiàn)象稱(chēng)為滯后現(xiàn)象。土壤從飽和到干燥或從干燥到飽和的水分持征曲線稱(chēng)為主線。土樣從部分濕潤(rùn)到開(kāi)始排水或從半干燥狀態(tài)重新潤(rùn)濕時(shí)，水分特征曲線是順著一些中間曲線由一條主線移至另一條主線，這些中間曲線稱(chēng)為掃描曲線。因此，水分持征曲線隨土壤的干、濕歷史的不同而變化。故容水度C()不是含水率的單值函數(shù)。4非飽和流動(dòng)中的給水度概念已經(jīng)介紹過(guò)給水度的概念。給水度是單位體積含水層中所排出的重力

7、水的體積。但實(shí)際上，當(dāng)潛水面下降時(shí)，其間的水并未全部排出，只是由飽和帶的水變成非飽和帶的水，水分分布曲線發(fā)生相應(yīng)的改變。實(shí)際排出的水體積只相當(dāng)于排水前后兩條水分分布曲線間的那一部分面積。為此，需要這樣來(lái)定義給水度：從地表一直延伸到含水層底板的一個(gè)單位水平面積垂直土柱，當(dāng)潛水面降低一個(gè)單位時(shí)，由重力所排出的水的體積。由于重力排水的遲后，給水度m也是時(shí)間t的函數(shù)。只有當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間排水后才趨近于某一常數(shù)值。6.1.2 非飽和帶水運(yùn)動(dòng)的基本方程1. 運(yùn)動(dòng)方程1931年，Richards提出，Darcy定律可引伸應(yīng)用于非飽和帶水的運(yùn)動(dòng)。但此時(shí)的滲透率k和滲透系數(shù)K不再是常數(shù)，而與土壤的含水率有關(guān)。當(dāng)含水率(

8、或飽和度)減小時(shí)，一部分空隙為空氣充填，因而過(guò)水?dāng)嗝鏈p小，滲流途徑的彎曲程度增加，導(dǎo)致滲透率或滲透系數(shù)減小。因此，該情況下k和K可記作含水率或飽和度Sw的函數(shù)k()，K()或k(Sw)，K(Sw)。這樣，非飽和帶中的Darcy定律表達(dá)式為： v=K()J (6-12)如用滲透率來(lái)表達(dá)時(shí)，則有： (6-13)式中：k一飽和土的滲透率；k(Sw)非飽和土的滲透率，為飽和度Sw的函數(shù)；kr(Sw)一相對(duì)滲透率，；m 水的動(dòng)力粘滯系數(shù)。相對(duì)滲透率為非飽和土的滲透率和同一種土飽和時(shí)的滲透率的比值，為含水率或飽和度Sw的函數(shù)。非飽和砂的相對(duì)滲透率和飽和度Sw的關(guān)系表示在圖6-4中。當(dāng)飽和度(含水率)減少時(shí)

9、，大孔隙首先開(kāi)始排水，滲透在較小的孔隙中進(jìn)行，過(guò)水?dāng)嗝鏈p小，滲流途徑的彎曲度增加，相對(duì)滲透率急劇減小。到達(dá)A點(diǎn)，孔隙中的水變得不連續(xù)了，相對(duì)滲透率等于零。此時(shí)的飽和度為身Sw0，相應(yīng)的含水率為0n Sw0。圖6-4 非飽和砂的相對(duì)滲透率與飽和度的關(guān)系 (據(jù)Wyckoff 和Botset, 1936)2基本微分方程在第一章中，我們已經(jīng)得到了滲流的連續(xù)性方程(1-65)式。對(duì)于非飽和流動(dòng)，把等式右端的空隙度n換成含水率，方程仍然是適用的。在非飽和帶中，一般不考慮介質(zhì)的變形，即單元體體積DxDyDz不隨時(shí)間而變化。于是可以約去等式兩端的DxDyDzDt；同時(shí)，在非飽和流動(dòng)中，水的密度r變化很小，可當(dāng)

10、作常數(shù)。于是，相應(yīng)的連續(xù)性方程為： (6-14)將運(yùn)動(dòng)方程(6-12)式代入(6-14)式中，得： (6-15)式(6-15)即為非飽和流的基本微分方程，稱(chēng)為Richards方程。上述方程中，既含有含水率q，又含有水頭H，為解決問(wèn)題方便起見(jiàn)，可以把基本微分方程化成以下幾種表達(dá)形式。(1) 以含水率q為因變量的表達(dá)式：前已述及，非飽和帶的水頭Hz-hc，又由水分特征曲線、毛管壓力水頭hc和含水率q之間存在著函數(shù)關(guān)系，因此(6-15)式可改寫(xiě)為： （7-16）由于水分持征曲線各處的斜率不同，C不是常數(shù)而是隨含水率q而變的變數(shù)，即CC(q)。令：參數(shù)D(q)是滲透系數(shù)和容水度的比值，稱(chēng)為擴(kuò)散系數(shù)，量

11、綱為L(zhǎng)2T-1。它是一個(gè)重要的參數(shù)。引入D(q)以后，(6-16)式變?yōu)椋?（6-18）這是二階的非線性偏微分方程。對(duì)于一維的垂直流動(dòng)，可簡(jiǎn)化為： （6-19）z軸向上取正值，z軸向下取負(fù)值。(2) 以毛管壓力水頭為因變量的表達(dá)式：從水分特征曲線可知，毛管壓力水率之間存在著函數(shù)關(guān)系。因此，非飽和土的滲透系數(shù)同樣是毛管壓力水頭的函數(shù)，即K=K(hc)或K(y)，CC(hc)或C(y)。于是， （6-20） （6-21）考慮到 （6-22）(3) 飽和非飽和流的表達(dá)式：在飽和非飽和流動(dòng)中，常以壓強(qiáng)p或水頭H為因變量，有。如果不忽略密度的變化，連續(xù)性方程(6-14)可寫(xiě)為： （6-23）再將v用運(yùn)動(dòng)

12、方程(6-13)代入，容重grg，含水率qnSw，則得： (6-24)該方程中的某些參數(shù)的取值范圍如下：以上考慮的模型都是單相流模型，只研究水的運(yùn)動(dòng)，即凡是水流到的地方，空氣自然被排走。實(shí)際上，巖石空隙是既存在空氣也存在水的二相系統(tǒng)，也必然是更復(fù)雜的模型，這里就不介紹了，請(qǐng)讀者參考有關(guān)的專(zhuān)著。思考題： 1為什么對(duì)于飽和流動(dòng)，不透水邊界的邊界條件為，而對(duì)于垂直入滲的非飽和流動(dòng)，不透水邊界的邊界條件為？2圖6-5為一個(gè)垂直入滲情況下的飽和非飽和流動(dòng)模型。地面入滲率為R(t)，潛水面的埋深s(t)隨時(shí)間而變化，初始埋深為s(0)L，潛水含水層底板隔水。試寫(xiě)出該情況下的飽和非飽和流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。圖6-

13、5 垂直入滲情況下的飽和-非飽和流動(dòng)模型他在建立微分方程時(shí)應(yīng)用了下列假定：(1) 具有原生孔隙的巖層中廣泛發(fā)育有隨機(jī)分布的裂隙，二者都充滿著整個(gè)研究區(qū)，形成兩個(gè)重疊的連續(xù)系統(tǒng)。也就是說(shuō)，孔隙和裂隙的分布彼此都是連續(xù)的。即所謂的“二重性”假定。雙重介質(zhì)的名稱(chēng)即由此而來(lái)。根據(jù)這一假定，在滲流區(qū)中的每個(gè)點(diǎn)上都有兩個(gè)水頭，一個(gè)是孔隙水頭H，另一個(gè)是裂隙水頭Hf；(2) 孔隙以貯水為主，裂隙以導(dǎo)水為主，水自孔隙經(jīng)裂隙流向別處，其總的滲透性決定于裂隙的滲透性；水在裂隙中的流動(dòng)服從Darcy定律；(3) 孔隙和裂隙的初始水頭相等，它們之間交換的水量與其水頭差成正比，即： Qpf = C(H-Hf) (6-2

14、5)式中，Qpf為單位體積的含水層在單位時(shí)間內(nèi)從孔隙流入裂隙的水量，C是比例常數(shù)；(4) 含水層骨架可以壓縮，但其固體顆粒的壓縮性忽略不計(jì)，看成是剛性的。6.2.2微分方程的建立根據(jù)上述假定和水流連續(xù)性原理，可以建立裂隙承壓含水層的微分方程。仍然考慮圖1-29中那個(gè)單元體的水均衡，所取坐標(biāo)軸和主滲透方向一致。根據(jù)第二個(gè)假定，這個(gè)單元體中的水通過(guò)裂隙流入、流出，并服從Darcy定律。因此，在Dt時(shí)段內(nèi)沿x軸方向流入這個(gè)單元體與流出這個(gè)單元體的水量之差(凈流入這單元體的水量)為：式中，為裂隙的主滲透系數(shù)(與x軸平行)。同理可得，Dt時(shí)段內(nèi)沿y軸方向和z軸方向凈流入這個(gè)單元體的水量分別為：和式中，、

15、為裂隙的主滲透系數(shù)(分別與y軸和z軸平行)。根據(jù)假設(shè)，孔隙中釋放出的水要進(jìn)入裂隙，其量為：因此，在Dt時(shí)間內(nèi)單元體中總的水量變化(凈流入量)為： （6-25）這個(gè)時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)由于貯存的變化所引起的水量變化為： 式中為裂隙貯水率。單元體內(nèi)水量變化必然引起貯存的變化，兩者應(yīng)相等。于是得 （6-26）同理，對(duì)孔隙有 （6-27）式中，、為沿x，y，z軸方向孔隙的主滲透系數(shù)，為巖塊的貯水率。 由于孔隙中的水力坡降很小，可以認(rèn)為：故有 （6-28）式中，稱(chēng)為承壓水遷移系數(shù)。為了建立關(guān)干Hf的方程，把(6-28)式改寫(xiě)為這是關(guān)于（HHf）的一階線性微分方程。按已知公式，可求得其道解為： （6-29）再

16、利用初始條件： 帶入上式，可得C=0。有此求得其解為 （6-30）把它代入(6-28)式可得： （6-31）把它代入(6-26)式，便可得只包括裂隙水頭Hf的方程： （6-32）上式是描述承壓雙重介質(zhì)裂隙水流的基本微分方程。在二維情況下可簡(jiǎn)化為： （6-33）式中、為裂隙的主導(dǎo)水系數(shù)(分別與x, y軸平行)。為裂隙和巖塊的貯水系數(shù)。把上述方程和描述多孔介質(zhì)中滲流的基本微分方程比較，其不同之處只是多了一項(xiàng)：（ 二維情況下為）從前面的討論中不難發(fā)現(xiàn)，它表示： 因此，它的物理意義為單位時(shí)間內(nèi)單位體積含水層(二維情況下為單位面積的柱體)中從孔隙流入裂隙的水量。它是一個(gè)和時(shí)間有關(guān)的量，抽水早期，即t值很

17、小時(shí)，它很小，抽出的水主要來(lái)自裂隙內(nèi)水的釋放，從而造成裂隙水頭的迅速下降。隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，這一水量相應(yīng)地增大，裂隙水頭的下降速度也隨之減緩?？梢?jiàn)，多孔巖塊中的水是逐漸釋放出來(lái)的。這是由該數(shù)學(xué)表達(dá)式的性質(zhì)決定的，從而造成孔隙水頭的下降落后于裂隙水頭的下降，在時(shí)間上存在著遲后。因此，這部分水量也可以稱(chēng)為延遲彈性釋水量。隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，遲后效應(yīng)逐漸變小，孔隙中釋放的水量逐漸跟得上裂隙中水位的下降，最后遲后效應(yīng)小到可以忽略不計(jì)。和潛水Boulton方程比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩者在形式上是相似的，都包含有延遲效應(yīng)項(xiàng)，即延遲彈性釋水量項(xiàng)和潛水遲后重力排水項(xiàng)。但前音有明確的物理含意。延遲彈性釋水項(xiàng)中包含一個(gè)新的參

18、數(shù)承壓水遷移系數(shù)g。根據(jù)定義，其中比例常數(shù)C是反映孔隙和裂隙之間水量交換特征的參數(shù)，與孔隙的滲透系數(shù)K及多孔巖塊的幾何特征有關(guān)。TDStreltsova(1976)認(rèn)為，CK/L，L為巖塊的特征長(zhǎng)度，用巖塊的平均大小或巖塊中心到它表面的平均距離來(lái)表示。所以g值取決于K，L，等，它是反映孔隙、裂隙發(fā)育情況及其連通程度的特征量。g越小，從孔隙向裂隙運(yùn)移的水量越少，延遲時(shí)間越長(zhǎng)；反之，g越大，從孔隙向裂隙運(yùn)穆的水量越多，延遲的時(shí)間越短。對(duì)無(wú)壓含水層，相應(yīng)近似的裂隙水流基本方程，在二維情況下為： （6-34）式中，稱(chēng)為水遷移系數(shù)，h為含水層厚度。方程右端第二項(xiàng)的物理含意為延遲彈性釋水量與延遲重力排水量

19、之和。對(duì)于完整抽水井，如果含水層是均質(zhì)、等厚的承壓含水層，抽水前，所有裂隙和孔隙中的靜水壓力相等，以定流量抽水，則有： （6-35）式中，sf為裂隙中的降深，此時(shí)有定解條件：s (r，0)=0s (，t)=0 t > 0 t > 0§6.3 水動(dòng)力彌散理論 隨著近年來(lái)地下水遭到不同程度的污染，地下水中溶質(zhì)運(yùn)移理論可以用來(lái)模擬地下水中污染物的運(yùn)移過(guò)程，預(yù)測(cè)地下水污染的發(fā)展趨勢(shì)，控制地下水污染等方面。6.3.1水動(dòng)力彌散現(xiàn)象及其機(jī)理先考察一個(gè)實(shí)例。通過(guò)它們可以大致了解水動(dòng)力彌散現(xiàn)象是怎么回事。例：若在一口井中瞬時(shí)注入某種濃度的一種示蹤劑，則在附近觀測(cè)孔中可以觀察到示蹤劑不僅隨

20、地下水流一起位移，而且逐漸擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，超出了僅按平均實(shí)際流速所預(yù)期到達(dá)的范圍，并有垂直于水流方向的橫向擴(kuò)散，不存在突變的界面。上述事實(shí)說(shuō)明，存在一種特殊的現(xiàn)象。因?yàn)槿绻淮嬖谶@種現(xiàn)象，示蹤劑應(yīng)按水流的平均流速移動(dòng)；含示蹤劑和不含示蹤刑的水的接觸界面應(yīng)該是突變的；示蹤劑也不應(yīng)公橫向擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，即有一個(gè)以實(shí)際平均流速移動(dòng)的直立鋒面。以上事實(shí)說(shuō)明，在兩種成分不同的可以混溶的液體之間存在著一個(gè)不斷加寬的過(guò)渡帶。這種現(xiàn)象稱(chēng)為水動(dòng)力彌散。因此，所謂水動(dòng)力彌散就是多孔介質(zhì)中所觀察到的兩種成分不同的可混溶液體之間過(guò)渡帶的形成和演化過(guò)程。這是一個(gè)不穩(wěn)定的不可逆轉(zhuǎn)的過(guò)程。水動(dòng)力彌散是由溶質(zhì)在多孔介質(zhì)中的機(jī)械彌散和分子

21、擴(kuò)散所引起的。茲分述如下。（1）機(jī)械彌散在多孔介質(zhì)中，無(wú)論液體運(yùn)動(dòng)速度的大小還是方向，都是很不均一的。這主要和下列情況有關(guān)：由于液體有粘滯性以及結(jié)合水對(duì)重力水的摩擦阻力，使得最靠近隙壁部分的(重力)水流速度趨近于零，向軸部流速逐漸增大，至軸部最大，孔隙的大小不一，造成不同孔隙間軸部最大流速有差異，孔隙本身彎彎曲曲，水流方向也隨之不斷改變，因此對(duì)水流平均方向而言，具體流線的位置在空間是擺動(dòng)的。這幾種現(xiàn)象是同時(shí)發(fā)生的，由此造成開(kāi)始時(shí)彼此靠近的示蹤劑質(zhì)點(diǎn)群在流動(dòng)過(guò)程中不是一律按平均流速運(yùn)動(dòng)，而是不斷向周?chē)鷶U(kuò)展，超出按平均流速所預(yù)期的擴(kuò)展范圍。沿平均速度方向和垂直它的方向上，都可以看到這種擴(kuò)展現(xiàn)象。液

22、體通過(guò)多孔介質(zhì)流動(dòng)時(shí)，由于速度不均一所造成的這種物質(zhì)運(yùn)移現(xiàn)象稱(chēng)為機(jī)械彌散。（2）分子擴(kuò)散分子擴(kuò)散是由于液體中所含溶質(zhì)的濃度不均一而引起的一種物質(zhì)運(yùn)移現(xiàn)象。濃度梯度使得物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方運(yùn)移，以求濃度趨向均一。因此，即使在靜止液體中也會(huì)發(fā)生分子擴(kuò)散，使示蹤劑擴(kuò)散到越來(lái)越大的范圍。分子擴(kuò)散使同一流束內(nèi)的濃度趨于均一，而且相鄰流束間在濃度梯度的作用下也有物質(zhì)交換，導(dǎo)致橫向濃度差的減小。物理學(xué)的知識(shí)告訴我們，分子擴(kuò)散服從Fick定律。該定律揭示了溶液中溶質(zhì)的擴(kuò)散，在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量入與該溶質(zhì)的濃度梯度成正比，即：式中：為該溶質(zhì)在溶液中的濃度c沿方向s變化的濃度梯度，比例系

23、數(shù)Dd稱(chēng)為擴(kuò)散系數(shù)，量綱為L(zhǎng)2T-1。不同溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)各不相同，同一物質(zhì)在不同溫度下的擴(kuò)散系數(shù)也不同。在濃度低的情況下，可以認(rèn)為它是一個(gè)與濃度無(wú)關(guān)的常數(shù)。由于擴(kuò)散是沿著濃度減小的方向進(jìn)行的，而擴(kuò)散系數(shù)總是正的，所以式中要加一負(fù)號(hào)。液體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)時(shí)，機(jī)械彌散和分子擴(kuò)散是同時(shí)出現(xiàn)的，事實(shí)上也不可分。這種劃分帶有某種人為的性質(zhì)。事實(shí)上，“純”機(jī)械彌散不可能存在。因?yàn)楫?dāng)示蹤劑質(zhì)點(diǎn)沿著微小的流管運(yùn)移時(shí)，分子擴(kuò)散不僅使流管中的濃度趨于拉平，而且還使示蹤劑質(zhì)點(diǎn)從一條流管移向相鄰的另一條流管，導(dǎo)致橫向濃度差的減小。但分子擴(kuò)散，即使在沒(méi)有水流運(yùn)動(dòng)的情況下也能單獨(dú)存在。當(dāng)流速較大時(shí)，機(jī)械彌散是主要的；當(dāng)流

24、速甚小時(shí)，分子擴(kuò)散的作用就變得很明顯。顯然，機(jī)械彌散和分子擴(kuò)散都會(huì)使溶質(zhì)既沿平均流動(dòng)方向擴(kuò)展又沿垂直于它的方向擴(kuò)展。前者稱(chēng)為縱向彌散，后者稱(chēng)為橫向彌散。除了機(jī)械彌散和分子擴(kuò)散外，某些其它現(xiàn)象也會(huì)影響多孔介質(zhì)中溶質(zhì)的濃度分布，如多孔介質(zhì)中固體顆粒表面對(duì)溶質(zhì)的吸附、沉淀，水對(duì)固體骨架的溶解及離子交換等。此外，液體內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)也可導(dǎo)致溶質(zhì)濃度的變化。6.3.2水動(dòng)力彌散系數(shù)由于多孔介質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，從微觀水平上研究一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律實(shí)際上足不可能的；同樣，從微觀水平宋研究彌散也是困難的。因此，和定義滲流速度一樣，也從宏觀上來(lái)描述彌散現(xiàn)象，亦即將其定義在典型單元體(REV)上的平均值。分子擴(kuò)散服從

25、Fick定律，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理想模型的研究，證實(shí)機(jī)械彌散也能用這個(gè)定律來(lái)描述。根據(jù)Fick定律，多孔介質(zhì)中的分子擴(kuò)散可用下式描述： ID·gradc 式中，D”為多孔介質(zhì)中的分子擴(kuò)散系數(shù)，量綱為L(zhǎng)2T-1 ，是二秩張量；c為該溶質(zhì)在溶液中的濃度；I為由于分于擴(kuò)散在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量，對(duì)于機(jī)械彌散有： I一D·gradc 式中，D為機(jī)械彌散系數(shù)，量綱為L(zhǎng)2T-1 ，也是二秩張量；I為由于機(jī)械彌散造成的個(gè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量，c的含義同前。D和D的量綱相同，由此定義水動(dòng)力彌散系數(shù)D： D也是二秩張量。由于水動(dòng)力彌散在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的溶質(zhì)的質(zhì)量則為I

26、I 十I一D·gradc，如果我們選擇x軸與該點(diǎn)處的平均流速方向一致，y軸和z軸則與平均流速方向垂直，則上式也可以寫(xiě)成下列更容易被我們理解的形式：或此時(shí)水動(dòng)力彌散系數(shù)張量：坐標(biāo)軸方向稱(chēng)為彌散主軸。Dxx稱(chēng)為縱向彌散系數(shù)，Dyy，Dzz稱(chēng)為橫向彌散系數(shù)。由于彌散主鈾的方向依賴于流速方向，即使在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中，各點(diǎn)彌散主軸的方向也會(huì)隨著水流方向的改變而各不相同。水動(dòng)力彌散系數(shù)在研究地下水物質(zhì)運(yùn)移問(wèn)題中是一個(gè)很重要的參數(shù)。通過(guò)大量在末固結(jié)的多孔介質(zhì)中的實(shí)驗(yàn)，得到了如圖7-10所示的曲線。圖中縱坐標(biāo)是從實(shí)驗(yàn)室得到的縱向彌散系數(shù)DL與溶質(zhì)在所研究的液相中的分子擴(kuò)散系數(shù)Dd的比值，橫坐標(biāo)是一

27、個(gè)無(wú)量綱的量：圖6-10 分于擴(kuò)散和水動(dòng)力彌散間的關(guān)系 (據(jù)J. Bear)稱(chēng)為Peclet數(shù)。其中，u為實(shí)際平均流速，d為多孔介質(zhì)的某種特征長(zhǎng)度，如多孔介質(zhì)的平均粒徑等。該無(wú)量綱數(shù)表示實(shí)際流速和分子擴(kuò)散系數(shù)相比的相對(duì)大小，Pe數(shù)愈大，表示流速相對(duì)愈大。根據(jù)這條曲線的變化情況，大致上可以分五個(gè)區(qū)。第I區(qū)：實(shí)際流速很小，以分子擴(kuò)散為主，相當(dāng)于曲線上尋接近于常數(shù)的一段。第II區(qū)：對(duì)應(yīng)的Peclet數(shù)Pe約在0.4到5之間，曲線開(kāi)始向上彎曲，機(jī)械彌散已達(dá)到和分子擴(kuò)散相同的數(shù)量級(jí)。因此，應(yīng)當(dāng)研究?jī)烧叩暮?，而不?yīng)忽略其中的任何一個(gè)。第III區(qū)：物質(zhì)運(yùn)移主要由機(jī)械彌散和橫向分子擴(kuò)散相結(jié)合而產(chǎn)生。橫向分子擴(kuò)

28、散往往會(huì)削弱縱向的物質(zhì)運(yùn)移，實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出DL/Dda(Pe)m，a =0.5，1M1.2。第IV區(qū)：以機(jī)械彌能為主，分子擴(kuò)散的作用已經(jīng)可以忽略不計(jì)，但流速尚未達(dá)到偏離Darcy定律的程度。本區(qū)相當(dāng)于圖中的直線部分。實(shí)驗(yàn)給出于DL/DdbPe，b=1.8。第V區(qū)；仍屬于機(jī)械彌散為主的區(qū)域，與第IV區(qū)的區(qū)別在于水流速度已達(dá)到越出Darcy定律適用的范圍。慣性力和紊流的影響造成縱向物質(zhì)運(yùn)移的減少，曲線斜率減緩。橫向彌散試驗(yàn)得到了和縱向彌散相類(lèi)似的結(jié)果。上述曲線說(shuō)明，彌散系數(shù)和水流速度、分子擴(kuò)散有關(guān)。它們間的關(guān)系如下式所示：式中：機(jī)械彌散系數(shù)，為一個(gè)二秩對(duì)稱(chēng)張量，這是它的一個(gè)分量； 多孔介質(zhì)的彌散度，

29、為一四秩張量；在飽和流動(dòng)中它反映多孔介質(zhì)固體骨架 的幾何性質(zhì)，量綱為L(zhǎng)； u實(shí)際平均流速，uk，um分別為它在坐標(biāo)軸xk、xm上的分量； 表示水流通道形狀持征的系數(shù)，無(wú)量綱；在微觀水平上考慮相鄰流線之間內(nèi)分子擴(kuò)散所引起的對(duì)物質(zhì)運(yùn)移影響的因數(shù)，這個(gè)影響和機(jī)械彌散是不可分的。Pe較大時(shí)，由f(Pe, )的表達(dá)式可以看出，f(Pe, )1。也就是說(shuō)，分子擴(kuò)散對(duì)機(jī)械彌散系數(shù)的影響就變得微不足道了。這時(shí)機(jī)械彌散系數(shù)和實(shí)際平均流速之間呈線件關(guān)系。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)，都屬于這種情形，總是假定，f(Pe, )1。如果在某一點(diǎn)上選擇坐標(biāo)軸，使得其中一個(gè)坐標(biāo)油(如f軸)祁該點(diǎn)處的平均流速方向一致(即彌散主軸)

30、，并忽略分子擴(kuò)散，f(Pe, )1，則：式中，aL，aT分別稱(chēng)為縱向彌散度和橫向彌散度?？v向機(jī)械彌散系數(shù)和橫向機(jī)械彌散系數(shù)，及稱(chēng)為彌散系數(shù)的主值。由于彌散主軸依賴于水流方向，所以除了均勻流（ux常數(shù)，uy =uz =0）以外，一般說(shuō)來(lái)即使在各向同性介質(zhì)中各點(diǎn)的彌散系數(shù)也各不相同，隨空間位置而變化。6.3.3對(duì)流彌散方程及其定解條件考慮由某種溶質(zhì)和溶劑組成的二元體系。以充滿液體的滲流區(qū)內(nèi)任點(diǎn)p為中心，取一無(wú)限小的六面體單元，各邊長(zhǎng)為Dx、Dy和Dz，選擇x軸與p點(diǎn)處的平均流速方向一致，來(lái)研究該單元中溶質(zhì)的質(zhì)量守恒。先研究由水動(dòng)力彌散所引起的物質(zhì)運(yùn)移。在Dt時(shí)間內(nèi)，由于彌散和水流運(yùn)動(dòng)所引起的單元體內(nèi)總的溶質(zhì)質(zhì)量變化為在Dt時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)溶質(zhì)的濃度發(fā)生了的變化，單元體內(nèi)的液體體積為nxyz，則由它所引起的該單元體中溶質(zhì)質(zhì)量的變化為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，上述兩者應(yīng)該相等，當(dāng)坐標(biāo)軸與水流平均流速方向一致時(shí)，經(jīng)過(guò)整理、簡(jiǎn)化后得到：上式稱(chēng)為對(duì)流一彌散方程(水動(dòng)力彌散方程)。它右端后三項(xiàng)表示水流運(yùn)動(dòng)(習(xí)慣地把它喻為對(duì)流)所造成的溶質(zhì)運(yùn)移，前三項(xiàng)表示水動(dòng)力彌散所造成的溶質(zhì)運(yùn)移。如果還有化學(xué)反應(yīng)或其它原因所引起的溶質(zhì)質(zhì)量變化，且單位時(shí)間單位體積含水層內(nèi)由此而引起的溶質(zhì)