分類思想在初中數(shù)學(xué)中的探究

1、分類思想在初中數(shù)學(xué)中的探究分類思想是中學(xué)數(shù)學(xué)四大思想之一 ,分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識那樣 ,通過幾節(jié)課的教學(xué)就可以掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征 ,學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點 ,逐步滲透 ,螺旋上升 ,不斷地豐富自身的內(nèi)涵。教學(xué)中可以從以下幾個方面 ,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中 ,通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括 ,形成對分類思想的主動應(yīng)用。滲透分類思想 ,養(yǎng)成分類的意識每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識 ,如人群的分類、文具的分類等 ,教師利用學(xué)生的這一認(rèn)識根底 ,把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來 ,在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透 ,挖掘教材提供的時機 ,把握滲透的契機。如：數(shù)的分類

2、 ,絕對值的意義 ,不等式的性質(zhì)等 ,都是滲透分類思想的很好時機。教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后 ,及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類 ,讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn) ,有理數(shù)有不同的分類方法 ,如分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)；或分為正有理數(shù) ,零 ,負(fù)有理數(shù) ,為下一步分類討論奠定根底。講解絕對值的意義時 ,引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：正數(shù)的絕對值是正數(shù) ,負(fù)數(shù)的絕對值是正數(shù) ,零的絕對值是零。通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識 ,讓學(xué)生了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。結(jié)合?有理數(shù)?這一章的教學(xué) ,反復(fù)滲透 ,強化數(shù)學(xué)分類思想 ,使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識 ,并能在分類討論的時候注意一些根本原那么 ,如分

3、類的對象是確定的 ,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的 ,如假設(shè)不然 ,對象混雜 ,標(biāo)準(zhǔn)不一 ,就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù) ,就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后 ,還要注意分清層次 ,不越級討論。學(xué)習(xí)分類方法 ,增強思維的縝密性在教學(xué)中滲透分類思想時 ,應(yīng)讓學(xué)生了解 ,所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn) ,根據(jù)對象的屬性 ,不重復(fù)、不遺漏地劃分為假設(shè)干類 ,而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法 ,就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：2.1根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類。有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的 ,解答此類題 ,一般按概念的分類形式進行分類。例如：比擬有理數(shù)的大小

4、。兩個有理數(shù)的大小比擬 ,可以分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比擬。而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比擬是新的知識點 ,這就突出了學(xué)習(xí)的重點 ,正確進行分類討論 ,可得到正確的解答。2.2根據(jù)數(shù)學(xué)的法那么、性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類。學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時 ,對于變形后的方程ax2+bx+c=0a0用兩邊開平方法求解 ,需要分類討論0 ,0 ,0這三種情況來對應(yīng)方程的解的情況。而此題的符號決定能否開平方 ,是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程的根的三種情況。又如 ,解關(guān)于x的不等式：ax+32x+a ,通過變形得到a-2xa-3 ,這時要根據(jù)不等式的性質(zhì)分類討論a-20

5、 ,a-20 ,a-2=0三種情況分別解不等式。2.3根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類。如三角形按角分類 ,有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形 ,直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。例如 ,等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30° ,底邊長為a ,那么其腰上的高是多少？分析：此題根據(jù)圖形的特征 ,把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作腰上的高 ,可得腰上的高出現(xiàn)不同的位置進行分類求解。引導(dǎo)分類討論 ,提高合理解題的能力初中課本中有不少定理、法那么、公式、習(xí)題 ,都需要分類討論 ,在教授這些內(nèi)容時 ,應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識

6、 ,讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題 ,只有通過分類討論后 ,得到的結(jié)論才是完整的、正確的 ,如不分類討論 ,就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中 ,通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西 ,從而加強學(xué)生思維的條理性 ,縝密性。一般來講 ,利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中 ,根據(jù)字母不同的取值情況 ,分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況 ,逐一討論解決問題。例4、函救ym-1x2m-2x1m是實數(shù)。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點 ,求m的值。分析：這里從函數(shù)分類的角度討論 ,分m1=0和m10兩種情況來研究解決問

7、題。解：當(dāng)m時函數(shù)就是一個一次函數(shù)yx1 ,它與x軸只有一個交點-1 ,0；當(dāng)m10時 ,函數(shù)就是一個二次函數(shù)ym1x2m2x1；當(dāng)m22+4m1=0 ,得m=0 ,拋物線y=x22x1的頂點1 ,0在x軸上。例5、函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1 ,求證：y的值恒為正數(shù)。分析：將y的表達式分解因式 ,雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn) ,假設(shè)將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類 ,那么問題容易解決。證明：當(dāng)x0時 ,x5-x3-x0y1恒成立；當(dāng)01時 ,y=x6+x4-x+x2-x3+x-1x4x5 ,x2x3 ,1xy0成立；當(dāng)x=1時 ,y=10成立；當(dāng)x1時 ,y=x6-x5+x4-

8、x3+x2-x+1x6x5 ,x4x3 ,x2xy1成立 ,綜上可知 ,y0成立。由以上的幾個例子 ,我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單 ,解題思路非常的清晰 ,步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中 ,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。一般說來 ,“教師概念之形成經(jīng)歷了十分漫長的歷史。楊士勛唐初學(xué)者 ,四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及 ,故謂師為師資也。這兒的“師資 ,其實就是先秦而后歷代對教師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當(dāng)然也指教師。這兒的“師資和“師長可稱為“教師概念的雛形 ,但仍說不上是名副其實的“教師 ,因為“教師必須要

9、有明確的傳授知識的對象和本身明確的職責(zé)。要練說 ,得練聽。聽是說的前提 ,聽得準(zhǔn)確 ,才有條件正確模仿 ,才能不斷地掌握高一級水平的語言。我在教學(xué)中 ,注意聽說結(jié)合 ,訓(xùn)練幼兒聽的能力 ,課堂上 ,我特別重視教師的語言 ,我對幼兒說話 ,注意聲音清楚 ,上下起伏 ,抑揚有致 ,富有吸引力 ,這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時 ,就隨時表揚那些靜聽的幼兒 ,或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容 ,抓住教育時機 ,要求他們專心聽 ,用心記。平時我還通過各種趣味活動 ,培養(yǎng)幼兒邊聽邊記 ,邊聽邊想 ,邊聽邊說的能力 ,如聽詞對詞 ,聽詞句說意思 ,聽句子辯正誤 ,聽故事講述故事 ,聽謎語猜謎底 ,聽智力故事 ,動腦筋 ,出主意 ,聽兒歌上句 ,接兒歌下句等 ,這樣幼兒學(xué)得生動活潑 ,輕松愉快 ,既訓(xùn)練了聽的能力 ,強化了記憶