第4章_空間力系2(1)講述

1、靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 空間力系空間力系本章內(nèi)容4-1 空間匯交力系空間匯交力系工程中常見物體所受各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系。工程中常見物體所受各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系。車床主軸空間力系空間力系空間匯交力系空間匯交力系空間力偶系空間力偶系空間任意力系空間任意力系（1）一次（直接）投影法）一次（直接）投影法一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影coscoscosxyzFFFFFF（2）二次（間接）投影法）二次（間接）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFF二、空間匯交力系的合成與平衡二、空間匯交力系的合成與平衡1、空間匯交力系的合成、空間

2、匯交力系的合成)(21nF,F,F力系力系F1F2FnF3OFRFZFYFXZYXF),cos(),cos(),cos(222kFjFiFF=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk合力的大小合力的大小合力的方向合力的方向合力的作用線合力的作用線三要素：三要素：三、空間匯交力系的平衡條件三、空間匯交力系的平衡條件空間匯交力系平衡的充分和必要空間匯交力系平衡的充分和必要條件是：條件是：力系的合力等于零。力系的合力等于零。FR=0 0 xiF 0yiF 0ziF 即即力系中各力力系中各力在坐標(biāo)軸上的在坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和投影的代數(shù)和分別等于零。分別等于零。例例：用輕質(zhì)起重桿吊起重物如圖示，：用輕質(zhì)起重

3、桿吊起重物如圖示，A處為固定球鉸鏈，處為固定球鉸鏈，B端用繩子系在端用繩子系在C、D兩點(diǎn)，結(jié)構(gòu)關(guān)于兩點(diǎn)，結(jié)構(gòu)關(guān)于Ayz平面對稱。已知，平面對稱。已知，BFy軸，軸，CE=EB=ED， =30o，P=10kN。求繩子拉力和。求繩子拉力和A處的約束反力。處的約束反力。解解：研究研究AB桿與重物桿與重物受力分析，畫受力圖受力分析，畫受力圖列平衡方程列平衡方程投影投影 力力AFCFDFPxFyFzFsinAF45sinCF0cosAF45sinDF-cos45cosCF-cos45cosDF-sin45cosCFsin45cosDF00P0,xiF 045sin45sinDCFF0,yiF 0,ziF

4、 0cos45coscos45cossinDCAFFF0sin45cossin45coscosPFFFDCA解得：解得：kNFFkNFDCA54. 3,66. 8 在平面中：力對點(diǎn)的矩是代數(shù)量。在平面中：力對點(diǎn)的矩是代數(shù)量。 在空間中：力對點(diǎn)的矩是矢量。在空間中：力對點(diǎn)的矩是矢量。 一、力對點(diǎn)之鉅一、力對點(diǎn)之鉅xyzOFkBAijMoh力對點(diǎn)之矩是力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效果的度量。力對點(diǎn)之矩是力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效果的度量。作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。方向方向:轉(zhuǎn)動方向；轉(zhuǎn)動方向；大小大小:力力F與力臂的乘積；與力臂的乘積；4-2 力對軸之矩和力對點(diǎn)之鉅力對軸之矩和力對點(diǎn)之鉅 MO(F)

5、 =Fh=2OAB 矢量的方位和力與鉅心所組矢量的方位和力與鉅心所組成的平面的法線方位相同，成的平面的法線方位相同，xyzOFkBAijMohrxiy jzkA（x，y，z），），力在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為力在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，xyzFF iF jF k( )OxyzijkMFrFxyzFFF ()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k得力對點(diǎn)之鉅的解析式為：得力對點(diǎn)之鉅的解析式為：FrMO矢量表征222( )( )( )( )OxyzMFMFMFMF( )( )( )cos,cos,cos( )( )( )yxoooMFMFMz FMFMFMF M

6、xMyMx()()2zOxyxyOabMMF hA FFxyzOFFxyhBAabFz力力F對對z 軸軸的的矩矩力力Fxy對對O點(diǎn)之點(diǎn)之矩矩二、力對軸之鉅二、力對軸之鉅（1）力對軸之鉅定義）力對軸之鉅定義1）是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個）是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量代數(shù)量，2）其）其絕對值等于絕對值等于該力在垂直于該軸平面上的該力在垂直于該軸平面上的投影投影對于對于軸與平面軸與平面交點(diǎn)之矩的大小，單位：交點(diǎn)之矩的大小，單位：Nm。4）當(dāng)力的作用線與軸平行或相交）當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面共面)時，力對時，力對軸的矩等于零。軸的矩等于零。5）當(dāng)力沿作用線移動時，它

7、對于軸的矩不變。）當(dāng)力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。3)符號規(guī)定：符號規(guī)定：按右手螺旋規(guī)則確定按右手螺旋規(guī)則確定.xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF設(shè)力設(shè)力F沿三個坐標(biāo)沿三個坐標(biāo)軸軸的分量分別為的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)，力作用點(diǎn)A的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x,y,z)，則，則同理可得其它兩式，三式合寫為：同理可得其它兩式，三式合寫為：()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF（2）力對軸之鉅的解析式）力對軸之鉅的解析式3. 力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系kjikjiFrF

8、M)()()()(yXxYxZzXzYyZZYXzyxOyXxYMxZzXMzYyZMzyx)()()(FFF)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM 力對點(diǎn)力對點(diǎn)的矩矢在通的矩矢在通過該點(diǎn)的某過該點(diǎn)的某軸上的投影，軸上的投影，等于力對該等于力對該軸的矩。軸的矩。Mz(F)(x,y,z)）FxyOABO 2)(FMOabOABcos)(cos)(FFMzOM)()(FFMzzOM 力對軸之矩的計(jì)力對軸之矩的計(jì)算算 將力向垂直于該軸的平面投影將力向垂直于該軸的平面投影 ,力的投力的投影與投影至軸的垂直距離的乘積。影與投影至軸的垂直距離的乘積。 方法二方法二: 將力向三個

9、坐標(biāo)軸將力向三個坐標(biāo)軸方向分解方向分解,分別求三個分力分別求三個分力對軸之矩，然后將三個分力對軸之矩，然后將三個分力對軸之矩的代數(shù)值相加。對軸之矩的代數(shù)值相加。yzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFMllaFxFzFxyzxyzyFxFM)(Fsin)(alF ABCDcos)()(alFFMx 0,0sin zalylxFconFFFFzyx力作用點(diǎn)：cos)(FlFMy 例例4-3OABCFDkjikjiFM222222/2/002/)(FbFbFbFFbbD解：利用力矩關(guān)系xyzjirkjFbbFFB22222kin2121AC4)()(FbMACDACnFMF4 43 3 空間

10、力偶空間力偶1 1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢、力偶矩以矢量表示力偶矩矢1212FFFF空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1 1） 大?。毫εc力偶臂的乘積；大?。毫εc力偶臂的乘積；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：轉(zhuǎn)動方向；方向：轉(zhuǎn)動方向；BAMrF力偶對剛體的作用完全決定于力偶鉅矢力偶對剛體的作用完全決定于力偶鉅矢兩力偶等效的條件：兩力偶的力偶鉅矢相等兩力偶等效的條件：兩力偶的力偶鉅矢相等( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 2.2.力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì)FF因因力偶對任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的力偶對

11、任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改變而改變。改變而改變。力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零 。BAMrF力偶矩力偶矩則只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。作用效果不變。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111Fr)F,F(MBA只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另

12、一與此平面平行的任一平面，平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變。對剛體的作用效果不變。211FFF332FFF=(5)(5)力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡. .定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的合成與平衡條件力偶系的合成與平衡條件111222,.,nnnMrF MrFMrF= = =iMMM為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶

13、矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM稱為空間力偶系的平衡稱為空間力偶系的平衡方程方程. .000 xyzMMM0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM44 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化主矢和主矩主矢和主矩1 1 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系向一點(diǎn)的簡化iiFF()iOiMMF空間匯交與空間力偶系等效空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系代替一空間任意力系. .主矩主矩主矢主矢( )( )( )OxyzMMF iMF jMF kniiOOnii

14、R11)(FMMFFxzyORFMOOxOOxOOxOzyxOMMMMMMMMMM)(),cos()(),cos()(),cos()()()(222FiMFiMFiMF FF FF FRRRRRRRFZFYFXZYXF),cos(),cos(),cos()()()(222kFjFiF有效推進(jìn)力有效推進(jìn)力RxF飛機(jī)向前飛行飛機(jī)向前飛行RyF有效升力有效升力飛機(jī)上升飛機(jī)上升RzF側(cè)向力側(cè)向力飛機(jī)側(cè)移飛機(jī)側(cè)移OxM滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞飛機(jī)繞x x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)OyM偏航力矩偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎飛機(jī)轉(zhuǎn)彎OzM俯仰力矩俯仰力矩飛機(jī)仰頭飛機(jī)仰頭（1 1） 合力合力ORdMF合力合力. .合力作用線距簡化合力作

15、用線距簡化中心為中心為2 2空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）0,0,ROROFMFM0,0ROFM 過簡化中心合力過簡化中心合力()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力對某點(diǎn)合力矩定理：合力對某點(diǎn)( (軸）之矩等于各分力對同軸）之矩等于各分力對同 一點(diǎn)（軸）之矩的矢量和一點(diǎn)（軸）之矩的矢量和. .（2 2）合力偶）合力偶一個合力偶，此時與簡化中心無關(guān)。一個合力偶，此時與簡化中心無關(guān)。0,0ROFM （3 3）力螺旋）力螺旋0,0,ROROFMFM中心軸過簡化中心的力螺旋中心軸過簡化中心的力螺旋力螺旋力螺旋左左螺螺旋旋右右螺螺旋旋概念：由一力

16、和一力偶組成的力系，概念：由一力和一力偶組成的力系，力垂直于力偶的作用面。力垂直于力偶的作用面。既不平行也不垂直既不平行也不垂直0,0,ROROFMF M力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為sinORMdF（4 4）平衡）平衡平衡平衡0,0ROFM 力系向任一點(diǎn)O簡化的結(jié)果 主矢 主 矩 力系簡化的 最后結(jié)果 說 明 OM0 平衡 平衡力系 0RF OM0 合力偶 主矩與簡化中心的 位置無關(guān) OM0 合力 合力作用線通過 簡化中心 0OM RFOM 合力 合力作用線離簡化中心 O的距離ROFMd 0RMF / 力力螺螺旋旋 力螺旋的中心軸通 過簡化中心 0RF 0OM RF與0M

17、成角 力螺旋 力螺旋的中心軸離簡化中心 O的距離ROFMdsin 空間任意力系簡化的應(yīng)用空間任意力系簡化的應(yīng)用空間固定端約束空間固定端約束 yxMFxxyMMzzFFyz圖4-8空間固定端約束力空間固定端約束力、 繞繞3 3個軸的約束力矩個軸的約束力矩Mx 、 My 、 Mz3個正交分力個正交分力:Fx 、 Fy 、 Fz45 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程1.2m2m0.2m0.2m0.6m0.6mP1PABDCEFBFAFD例例4-24-2 圖示三輪小車，自重P=8 kN，作用于點(diǎn)E，載荷P1=10 kN，作用與點(diǎn)C。求小車靜止時地面對車輪的反力。P1PABDCEzyxFBF

18、AFD解：解：研究小車。畫受力圖。0)(M0)(0yFFxZMF01DBAFFFPP0221201DFPP.0602160801DBFFPP.建立圖示直角坐標(biāo)系。解得： FD=5.8 kN FB=7.777 kN FA=4.423 kN例例4-4 圖示均質(zhì)長方板由六根直桿支撐于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為P，在A處作用一水平力F ，且F=2P。求各桿的內(nèi)力。ABCDEFGHabbPFABCDEFGHabbPF解解：取長方板為研究對象。畫受力圖。由方程解得：xyzF2F1F3F4F5F60)(FABM026aPaF壓力）(26PF由方程0)(FAEM可得：05F由方程0)(

19、FACM可得：04F0)(FEFM0)(FFGM0)(FBCM0)(FEFM0)(FFGM0)(FBCM022216bbaaFaFaPF1=0022bFFbbPF2=1.5P(拉力）045cos2032bFbFbPF3=2.828 P (拉力）空間一般力系最多有6個獨(dú)立的平衡方程。根據(jù)問題的具體特點(diǎn)，方程組可以靈活地采用多種形式（三矩式、四矩式、五矩式、六矩式）。以本題為例，還有其它多種解法。請同學(xué)們試一試。要點(diǎn)提示：ABCDEFGHabbPFxyzF2F1F3F4F5F6, 0Y30)(FABM6, 0X10)(FAEM50)(FADM4, 0Z2 重心的位置影響物體的平衡和穩(wěn)定、又與許重心

20、的位置影響物體的平衡和穩(wěn)定、又與許多動力學(xué)問題有關(guān)。多動力學(xué)問題有關(guān)。 重心的位置實(shí)際上是重力的合力作用點(diǎn)。重心重心的位置實(shí)際上是重力的合力作用點(diǎn)。重心的位置就是平行力系的合力作用點(diǎn)的位置就是平行力系的合力作用點(diǎn)平行力系中平行力系中心。心。 40 空間平行力系，當(dāng)它有合力時，空間平行力系，當(dāng)它有合力時，合力的作用點(diǎn)合力的作用點(diǎn)C 就是此空間平行力就是此空間平行力系的中心。而物體重心問題可以看系的中心。而物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例成是空間平行力系中心的一個特例。 一、空間平行力系的中心一、空間平行力系的中心平行力系中平行力系中,合力作用點(diǎn)合力作用點(diǎn)C的位置只與各平行力的作用

21、的位置只與各平行力的作用點(diǎn)的位置及各力的大小有關(guān)點(diǎn)的位置及各力的大小有關(guān),而與力的方向無關(guān)。點(diǎn)而與力的方向無關(guān)。點(diǎn)C稱為該平行力系的中心稱為該平行力系的中心。41nnCrFrFrFrR2211iiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , :投影式1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr221142重力的概念 二 . 重心 1.定義： 重力合力作用點(diǎn)稱為重心 2.特點(diǎn) 無論剛體如何放置，重力 作用線總是通過該剛體的 重心 3.重心在工程上的重要意義重力可視為與地平面垂直的空間平行力

22、系離心力重力引力東南西北地心地軸GC43三. 重心坐標(biāo)公式任意物體的重心公式1niiGG根據(jù)合力矩定理，得11niciinciiiGyyGGxG x1nciiiGGzz111niiiniiiniiiG xcGyGcGG zcGxyz由上面三式得：xyzcGiGiMiVcxxiyizizcyc1M1G2M2GoyicxxyczViMGzixiGizcGiMc1y2GM21o4411nniiiiiiVG xxcGVx2. 勻質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式容重=常量Gi= ViG= V同理同理: :對于連續(xù)勻質(zhì)物體VzVcVyVcVxVciniiiniiiniizyx111(4-17)VzdVcVydVcVx

23、dVcVVVzyxVi0(4-18)物體的幾何形體中心又稱為形心。因此，勻質(zhì)物體的重心與形心重合和形式積分形式(1)勻質(zhì)等厚薄殼厚度t=常量, Vi=Ait V=Vi =Ait =AtAzAcAyAcAxAciniiiniiiniizyx111AtxtAVxVciniiiniix11AzdAcAydAcAxdAcAAAzyx同理:(4-19a)或(4-19b)zyoxAittA(2)勻質(zhì)等截面細(xì)長桿橫截面面積A=常量Vi=ALi V=Vi =ALi =ALALxLAVxVciniiiniix11LzLcLyLcLxLciniiiniiiniizyx111同理:(4-20a)或LzdLcLydL

24、cLxdLcLLLzyx(4-20b)yozxLLiA四. 確定勻質(zhì)物體重心的幾種方法1.對稱性法勻質(zhì)物體的重心一定在其對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心上ccccccccc2.積分法 適用于形狀規(guī)則的物體。 由對稱性可知xc=0dL=Rdy=Rcos例：已知圓弧AB半徑R，圓心角2。求：AB圓弧段的重心。cossinLcLydLRRddLRdRyoxyddLyRAB解：3.組合法（1）分割法10cm10cm20cm30cm10cm1AA2A3y1y2y3xoy適用于形狀較復(fù)雜的物體例：試求勻質(zhì)槽形鋼板的重心。解：由對稱性可知xc=021212233313110 303001510 202005300

25、15 2 200 5300 2 20012.5iiiciicmyycmAAcmycmAyAyAcm 50（2）負(fù)面積法1y110cmAo20cmyy210cmA2x30cm10cm解：由對稱性可知 xc=0211222212140 3012001520 20400201200 15400 20120040012.5iiiciicmycmAcmycmAyAyAcm 51 2）圖示弓形面積可看成由扇形）圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形去掉三角形OAB得得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面積，到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面積，重心位置查表可得；故所求弓形體物

26、塊的重心的坐標(biāo)為重心位置查表可得；故所求弓形體物塊的重心的坐標(biāo)為 2. 圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧的圓弧AMB與弦與弦AB所圍成的弓形，試求其重心在其對稱面中的位置。所圍成的弓形，試求其重心在其對稱面中的位置。 解解 1）在物塊的對稱面上建立圖示）在物塊的對稱面上建立圖示直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系oxy，由對稱性知，弓形，由對稱性知，弓形體物塊的重心必在體物塊的重心必在x軸上，故軸上，故yc=0。52扇形OAMB的面積 cossincossin32sin3222233212211RRRRAAxAxAxc)2sin2( 3sin4)cossin(

27、3)cos1 (sin232RR21RA 其重心位置：sin321Rx 三角形OAB的面積cossin)cos)(sin2(2122RRRA其重心位置：)cos(322Rx53 取坐標(biāo)如圖且把平取坐標(biāo)如圖且把平面圖形分為面圖形分為 A和和 B兩兩部分部分.C1(2.5,7.5)C2(12.5,2.5)5.75151555.125155.2155cx55151555.25155.7155cyx5m5m15m15m20myoC1AC2B54取坐標(biāo)如圖.使平面圖形組合成矩形A.5m5m15m20mxyo以及負(fù)面積的矩形B.C1(10,7.5)C2(12.5,10)5 . 7101515205 .12

28、1015101520cx5101515201010155 . 71520cyC2AC1B55例例4-74-7求：其重心坐標(biāo)求：其重心坐標(biāo)已知：均質(zhì)等厚已知：均質(zhì)等厚Z Z字型薄板尺寸如圖所示。字型薄板尺寸如圖所示。解解: :厚度方向重心坐標(biāo)已確定，厚度方向重心坐標(biāo)已確定，則則用虛線分割如圖，用虛線分割如圖，為三個小矩形，為三個小矩形，其面積與坐標(biāo)分別為其面積與坐標(biāo)分別為只求重心的只求重心的x,y坐標(biāo)即可。坐標(biāo)即可。mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm273

29、21332211AAAyAyAyAAyAyiiC56例例4-84-8求：其重心坐標(biāo)求：其重心坐標(biāo)。已知：等厚均質(zhì)偏心塊的已知：等厚均質(zhì)偏心塊的解：用負(fù)面積法，解：用負(fù)面積法，12344(),033Rrbyyy 由由iiCAyyA222123,() ,22AR Ar bAr而而得得0,Cx由對稱性，有由對稱性，有r3A小圓（半徑為小圓（半徑為r r）面積為）面積為A3A3，為負(fù)值。，為負(fù)值。rb2A小半圓（半徑為小半圓（半徑為r+br+b）面積為）面積為A2 ,A2 ,為三部分組成，為三部分組成，1A設(shè)大半圓面積為設(shè)大半圓面積為A1A1，mmmmmm13,17,100brRmm01.403213

30、32211AAAyAyAyAyC574.實(shí)驗(yàn)法（1）懸掛法（2）稱重法AABc適用于體積小、質(zhì)量小的物體適用于體積大、質(zhì)量大的物體cABGANBNLxcFF軸F垂xyz軸軸自行車前叉的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影 X = FsincosY = FsinsinZ = FcosXiZiYiFixyz X = Fcos Y = Fcos Z = FcosxyzXiZiYiFi2、力對點(diǎn)的矩的計(jì)算ZYXzyxOkjiFrFM)(= (yZ zY) i + (zX xZ) j + (xY yX) k3、力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系、力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩的關(guān)系M O( F ) x = M x (

31、F )M O( F ) y = M y ( F )M O( F ) z = M z ( F )4、合力矩定理Mo( R ) = Mo(F )即：即：將上式向任意軸投影（如將上式向任意軸投影（如 z 軸）得：軸）得： Mz ( R ) = M z( F )5、空間任意力系向一點(diǎn)簡化，可得一個大小和空間任意力系向一點(diǎn)簡化，可得一個大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心的方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心的力和一個力偶。力和一個力偶。nii1FRniiOO1)( FMM0R0R0OM0OM0OM0OM0OMOMR OMR /角成與OMRRMOdRMsinOd主矢主 矩最終結(jié)果說 明平衡合力偶合力合