現(xiàn)代控制理論魯棒控制

1、魯棒控制理論初步魯棒控制理論初步一、反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)一、反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)做如下變換做如下變換()()dssdclsclHyeR Hru HyRu HrHrHyue DRu Hr DHr 結(jié)構(gòu)圖化成 若不考慮傳感器動(dòng)態(tài)時(shí)，則 為常數(shù)，可選擇 ，上結(jié)構(gòu)圖就變成單位負(fù)反饋的結(jié)構(gòu)。HyHrHy定義：R：參考輸入W：外擾動(dòng)輸入（常值或隨機(jī)信號(hào)，對(duì)飛行器 為高斯白噪聲或有色噪聲）V：噪聲輸入（隨機(jī)信號(hào)、有色噪聲）Y: 系統(tǒng)輸出二、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)描述(1)系統(tǒng)對(duì)常值擾動(dòng)信號(hào)所允許的穩(wěn)態(tài)誤差，或 對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)的濾波能力或誤差(2)對(duì)多項(xiàng)式參考輸入信號(hào)，如斜坡和階躍信號(hào) 所允許的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差(

2、3)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能對(duì)模型參數(shù)變化的靈敏度(4)系統(tǒng)在階躍參考輸入或擾動(dòng)輸入時(shí)的動(dòng)態(tài) 性能，如上升時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等(5)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性重點(diǎn)要研究的是（1）和（3）三、例子：滾轉(zhuǎn)速度控制系統(tǒng)飛機(jī)理想滾轉(zhuǎn)時(shí)，則微分方程模型為：其中， 為滾轉(zhuǎn)角速度， 是副翼偏角， 外擾動(dòng)（外擾動(dòng)一般等效為滾轉(zhuǎn)力矩，在此方程中 ， 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）。aa=LpDpLpL paDLx=JDL外擾力矩xJ飛機(jī)滾轉(zhuǎn)模型為：aaaaa11( )( )( )( )( )DDpppLLp ssLssLssLsLsLL開環(huán)控制系統(tǒng)為設(shè)Hr=1，并且選擇比例控制， 則ololDKaaa11( )() ()ololDDpppLKLp

3、 sKRLRLLsLsLsL 設(shè)：R和 的穩(wěn)態(tài)值分別為R=a， =b 則： 的穩(wěn)態(tài)解為 定義： 從R到 的傳遞函數(shù)為 開環(huán)增益 設(shè)： 則DLDLpa01|sssolppLppKabLL paa( )olololppLLTsHr DKsLsLaololpLTKLapLALololTKA閉環(huán)控制系統(tǒng)aaaa( )1clclpclpclyclypLDDLsLpTsHrHrLRsLDLHDHsL其中 為開環(huán)傳函或稱回路傳函設(shè)：Hr =Hy =1， ，則回路增益為aclpDLHysLDKclclaa( )()clpclKLp sRsLKLaclpKLL，而在W的作用下（設(shè)R=0，V=0）而在V的作用下（

4、設(shè)R=0，W=0）aa( )()clpclKLp sVsLKL a1( )()pclp sWsLKL用迭加原理，可得設(shè)V的穩(wěn)態(tài)值為c穩(wěn)態(tài)解為aaaaa1( )()()()clclpclpclpclKLKLp sRWVsLKLsLKLsLKLaaaaaaaaaa11111clclsspclpclpclclclpppclclclpppKLKLpabcLKLLKLLKLLLKKLLLabLLLKKKLLLc 1. 結(jié)論 a.若在常值擾動(dòng)作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差比 開環(huán)系統(tǒng)小 倍，其中 是s=0時(shí)的回路增益 b.若在常值噪聲作用下，閉環(huán)系統(tǒng)是無法克服 的，并且常值噪聲幾乎對(duì)輸出的影響與輸入 的影響是相當(dāng)

5、的 a1(/)clpKLLa(/)clpKLL因此： （1）對(duì)傳感器來說必須增加信噪比 （2）Hy應(yīng)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)來抑制噪聲計(jì)算實(shí)例若設(shè) 、 、a=1 、b=0.17 、 開環(huán)系統(tǒng) 無擾動(dòng)時(shí) 有擾動(dòng)時(shí) 誤差 或a27.276L1.7pL 0.06olK27.2760.0610.961.7assolpLpKaL a10.170.961.061.7ssolppLpKabLL| 0.1olsssspp 0.1100%10.42%0.96olssP閉環(huán)系統(tǒng) 無擾動(dòng)時(shí) 有擾動(dòng)時(shí) 誤差 或故閉環(huán)系統(tǒng)比開環(huán)系統(tǒng)的抗干擾能力提高了100倍以上。 aa(/)16010.991(/)1 160pssclclpLLp

6、KaKLL a(1/)(1/1.7)0.990.170.99061(/)1 160pssssclpLppbKLL | 0.0006clsssspp 0.0006100%0.06%0.99clssP四、系統(tǒng)增益對(duì)參數(shù)不確定性的靈敏度1. 開環(huán)系統(tǒng)： 系統(tǒng)增益即開環(huán)增益 （s=0的值） 參數(shù)的不確定性可表達(dá)為：飛機(jī)飛行時(shí)由初始狀態(tài)A變化為 ,這樣開環(huán)增益則從 變化為 a( )olololpLTsKKALAAolTololTT 則 考慮開環(huán)增益的相對(duì)變化誤差定義為()olololololololTTKAAKAKATKA ololTKAololololTKAATKAA 且定義 為關(guān)于參數(shù)A從輸入R到輸

7、出 的系統(tǒng)增益的靈敏度函數(shù)，開環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)增益靈敏度為：2. 閉環(huán)系統(tǒng)：系統(tǒng)的增益為(/)/(/)olololTASTTA A p1olTAS0(/)|1(/)1aaclpclclsclpclKLLKApTRKLLKA當(dāng) 時(shí)，為求則考慮到 ： （ ） 故 ： （一個(gè)好的系統(tǒng)的靈敏度應(yīng)足夠的小）AAAclclclTTT()1 ()clclclclAAKTTAAKclclTTclcldTTAdA( )clclTTA()clclclclTdTAATTdAA從而閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)增益的靈敏度的定義為 與開環(huán)系統(tǒng)相比：在反饋?zhàn)酉到y(tǒng)中，系統(tǒng)傳函的增益（s=0）對(duì)受控對(duì)象參數(shù)的靈敏度是開環(huán)系統(tǒng)的 倍。2(1)(

8、1)()1(1)1olTclclclclclclAclclclcldTKAKKAKA KASTdAKKAKA1/(1)clKA計(jì)算實(shí)例：閉環(huán)系統(tǒng)表明若 變換10%，即 則系統(tǒng)增益 此時(shí) 僅取為10而開環(huán)系統(tǒng)因此 ： 則a110.00621(/)1 10 16olTAclpSKLLa(/)pLL10%AA0.062%clclTTclK1clTAS10%AA10%ololTT 所以閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度僅為開環(huán)系統(tǒng)的0.0062倍，能極大地抑制參數(shù)的不確定性。五、抗噪聲問題建立誤差方程 則仿照靈敏度的定義EpR aaaaaa1()111clppclclclpppLLKsLsLWERVLLLLKKKsLs

9、LsL定義靈敏度函數(shù)補(bǔ)充靈敏度函數(shù)則誤差方程( )( )11( )( )D sG sTD sG s aWERTVG WWL a111( )( )1clpLD sG sKsL 若設(shè)計(jì)D(s)，使 ，意味著（1） （2）（1）可以做到（2）不可能，如何解決0E 0 0T 假定：（1）R和W并不是在所有頻率范圍內(nèi)都有很大的 值，即R和W的變化是不一致的，變化的范 圍也不同（2）可以設(shè)計(jì)Hy，使得V經(jīng)過Hy后在低頻段保持 有較小的值，即傳感器只在對(duì)象變化時(shí)有 輸出，類似高通濾波器。（3）設(shè)計(jì)D，使得 在R和W主頻范圍內(nèi)很小，也可以使得T在高頻范圍內(nèi)的分量很小，這樣就可以獲得。六、根據(jù)靈敏度函數(shù)定義的性

10、能指數(shù)1.到目前為止，還是通過系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)單的階躍或斜 坡輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 （如二階系統(tǒng)）。2.對(duì)于實(shí)際的輸入信號(hào)，更為精確的描述是將信 號(hào)看成是有一定功率譜密度的隨機(jī)過程。3.設(shè)u(t)是單變量隨機(jī)過程。一般而言，隨機(jī)過 程的統(tǒng)計(jì)特性（平均值、均方差、相關(guān)函數(shù)和 頻譜函數(shù)等）也是隨時(shí)間變化的，這種過程稱 為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，但非平穩(wěn)隨機(jī)過程的處理 方法還沒有成熟的方法。目前的應(yīng)用中，往往 限于研究平穩(wěn)隨機(jī)過程，即該過程的統(tǒng)計(jì)特性 不隨時(shí)間變化，因此功率譜密度只研究平穩(wěn)隨 機(jī)過程的特性。4.平穩(wěn)隨機(jī)過程u(t)的統(tǒng)計(jì)特性平均值定義為平穩(wěn)隨機(jī)過程 u(t)的平均值 或稱高斯隨機(jī)過

11、程01lim( )2TuTtu t dtT0uu(t)的均方差定義為U(t)的相關(guān)函數(shù) 在物理意義上， 反映了隨機(jī)過程u(t)在時(shí)間坐標(biāo)軸上的先后相關(guān)程度。2201lim( )2TuTtut dtT01( )lim( )()2TuTtRu tu tdtT( )uR（1）若 則 （2） 為偶函數(shù)（3） 表明若間隔 無限增大，u(t) 失去了先后相關(guān)性（4） 為u(t)的特征時(shí)間02(0)uuR()( )RRlim( )0R201( )tuTRd 相關(guān)函數(shù) 的Fourier變換即是相關(guān)函數(shù)的頻譜函數(shù)其中： 是時(shí)間頻率， 由于 ，則( )uR1( )( )2juuRed ()( )uuRR()( )

12、uu 相關(guān)函數(shù)是頻譜函數(shù)的Fourie逆變換因此 可見頻譜曲線 與 軸范圍的面積分就等于u(t)的方差 。 ( )( )juuRed 20(0)2( )( )uuuuRdd ( )u 2u 而均方差 則表征了隨機(jī)過程的功率或能量的大小。因此頻譜函數(shù) 表征了隨機(jī)過程的功率按頻率 的分布。（頻率 （ ）內(nèi)功率的大?。?，故稱 為功率譜密度。u( )u 0( )u 在飛行環(huán)境中，一般大氣紊流均采用功率譜密度的形式來表示，只是采用空間頻率作為自變量，空間頻率 和時(shí)間頻率 之間的變換如下 （ 為飛行器的速度）xV xV兩種大氣紊流模型 GJB185-86 (1)德萊頓模型，解析函數(shù)，適合數(shù)學(xué)仿真 (2)馮

13、卡門模型，適合設(shè)計(jì)兩種模型在高頻段略有差異 為了簡(jiǎn)化分析，但又不失一般性，可以認(rèn)為這些信號(hào)是由某特定范圍內(nèi)的正弦信號(hào)合成的。 比如經(jīng)常描述的參考輸入信號(hào)，它是一組具有不同頻率的正弦信號(hào)的和，而各種頻率的正弦信號(hào)的幅值|R|可由下圖描述從圖中可以看出：(1)由正弦信號(hào)分量組成的信號(hào)，一直到大于 后，幅值才極小可忽略。于是可以這樣描 述性能指標(biāo)： 對(duì)于任何驅(qū)動(dòng)頻率 ， 幅值為的正弦信號(hào),系統(tǒng)誤差的幅值應(yīng)小于 。 100100|()|R jbe考慮單位反饋系統(tǒng)，則誤差的頻率響應(yīng)為 （1）1()()1E jRs jRDG其中，s為靈敏度函數(shù) （2） 靈敏度函數(shù)也正是 的乃奎斯特圖上的曲線 到（-1，0

14、）點(diǎn)距離的倒數(shù)，因此 越大，表示 曲線到（-1，0）點(diǎn)的距離越小，曲線 越接近（-1，0）點(diǎn)。 11()11()S jDGDG j( )DG s()DG j|()|S j()DG j()DG j根據(jù)式（1），頻域內(nèi)的誤差指標(biāo)可表示為 （3）bE js jR js jR je 為了使問題規(guī)范化，以及不必每次定義幅值R和誤差限度 。定義頻率的實(shí)數(shù)方程： 則此（3）式可以寫為 （4） be1()bRWe1|1SW若 ，則 ，帶入(4） 得到 （5）|() |1DGj1()()SjDGj1|() |DG jW 這個(gè)約束條件可以看作是穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)的延伸，只不過信號(hào)頻率由 的一點(diǎn)變成了上述性能指數(shù)是動(dòng)態(tài)性

15、能指數(shù)的延伸而已。0010七、魯棒性指標(biāo) 除了保證系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)性能，還應(yīng)考慮系統(tǒng)的魯棒性，即在可預(yù)期的不確定性因素的影響下，受控對(duì)象的傳函發(fā)生變化時(shí)，針對(duì)各個(gè)傳函所做的設(shè)計(jì)仍是穩(wěn)定的。為了描述這種不確定性，需首先定義不確定性。不確定性：主要是指對(duì)象的不確定性。理由：沒有任何一個(gè)物理系統(tǒng)可以用準(zhǔn)確的 數(shù)學(xué)模型代表。由于這一原因，我們 必須了解建模誤差對(duì)控制系統(tǒng)性能的 影響。 1.對(duì)象的不確定性 不確定對(duì)象的建模的基本方法是用一個(gè)集合來代表對(duì)象模型，這個(gè)集合可以是結(jié)構(gòu)化的或者非結(jié)構(gòu)化的。 結(jié)構(gòu)化：系統(tǒng)中存在有限個(gè)不確定參數(shù)minmax21:1Maaasas非結(jié)構(gòu)化：系統(tǒng)在每個(gè)頻率下其頻率響應(yīng)位

16、于復(fù) 平面的一個(gè)集合內(nèi) 一般來說，非結(jié)構(gòu)化更為重要，因?yàn)樗梢詫?dǎo)出簡(jiǎn)單而實(shí)用的設(shè)計(jì)理論。()()iiiiG jMP j具體來說，考慮這樣的不確定問題，即其中： 是標(biāo)稱對(duì)象的傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng) 是由于參數(shù)的不確定性或攝動(dòng)造成 的實(shí)際對(duì)象模型 是一固定的、穩(wěn)定的傳遞函數(shù) 是一可變的、穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，且 0202()()(1)()()(1)G jGjWP jP jW0()P j2W()P j|1其中： ，稱為 的 范數(shù)。也代 表了 在Bode圖上的峰值，也寫為 ，稱為 的上確界或 者最小上界。 進(jìn)一步假定在構(gòu)成 中沒有消掉 的任何不穩(wěn)定的極點(diǎn)，即 和 有相同的不穩(wěn)定極點(diǎn)。這樣的攝動(dòng) 稱為可容許的。|

17、max |()|j|()|j|sup|()|j|()|jPPPP由 及 得 與則： 的模型的含義是 是偏離1的標(biāo)準(zhǔn)化的 對(duì)象攝動(dòng)，或不確定性只能引起偏離1的標(biāo) 準(zhǔn)化的對(duì)象攝動(dòng)。從而：因 ，則2(1)GW G2(1)PW P21PWP 21GWG P2W|1 可見 給出了不確定的范圍。這個(gè)不等式在復(fù)平面描繪了一個(gè)圓，在每一個(gè)頻率 ， 都位于以1為圓心，以 為半徑的圓內(nèi)。這種不確定性也稱為圓不確定性（或乘積圓狀不確定性），是一種非結(jié)構(gòu)性攝動(dòng)的集合。2222()1()()()()()()()P jWjP jjWjjWjWj 2()Wj/P P2W 一般情況下， 是 的增函數(shù)，不確定性隨頻率的增加而增

18、加。 的主要目的是為了考慮相位不確定性，同時(shí)也可作為攝動(dòng)幅值的尺度因子， 在（0，1）內(nèi)變化。2|()|Wj|例題：尋找設(shè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象 ，實(shí)際傳函通過將 代到集合 中并使用延遲因子 作為乘積攝動(dòng)的表征這樣對(duì) 帶入各式后得2W21( )P ss21( )sP ses00.1P21:1WPse2()|1| |()|()P jWjP j2|1| |()|jeWj 在Bode幅頻特性上，就可以找到 幅頻特性的上確界 ，滿足 （1） 是穩(wěn)定的 （2）在 內(nèi)， 是最小上確界 （顯然只要 ，即 具有最 大的幅值），所以 可由 時(shí)確定，1je 2()Wj2()Wj00.12()Wj0.1|1|je 2()Wj0.

19、120.21( )0.11sW ss 乘積攝動(dòng)模型，并不適合所有情況，作為圓的不確定性集合，有時(shí)是一種太粗糙的近似，在這種情況下，依據(jù)乘積不確定性模型設(shè)計(jì)的控制器相對(duì)原有的不確定性模型（非圓）有可能太保守。 其它一些不確定性模型的形式， ， 在采用每一種模型時(shí)都要對(duì) 和 作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。2/(1)PWP2PW2/(1)PW2W八、魯棒穩(wěn)定性1.引入 范數(shù)后的性能指標(biāo)表達(dá) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) ， 顯然對(duì)于 而言，要滿足 則上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)可寫為 |:|1| ()()| 1s jW j1| ()()| 1s jW j1()()1s jWj2.魯棒穩(wěn)定性魯棒概念可做如下描述： 假定對(duì)象傳遞函數(shù)屬于一個(gè)集合M，考察反饋系統(tǒng)的某些特性，如內(nèi)穩(wěn)定，給定一個(gè)控制器，如果集合M中的每一個(gè)對(duì)象都能保持這種特性并成立，則稱該控制器對(duì)此特性是魯棒的。 因此魯棒有三個(gè)因素： （1）控制器 （2）對(duì)象集合 （3）考察的特性 對(duì)設(shè)計(jì)來說有兩個(gè)重要特性要考察 （1）穩(wěn)定性，也稱魯棒穩(wěn)定性 （2）動(dòng)態(tài)性能，也稱魯棒性能魯棒穩(wěn)定性定義： 一個(gè)控制器D，如果對(duì)集合中的每一個(gè)對(duì)象都能保