教學內容極限存在準則與兩個重要極限

1、l教學內容教學內容：極限存在準則與兩個重要極限；無窮小的比較.l教學要求教學要求：l(1)了解兩個極限存在準則。l(2)會用兩個重要極限求一般簡單未定式的極限，對于未定式求極限不必做過多的練習。l(3)掌握無窮小的比較的有關概念（特別是高階無窮小與等價無窮小）。azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當1Nn 時,ayn當2Nn 時,azn令,max21NNN 則當Nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N定理定理1.11211lim222nnnnnn證證:

2、 利用夾逼準則 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由定理定理2.,),(0時當xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準則可證 )1sincosxxx圓扇形AOB的面積1sinlim0 xxx證證: 當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的

3、面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsinxt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1nnnRcossinlim2Rn.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圓內接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計算中注意利用1)()(sinlim0)

4、(xxx20sinlimx2x2x21Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab, ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . 證證: 利用二項式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!2

5、1n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213nexxx)1(lim1證證: 當0 x時, 設, 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim1

6、1）（nnnneexxx)1(lim1當x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時, 令.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx則 原式111)1 (limexxxlimx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211x

7、xxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) N , 使當NnNm,時,mnxx證證: “必要性”.設,limaxnn則,0NnNm,時, 有 使當,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 證明從略 .,N有的不同數(shù)列1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關系的應用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準則法法1 找一個數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函數(shù)極限

8、存在的夾逼準則1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim故極限存在，1.1.設 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設Axnnlim則由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準則,0nx, ),

9、2, 1(0iai證證: 顯然,1nnxx證明下述數(shù)列有極限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即nx單調增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆項相消拆項相消” 法法1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式,0時xxxxsin,32都是無窮小, 但 xxx3lim20,0 xxx3sinlim0,3120sinlimxxx,可見無窮小趨于 0

10、的速度是多樣的 . ,0limCk,0lim若則稱 是比 高階高階的無窮小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階階無窮小;則稱 是 的等價等價無窮小, 記作)(o0 x時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時xcos1是關于 x 的二階無窮小,xcos1221x且0 x時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx

11、11,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時x,sinxx,tanxx故,0 時x, )(sinxoxx)(tanxoxx,且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052設對同一變化過程 , , 為無窮小 ,無窮小的性質, (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則. 若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價與且若,則例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則,limlim且.時此結論未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2極限存在或有且若)(,x界, 則)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當x1)1 (312 x2