概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來來. 也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象. 研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限

2、定理中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律下面我們先介紹大數(shù)定律 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率幾個(gè)常見的大數(shù)定律幾個(gè)常見的大數(shù)定律定理定理1（切比雪夫大數(shù)定律）切比雪夫大數(shù)定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 設(shè)設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2,

3、 ，切比雪夫切比雪夫則對(duì)任意的則對(duì)任意的0， 證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，則對(duì)于任給則對(duì)于任給 0,2 221| )(| XEXP 切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，則，如果方差有共同的上界，則niiXn11與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于

4、近于1.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述請(qǐng)看演示請(qǐng)看演示切比雪夫不等式和大數(shù)定律切比雪夫不等式和大數(shù)定律 作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理有下面的定理.1|1|lim1 niinXnP定理定理2（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律） 設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,則對(duì)任給則對(duì)任給 0,2 下面給出的貝努里大數(shù)定律，下面給出的貝努里大數(shù)定律，

5、是定理是定理2的一種特例的一種特例.貝努里貝努里 設(shè)設(shè)Sn是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，否則，發(fā)生次試驗(yàn)如第，01AiXi引入引入i=1,2,n則則 niinXS1niinXnnS11是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 設(shè)設(shè)Sn是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，定理定理3（貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律）1|lim pnSPnn或或0|lim pnSPnn貝努里貝努里 貝努里大數(shù)定

6、律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率Sn/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小有較大偏差的概率很小. 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法定事件概率的方法.0|lim pnSPnn任給任給0，貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律請(qǐng)看演示請(qǐng)看演示蒲豐投針問題中解法的蒲豐投針問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律理論依據(jù)就是大數(shù)定律 當(dāng)投針次數(shù)當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線相交的很大時(shí)，用針與線相交的頻率頻率m/n近似針與線相交的近似針與線相交的概率概率p，從而求得，從而求得的的近似值

7、近似值.針長(zhǎng)針長(zhǎng)L線距線距aamLn2 下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在律，不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給則對(duì)任給 0 ，定理定理3（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律辛欽辛欽請(qǐng)看演示請(qǐng)看演示 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑望值提供了一條實(shí)際可行的途徑. 例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要例如要估計(jì)某地

8、區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如收割某些有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計(jì)計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì)作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì). 下面我們?cè)倥e一例說明大數(shù)定律的下面我們?cè)倥e一例說明大數(shù)定律的應(yīng)用應(yīng)用.定積分的概率計(jì)算法定積分的概率計(jì)算法求求的值的值10)(dxxgI 我們介紹我們介紹均值法，均值法，步驟是步驟是1) 產(chǎn)生在產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)rn,2) 計(jì)算計(jì)算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似積分值用平均值近似積分值求求的值的值10)(dxxgI因此，當(dāng)因此，當(dāng)N充分大時(shí)，充分大時(shí)， 原理是什么呢？原理是什么呢？設(shè)設(shè)XU(0, 1)由大數(shù)定律由大數(shù)定律1|)()(1|lim101dxxgrgNPNnnNIrgNINnn1)(1其它, 010, 1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn, 0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考.請(qǐng)看演示請(qǐng)看演示定積分的概率計(jì)算法定積分的概率計(jì)算法 問：若求問：若求的值的值badxxgI)(這一講我們介紹了大數(shù)定律這一講我們介紹了大數(shù)定律 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨大