數(shù)學建模差分方程模型

1、差分方程差分方程： 差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。 應用：應用：差分方程模型有著廣泛的應用。實際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個差分方程模型。差分方程模型

2、有著非常廣泛的實際背景。在經(jīng)濟金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用?？梢赃@樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求解。 差分方程建模：差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，根據(jù)要解決問題的目標，對每個時段引入相應的變量或向量，然后通過適當假設，根據(jù)事物系統(tǒng)的實際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規(guī)律和運算關(guān)系（即用相應設定的變量進行四則運算或基本初等函數(shù)運算或取最運算等）等式（

3、可以多個并且應當充分全面反映所有可能的關(guān)系），從而建立起差分方程?；蛘邔κ挛锵到y(tǒng)進行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當?shù)淖兞炕蛳蛄浚缓蠓治鼋⑵鹱舆^程間的這種量的關(guān)系等式，從而建立起差分方程。 過程時段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應當結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細分析、選擇，盡量擴大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進行結(jié)合運算、取最運算等處理方式，目的是建立起簡潔、深刻、易于求解分析的差分方程。 差分方程模型作為一種重要的數(shù)學模型，對它的應

4、用也應當遵從一般的數(shù)學建模的理論與方法原則。同時注意與其它數(shù)學模型方法結(jié)合起來使用，因為一方面建立差分方程模型所用的數(shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學分析方式來進行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進一步進行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等 1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長差分方程模型差分方程模型1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價格的振蕩在

5、什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降價格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩數(shù)量與價格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關(guān)系消費者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則y

6、k=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()

7、(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定有利于經(jīng)濟

8、穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經(jīng)濟穩(wěn)定經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。段的價格決

9、定下一時段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設供應函數(shù)為設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條

10、件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動背背景景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)

11、/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)；形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重

12、減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排

13、一個兩階段計劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100

14、800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周

15、第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千

16、卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運動運動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可。周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動每周運動時間時間(小

17、時小時)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(3）達到目標體重）達到目標體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動)(1680075028. 08000千卡C 運動運動(內(nèi)容同前內(nèi)容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk3 差分形式的阻滯增長模型

18、差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數(shù)量時刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(

19、1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平

20、衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114

21、/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果bx11*b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象4倍周期收斂倍周期收斂)1 (1kkkxbxx的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設與建模假設與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個

22、年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數(shù)量為對象以雌性個體數(shù)量為對象 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內(nèi)的時段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設假設與與建模建模xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預測任意時段種群預測任意時段種群按年齡組的分布按年齡組的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設至少設至少1個個bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識nkk