無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、1數(shù)數(shù) 字字 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理Digital Signal Processing2第五章第五章 無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIRIIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn) 掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標(biāo)以及數(shù)字掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標(biāo)以及數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本步驟。濾波器設(shè)計(jì)的基本步驟。 熟悉原型模擬濾波器特性、原理及設(shè)計(jì)步驟熟悉原型模擬濾波器特性、原理及設(shè)計(jì)步驟（主要是巴特沃斯模擬低通型）。（主要是巴特沃斯模擬低通型）。 掌握沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)掌握沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的基本原理與應(yīng)用?；驹砼c應(yīng)用。 掌握雙線性變換法設(shè)

2、計(jì)掌握雙線性變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器的基數(shù)字濾波器的基本原理與應(yīng)用。本原理與應(yīng)用。 掌握模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)掌握模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。（低通、高通、帶通、帶阻）。 掌握數(shù)字域頻率變換法設(shè)計(jì)掌握數(shù)字域頻率變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻、）。（低通、高通、帶通、帶阻、）。45.1 5.1 引言引言1.1.無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIRIIR）數(shù)字濾波器，屬）數(shù)字濾波器，屬于遞歸型濾波器。這類濾波器設(shè)計(jì)的一種主要方于遞歸型濾波器。這類濾波器設(shè)計(jì)的一種主要方法是借助于模擬濾波器成熟的設(shè)

3、計(jì)技術(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。法是借助于模擬濾波器成熟的設(shè)計(jì)技術(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。依據(jù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)和已有的完善設(shè)計(jì)圖依據(jù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)和已有的完善設(shè)計(jì)圖表，可以較為方便地對(duì)無限長(zhǎng)單位脈沖響（表，可以較為方便地對(duì)無限長(zhǎng)單位脈沖響（IIRIIR）數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。2.2.介紹濾波器的定義、分類（介紹濾波器的定義、分類（IIRIIR濾波器的分類）、濾波濾波器的分類）、濾波器性能指標(biāo)等。器性能指標(biāo)等。3.3.詳細(xì)介紹歸一化模擬低通原型濾波器的設(shè)計(jì)方法和詳細(xì)介紹歸一化模擬低通原型濾波器的設(shè)計(jì)方法和步驟（最基本的）。步驟（最基本的）。4.4.主要有兩種離散化方法主要有兩種離散化方法沖激響應(yīng)不

4、變法和雙線性沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法，將模擬濾波器離散成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。變換法，將模擬濾波器離散成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。55. 5. 用頻率變換法設(shè)計(jì)用頻率變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器，有兩種頻率數(shù)字濾波器，有兩種頻率變換設(shè)計(jì)方法變換設(shè)計(jì)方法a a、模擬頻率域變換法設(shè)計(jì)、模擬頻率域變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器b b、數(shù)字頻率域變換法設(shè)計(jì)、數(shù)字頻率域變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器* * *頻率變換法設(shè)計(jì)頻率變換法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器均以歸一化模擬數(shù)字濾波器均以歸一化模擬低通原型濾波器的設(shè)計(jì)方法為重要基礎(chǔ)，在此基低通原型濾波器的設(shè)計(jì)方法為重要基礎(chǔ)，在此

5、基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)的拓展和延伸。礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)的拓展和延伸。=01( )531MrrrkNkkkb zH zaa z，（其中不全為零）（）IIRIIR和和FIRFIR兩種濾波器的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）分別為兩種濾波器的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）分別為如下形式。如下形式。無限長(zhǎng)單位脈沖濾波器（無限長(zhǎng)單位脈沖濾波器（IIRIIR）的系統(tǒng)函數(shù)（遞歸型）：）的系統(tǒng)函數(shù)（遞歸型）：6 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器（有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器（FIRFIR）的系統(tǒng)函數(shù)）的系統(tǒng)函數(shù)（非遞歸型）（非遞歸型）11( )( ),(54)NnnH zh n z濾波器濾波器： 對(duì)輸入信號(hào)頻率成分進(jìn)行選擇的器件、系統(tǒng)和對(duì)輸入信號(hào)頻率成分進(jìn)

6、行選擇的器件、系統(tǒng)和裝置，讓某些頻率分量通過濾波器的同時(shí)，抑制其它頻率裝置，讓某些頻率分量通過濾波器的同時(shí)，抑制其它頻率分量。分量。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器：是指輸入是指輸入/ /輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一 定定運(yùn)算關(guān)系調(diào)整輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，同時(shí)運(yùn)算關(guān)系調(diào)整輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，同時(shí)抑制或?yàn)V除某些頻率成分的器件、裝置和系統(tǒng)。抑制或?yàn)V除某些頻率成分的器件、裝置和系統(tǒng)。5.2 濾波器性能指標(biāo)與設(shè)計(jì)步驟濾波器性能指標(biāo)與設(shè)計(jì)步驟5.2.1 5.2.1 濾波器概述濾波器概述7數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)： 構(gòu)建因果穩(wěn)定的構(gòu)建因果穩(wěn)定的LSILSI系統(tǒng)（保證可實(shí)現(xiàn)

7、性和可用系統(tǒng)（保證可實(shí)現(xiàn)性和可用性），并使之具有所期望的頻率選擇特性（滿足性能性），并使之具有所期望的頻率選擇特性（滿足性能指標(biāo)要求）。通常指標(biāo)要求）。通常按頻率選擇特性不同可以分為低通、按頻率選擇特性不同可以分為低通、高通、帶通、帶阻等類型。高通、帶通、帶阻等類型。如圖如圖5-25-2和圖和圖5-35-3所示。所示。1.1.無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器（無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器（IIRIIR）2.2.有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器（有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器（FIRFIR）數(shù)字濾波器分類數(shù)字濾波器分類（沖激響應(yīng)（沖激響應(yīng)）：8 圖圖5-2 5-2 模擬濾波器的類型模擬濾波器的類型 圖圖5-3 5-3 數(shù)字濾波器的類型數(shù)

8、字濾波器的類型9（1 1）圖）圖5-25-2表示模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器。表示模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器。 （2 2）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。 （3 3）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實(shí)現(xiàn)的，只）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實(shí)現(xiàn)的，只能用實(shí)際的濾波器的特性逼近該特性。能用實(shí)際的濾波器的特性逼近該特性。1 1模擬濾波器的類型及其特點(diǎn)模擬濾波器的類型及其特點(diǎn)（4 4）頻率）頻率 是連續(xù)變量，從是連續(xù)變量，從00連續(xù)變化連續(xù)變化102 2數(shù)字濾波器的類型及

9、其特點(diǎn)數(shù)字濾波器的類型及其特點(diǎn)（1 1）圖）圖5-35-3表示數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器表示數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器 （2 2）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。 （4 4）數(shù)字頻率）數(shù)字頻率 變化從變化從00包括所有頻率，與連續(xù)頻包括所有頻率，與連續(xù)頻率的重要區(qū)別，且幅度特性呈現(xiàn)周期性重復(fù)。率的重要區(qū)別，且幅度特性呈現(xiàn)周期性重復(fù)。 （5 5）數(shù)字頻率，低頻頻率成分位于）數(shù)字頻率，低頻頻率成分位于的偶數(shù)倍附近，的偶數(shù)倍附近，而高頻成份位而高頻成份位的奇數(shù)倍附近。的奇數(shù)倍

10、附近。 （3 3）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實(shí)現(xiàn)的。）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實(shí)現(xiàn)的。115.2.2 5.2.2 數(shù)字濾波器性能指標(biāo)數(shù)字濾波器性能指標(biāo)濾波器的特性主要由頻率響應(yīng)表述濾波器的特性主要由頻率響應(yīng)表述( (設(shè)設(shè)DFDF的單位脈沖響應(yīng)為的單位脈沖響應(yīng)為h(nh(n)| )(|jeH其中其中稱為濾波器的稱為濾波器的幅度響應(yīng)幅度響應(yīng))(je稱為濾波器的稱為濾波器的相位響應(yīng)相位響應(yīng)對(duì)于相位響應(yīng)，令對(duì)于相位響應(yīng)，令()dd 稱為濾波器的群延遲響應(yīng)稱為濾波器的群延遲響應(yīng)當(dāng)濾波器的群延遲響應(yīng)當(dāng)濾波器的群延遲響應(yīng)為常數(shù)時(shí)，稱為線性相位濾波器為常數(shù)時(shí)，稱為線性相位濾波器jjjjj (

11、)e(e)( )e( )(e) enznHh nH zH 反映濾波器對(duì)信號(hào)幅頻和相頻的處理功能反映濾波器對(duì)信號(hào)幅頻和相頻的處理功能 12要求不失真?zhèn)鬏?，則濾波器必須具有線性相位特性，同時(shí)要求不失真?zhèn)鬏敚瑒t濾波器必須具有線性相位特性，同時(shí)對(duì)幅度特性有嚴(yán)格要求。即必須同時(shí)具備如下兩個(gè)條件：對(duì)幅度特性有嚴(yán)格要求。即必須同時(shí)具備如下兩個(gè)條件： 在通帶內(nèi)濾波器幅度特性為常數(shù)；在通帶內(nèi)濾波器幅度特性為常數(shù)； 在通帶內(nèi)相位函數(shù)為在通帶內(nèi)相位函數(shù)為 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。線性相位函數(shù)有兩種情況，一種是通過坐標(biāo)原點(diǎn)線性相位函數(shù)有兩種情況，一種是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的線性函數(shù)，另一種是在縱坐標(biāo)上有截相（的線性函數(shù)，另一

12、種是在縱坐標(biāo)上有截相（ ）/2的線性相位函數(shù)（相角與頻率的關(guān)系成直線關(guān)系）。的線性相位函數(shù)（相角與頻率的關(guān)系成直線關(guān)系）。13 理想濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為非因果的（不可實(shí)理想濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為非因果的（不可實(shí)現(xiàn)），因而實(shí)際的濾波器頻率特性是用一個(gè)具有因果現(xiàn)），因而實(shí)際的濾波器頻率特性是用一個(gè)具有因果沖激響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)理想濾波器頻率特性的逼近。沖激響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)理想濾波器頻率特性的逼近。11|() |1jH e2|)(|jeHsp|過渡帶過渡帶p|通通帶帶p通通帶帶截截止止頻頻率率1通通帶帶容容限限|s阻帶阻帶s阻帶截止頻率阻帶截止頻率2阻帶容限阻帶容限低通濾波器幅頻特性低通濾波器幅頻特

13、性0p通帶截止頻率通帶截止頻率p通帶通帶 通帶容限通帶容限 1| )(|jeH通帶阻帶過渡帶111 2ps14通帶和阻帶的衰減用分貝數(shù)表示為通帶和阻帶的衰減用分貝數(shù)表示為通帶最大衰減通帶最大衰減p01|() |20 lg20 lg |() |20 lg(1)|() |ppjjpjHeHeHe 阻帶最小衰減阻帶最小衰減s02|() |20 lg20 lg |() |20 lg|() |ssjjsjHeHeHe 此時(shí)此時(shí) 為為 截止頻率，對(duì)應(yīng)的帶寬為截止頻率，對(duì)應(yīng)的帶寬為3 3dB帶寬帶寬通常通常1|)(|0jeH當(dāng)當(dāng)22|)(|pjeH時(shí)時(shí)，3,pdBdB3通帶最大衰減，越小越好通帶最大衰減，越

14、小越好 阻帶最小衰減，越大越好阻帶最小衰減，越大越好 p15IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)主要工作：數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)主要工作：用一因果穩(wěn)定的離散用一因果穩(wěn)定的離散LSILSI系統(tǒng)逼近給定的性能指標(biāo)系統(tǒng)逼近給定的性能指標(biāo)01( )5101MkkkkNkkkb zHzaa z（ 其 中 系 數(shù)不 全 為 零 ）（） 主要的方法是首先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)主要的方法是首先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H H( (s s) )，然后通過離散化的方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系，然后通過離散化的方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H H( (z z) )。 由式（由式（5-105-10）可見，設(shè)計(jì)一個(gè)）可見，設(shè)計(jì)一個(gè)

15、IIRIIR數(shù)字濾波器，實(shí)數(shù)字濾波器，實(shí)質(zhì)上是尋找一組系數(shù)質(zhì)上是尋找一組系數(shù) a ak k、b bk k 合適的值，使數(shù)字濾波器合適的值，使數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)滿足給定的指標(biāo)要求的性能指標(biāo)滿足給定的指標(biāo)要求 本質(zhì)上是屬于數(shù)學(xué)逼近問題。這與模擬濾波器的本質(zhì)上是屬于數(shù)學(xué)逼近問題。這與模擬濾波器的設(shè)計(jì)思想是完全一致的。設(shè)計(jì)思想是完全一致的。16 根據(jù)具體設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能指標(biāo)。根據(jù)具體設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能指標(biāo)。 轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器指標(biāo)成模擬低通指標(biāo)（一般需兩次轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器指標(biāo)成模擬低通指標(biāo)（一般需兩次轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換, ,低通除外低通除外) )。( (通、阻帶邊界頻率和通、阻帶通、阻帶邊界頻率和通、

16、阻帶衰減）衰減） 設(shè)計(jì)一個(gè)滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的歸一化模擬濾波器系統(tǒng)函設(shè)計(jì)一個(gè)滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的歸一化模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù) 。 去歸一化并轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同型的模擬濾波器去歸一化并轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同型的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)即系統(tǒng)函數(shù)即 H Ha a( (s s) ) 將設(shè)計(jì)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)將設(shè)計(jì)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H Ha a( (s s) )離散化成數(shù)字濾離散化成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)波器系統(tǒng)函數(shù)H HD D( (z z) )IIRIIR濾波器設(shè)計(jì)主要步驟濾波器設(shè)計(jì)主要步驟( )aHs( )aH s 175.2.3 5.2.3 常用模擬濾波器設(shè)計(jì)方法常用模擬濾波器設(shè)計(jì)方法1 1 由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)

17、函數(shù)由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)用幅度平方函數(shù)表示模擬濾波器幅度響應(yīng)用幅度平方函數(shù)表示2*|() |()(),aaaHjHjHj 模擬濾波器的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，濾波器設(shè)計(jì)有嚴(yán)模擬濾波器的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，濾波器設(shè)計(jì)有嚴(yán) 格的設(shè)計(jì)公式，還有完善的曲線和圖表供設(shè)計(jì)者使用，格的設(shè)計(jì)公式，還有完善的曲線和圖表供設(shè)計(jì)者使用， 這些以歸一化低通原型為基礎(chǔ)，常見的模擬濾波器包括巴這些以歸一化低通原型為基礎(chǔ)，常見的模擬濾波器包括巴特沃斯（特沃斯（ButterworthButterworth）濾波器、切比雪夫（）濾波器、切比雪夫（ChebyshevChebyshev）濾波器、橢圓函數(shù)濾波器（濾波

18、器、橢圓函數(shù)濾波器（EllipseEllipse或或CauerCauer）、貝賽爾）、貝賽爾（BesselBessel）濾波器等。）濾波器等。 重點(diǎn)介紹巴特沃斯（重點(diǎn)介紹巴特沃斯（Butterworth）模擬歸一化）模擬歸一化低通濾波器的設(shè)計(jì)方法。低通濾波器的設(shè)計(jì)方法。 18因?yàn)闉V波器沖激響應(yīng)因?yàn)闉V波器沖激響應(yīng) 是實(shí)函數(shù)，則有是實(shí)函數(shù)，則有)(tha)()(*jHjHaa所以所以2|()|()()( )( )|aaaaas jH jH jHjH s Hs )(sHa 為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù), ,它是關(guān)于它是關(guān)于s s的多項(xiàng)的多項(xiàng)式之比的形式（關(guān)于式之比的形式（關(guān)于s s的

19、有理函數(shù)）的有理函數(shù)） 可見為頻率響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)取共軛之積可見為頻率響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)取共軛之積 其中其中:19 模擬濾波器設(shè)計(jì)是根據(jù)一組設(shè)計(jì)指來設(shè)計(jì)模擬濾模擬濾波器設(shè)計(jì)是根據(jù)一組設(shè)計(jì)指來設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)波器的系統(tǒng)函數(shù)H Ha a( (s s) )，使其逼近某個(gè)理想幅度，使其逼近某個(gè)理想幅度特性。例如逼近理想模擬低通濾波器的幅頻特性，特性。例如逼近理想模擬低通濾波器的幅頻特性，具體如圖具體如圖5-55-5所示。所示。 圖5-5 5-5 理想模擬低通濾波器的幅頻特性理想模擬低通濾波器的幅頻特性這是根據(jù)幅度平方函數(shù)來逼近的。這是根據(jù)幅度平方函數(shù)來逼近的。202 2 巴特沃斯濾波

20、器巴特沃斯濾波器( (模擬濾波器）模擬濾波器）巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為NCajH22)(11| )(|N N為濾波器階次為濾波器階次為濾波器截止頻率為濾波器截止頻率C巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1 1）處無衰減處無衰減0 , 1| )(|02 jHa為為3 3dB dB 頻率頻率, ,且對(duì)應(yīng)于巴特沃斯低通濾波器的且對(duì)應(yīng)于巴特沃斯低通濾波器的3dB3dB帶寬帶寬C（2 2）21|() |2CaHj 21| )(jHa|( 0) |20 lg3,|() |pCHjdBHj為通帶最大衰減為通帶最大衰減, ,越小濾波越好越小濾波

21、越好p與數(shù)字濾波器類似則有與數(shù)字濾波器類似則有21且在且在 處處0（3 3）C前（前（2N2N1 1）階導(dǎo)數(shù)為）階導(dǎo)數(shù)為0 02| )(|jHa即具有最大平坦幅度特性，即具有最大平坦幅度特性， 附近最平坦附近最平坦, ,在通帶內(nèi)單調(diào)減小，在通帶內(nèi)單調(diào)減小，階次越高，衰減越慢。（通帶內(nèi)）階次越高，衰減越慢。（通帶內(nèi)）2| )(|jHa（4 4）C2| )(|jHa的增加而快速減小。階次越高，衰減越快。（阻帶內(nèi)）的增加而快速減小。階次越高，衰減越快。（阻帶內(nèi)）隨著隨著可見巴特沃斯濾波器的幅頻濾波特性由濾波器的階次決定。可見巴特沃斯濾波器的幅頻濾波特性由濾波器的階次決定。NCaaajssHsHjHj

22、s22)(11)()(| )(| 0圖圖5-6 巴特沃斯低通的幅度特性與巴特沃斯低通的幅度特性與N的關(guān)系的關(guān)系221121222( 1)()1,2,3,2kjNNCCksjekN 極點(diǎn)（特征根）極點(diǎn)（特征根） 的極點(diǎn)分布特點(diǎn)如圖的極點(diǎn)分布特點(diǎn)如圖5-75-7所示。所示。 極點(diǎn)為：以虛軸為對(duì)稱軸，且不會(huì)分極點(diǎn)為：以虛軸為對(duì)稱軸，且不會(huì)分布在虛軸上。布在虛軸上。 N N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)，為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)，N N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。軸上沒有極點(diǎn)。 極點(diǎn)間隔為極點(diǎn)間隔為 。取左半取左半s s平面極點(diǎn)，即為平面極點(diǎn)，即為H Ha a( (s s) )的極點(diǎn)，這是由于

23、濾波的極點(diǎn)，這是由于濾波器必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)必須在器必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)必須在s s平面平面的左平面。的左平面。2211()01()NNCCssjjaa( )()Hs Hs特征方程特征方程aa( )()Hs Hs巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點(diǎn)分別為：巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點(diǎn)分別為： / N23圖圖5-7 5-7 三階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布三階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布1/Crad s 012( )()()()aNKHsssssss02012( )aNNKHsaa sa sa s當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱為歸一化頻率，通常在設(shè)計(jì)中頻率都稱為歸一化頻率，通常在設(shè)計(jì)中

24、頻率都采用歸一化形式采用歸一化形式 歸一化后的低通濾波器為原型濾波器。歸一化后的低通濾波器為原型濾波器。 或或NkessssHNkjCkNkkNCa,3 , 2 , 1)()(212211當(dāng) C1rad/s24【例例5-1】試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)數(shù)，設(shè)解：三階巴特沃斯歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為解：三階巴特沃斯歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為sradC/20230123( )aKHsaa sa sa s由附錄由附錄A-1可查出可查出 所以所以2,221aa023( )122aKHssss若令若令 ，則有，則有1)0(anH10K在在 頻率下頻率下

25、sradC/2 Ca238( )( )()884saasCsHsHsHsss在設(shè)計(jì)中用在設(shè)計(jì)中用 替代替代 中的中的 ( (即去歸一化），得到所需即去歸一化），得到所需要的實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)要的實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Cs( )aHss( )aHs253 3 根據(jù)實(shí)際濾波器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器根據(jù)實(shí)際濾波器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器通帶最大衰通帶最大衰減減阻帶最小衰減阻帶最小衰減 給定給定ps| )(|jH通帶阻帶過渡帶1psps濾波器類型轉(zhuǎn)換衰減指標(biāo)不變?yōu)V波器類型轉(zhuǎn)換衰減指標(biāo)不變26從該題的求解過程中，可以總結(jié)出由從該題的求解過程中，可以總結(jié)出由N N求實(shí)際低通求實(shí)際低通 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的

26、步驟如下。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟如下。 由給定指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減等），由給定指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減等），計(jì)算出濾波器的階數(shù)。計(jì)算出濾波器的階數(shù)。 根據(jù)根據(jù)N N查找歸一化表格（有三種形式，根據(jù)需要查找歸一化表格（有三種形式，根據(jù)需要選一種，附錄選一種，附錄A A提供兩種），得到歸一化原型低通提供兩種），得到歸一化原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 根據(jù)選定的歸一化頻率，進(jìn)行去歸一化，求出根據(jù)選定的歸一化頻率，進(jìn)行去歸一化，求出實(shí)際的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。實(shí)際的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。如何利用實(shí)際濾波器給定的性能指標(biāo)，推導(dǎo)出求巴特如何利用實(shí)際濾波器給定的性能指標(biāo)，推導(dǎo)出求

27、巴特沃斯低通濾波器的階數(shù)沃斯低通濾波器的階數(shù)N和求歸一化截止頻率和求歸一化截止頻率c公式？公式？ 27分別由通帶最大衰減和阻帶最小衰減求分別由通帶最大衰減和阻帶最小衰減求N N和歸一化頻率和歸一化頻率| )(|lg20| )(| )0(|lg20papaapjHjHjH| )(|lg20| )(| )0(|lg20sasaasjHjHjH代入代入NCajH22)(11| )(|)(1lg102NCPp)(1lg102NCSs 有有及及212)(11| )(|NCppajH 212)(11| )(|NCssajH 1.求求 N28lg2/ 110110lg101 . 01 . 0spSPN2.2

28、.求求:C阻帶指標(biāo)滿足，通帶指標(biāo)有富裕量阻帶指標(biāo)滿足，通帶指標(biāo)有富裕量通帶指標(biāo)滿足，阻帶指標(biāo)有富裕量通帶指標(biāo)滿足，阻帶指標(biāo)有富裕量NsCs211 . 0 110NpCp211 . 0 110NPCCPNNCPppp2110/2110/210/) 110() 110()(110 (取大于或等于計(jì)算取大于或等于計(jì)算結(jié)果的整數(shù)結(jié)果的整數(shù)N)29例例5-2設(shè)要求在通帶頻率低于設(shè)要求在通帶頻率低于1kHz時(shí)，允許幅度誤差在時(shí)，允許幅度誤差在1dB以內(nèi)，在頻率大于以內(nèi)，在頻率大于1.8kHz的阻帶內(nèi)，衰減大于的阻帶內(nèi)，衰減大于14dB。試設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯模擬低通濾波器。試設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯模擬低通濾波器。解

29、：解： 模擬低通濾波器的兩個(gè)邊界頻率和衰減指標(biāo)分別為模擬低通濾波器的兩個(gè)邊界頻率和衰減指標(biāo)分別為巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為取取N=4，根據(jù)根據(jù)N值查附錄值查附錄A得到歸一化模擬低通濾波得到歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為器的系統(tǒng)函數(shù)為 pp22000 rad/sfp1dB ss23600 rad/sfs14dB，通帶最大衰減，阻帶最小衰減sp0.1 s0.1 p1011.9692lg/2lg3.85700.5105101N30將通帶邊界頻率和通帶最大衰減值代入上式有將通帶邊界頻率和通帶最大衰減值代入上式有Css10.12101pNCp a2341( )12.6131 +3

30、.41422.6131Hsssss 去歸一化，求出實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。去歸一化，求出實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 C7439rad/sc1.1840kHz (2 )ff（去歸一化）得到實(shí)際模擬低通系通函數(shù)（去歸一化）得到實(shí)際模擬低通系通函數(shù) c caLPaLP234=4 c432234 c c c c151512824341( )( )12.6131 +3.41422.61312.61313.41422.61313.0624 103.0624 101.0757 101.8893 101.9438 10ssssHsHsssssssssssss315.3 5.3 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法5.3.1

31、5.3.1變換原理變換原理( )()ah nThnT沖激響應(yīng)不變法是用數(shù)字濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域單位脈沖沖激響應(yīng)不變法是用數(shù)字濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域單位脈沖響應(yīng)響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)h(t)。其過程如下。其過程如下aa( )( )( )( )tnTZHsh th nH z 拉氏反變換離散化變換a( )h ttnTa( )h ta( )h t對(duì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求拉氏逆變換，得到模仿模擬對(duì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求拉氏逆變換，得到模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng) ，用，用 離散化離散化 ，使使h(n)的的序列值正好等于序列值正好等于 的離散點(diǎn)上的采樣值，即有的離散

32、點(diǎn)上的采樣值，即有a( )()h nh nT由由h(n)的的Z變換和抽樣信號(hào)變換和抽樣信號(hào)的拉氏變換之間的變換關(guān)系的拉氏變換之間的變換關(guān)系aae12( )( )(j)sTzkkH zHsHsTT取取 32兩者之間的轉(zhuǎn)換是兩者之間的轉(zhuǎn)換是s平面與平面與z平面之間的映射關(guān)系即平面之間的映射關(guān)系即 esTz 下面討論下面討論s平面到平面到z平面的映射關(guān)系，由圖平面的映射關(guān)系，由圖5-9可見：可見：圖圖5-9 沖激響應(yīng)不變法映射關(guān)系沖激響應(yīng)不變法映射關(guān)系332/T2/T2/T( )H za( )HsesTz s s平面左半平面縱軸方向，每條寬度為平面左半平面縱軸方向，每條寬度為 橫條都重疊橫條都重疊地

33、映射到地映射到z z平面的單位圓內(nèi)。平面的單位圓內(nèi)。 s s平面右半平面縱軸方向，每條寬度為平面右半平面縱軸方向，每條寬度為 橫條都橫條都重疊地映射到重疊地映射到z平面的單位圓外。平面的單位圓外。，在單位圓上兜一圈。這些特點(diǎn)正是反映了在單位圓上兜一圈。這些特點(diǎn)正是反映了 和和之間的變換關(guān)系，即之間的變換關(guān)系，即 s平面的虛軸上都映射到平面的虛軸上都映射到z平面的單位圓上。這部分平面的單位圓上。這部分也是重疊映射，也是重疊映射，s平面的虛軸上每段長(zhǎng)度為平面的虛軸上每段長(zhǎng)度為注意：注意：a.此種映射關(guān)系不遵從簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系此種映射關(guān)系不遵從簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系 b.b.用這種方法離散化在頻率高時(shí)必然

34、混疊用這種方法離散化在頻率高時(shí)必然混疊 c.這種離散化方法不會(huì)對(duì)穩(wěn)定性帶來問題。這種離散化方法不會(huì)對(duì)穩(wěn)定性帶來問題。345.3.2 5.3.2 模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)()()(對(duì)應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)為對(duì)應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)為)(tha對(duì)對(duì) 求求z變換，變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(nh 為了使討論問題簡(jiǎn)單化，假定模擬濾波器的系統(tǒng)函為了使討論問題簡(jiǎn)單化，假定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H Ha a( (s s) )只有單階極點(diǎn)（共軛和重階也可參照信號(hào)與系統(tǒng)只有單階極點(diǎn)（共軛和重階也可參照信

35、號(hào)與系統(tǒng)處理），且分母的階次大于或等于分子的階次處理），且分母的階次大于或等于分子的階次（模擬濾波器的可實(shí)現(xiàn)性要求）將（模擬濾波器的可實(shí)現(xiàn)性要求）將H Ha a( (s s) )展開部分分式展開部分分式形式，其形式為形式，其形式為110110( )( )(e)(e)kkNNs Ts TnnnkknnkknH zh n zTAzTAz351e1ks Tzeks Tz若若 或或 ，級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)收斂，Z Z變換存在，利用變換存在，利用等比級(jí)數(shù)前等比級(jí)數(shù)前N N項(xiàng)和公式有項(xiàng)和公式有111011( )(e)1 ekkNNs Tnkks TknkH zTAzTAz與模擬系統(tǒng)濾波器系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開形式

36、比較，則與模擬系統(tǒng)濾波器系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開形式比較，則a111( )( )1 ekNNkks TkkkATAHsH zsszeks Tz 0ksse0ks Tz 兩者的系統(tǒng)函數(shù)比較有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系。兩者的系統(tǒng)函數(shù)比較有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系。兩者部分分式展開式差一個(gè)系數(shù)兩者部分分式展開式差一個(gè)系數(shù)T T 。eks Tz s s平面單極點(diǎn)平面單極點(diǎn)s s= =s sk k變換到變換到z z平面上平面上 處單階處單階極點(diǎn)，極點(diǎn)， 和和 為各自系統(tǒng)的特征方程為各自系統(tǒng)的特征方程（求極點(diǎn)）。（求極點(diǎn)）。穩(wěn)定的模擬濾波器一定映射為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。穩(wěn)定的模擬濾波器一定映射為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。36 設(shè)計(jì)濾波器時(shí)

37、，設(shè)計(jì)濾波器時(shí)， 都是實(shí)數(shù)，因此都是實(shí)數(shù)，因此 的極點(diǎn)一定的極點(diǎn)一定是以共軛形式出現(xiàn)。對(duì)于這種共軛極點(diǎn)，是以共軛形式出現(xiàn)。對(duì)于這種共軛極點(diǎn)， 形成二階的形成二階的基本節(jié)，其模擬濾波器的二階基本節(jié)與數(shù)字濾波器二階基本基本節(jié)，其模擬濾波器的二階基本節(jié)與數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的對(duì)應(yīng)的兩種形式節(jié)的對(duì)應(yīng)的兩種形式)(tha)(sHa)(sHa22()kkkss kkkjs極點(diǎn)極點(diǎn)TkTkTkkkezTezTez2211cos21cos11 1。2 2。22()kkks kkkjs 極點(diǎn)極點(diǎn)12121sin12coskkkTkTTkz eTz eTze37沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器具有模擬濾波器的沖激響

38、應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器具有模擬濾波器的相似特性（兩者頻率成現(xiàn)性關(guān)系相似特性（兩者頻率成現(xiàn)性關(guān)系 ）。）。5.3.3 5.3.3 沖激響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)步驟沖激響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)步驟T 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器（低通和帶通）的主用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器（低通和帶通）的主要步驟如下要步驟如下: : 1 1確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo) 數(shù)字低通指標(biāo)：兩個(gè)邊界頻率數(shù)字低通指標(biāo)：兩個(gè)邊界頻率 、 和兩個(gè)和兩個(gè)衰減衰減 、 。pp()(),ss 、（pspsps。 數(shù)字帶通指標(biāo)：通帶上、下邊界頻率，阻帶上、數(shù)字帶通指標(biāo)：通帶上、下邊界頻率，阻帶上、下邊界頻率和兩個(gè)衰減下邊界頻率和兩個(gè)

39、衰減 、 。2 2將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo) 數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)（用公式數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)（用公式 T、） 衰減不變衰減不變38 數(shù)字帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶通指標(biāo)（用公數(shù)字帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶通指標(biāo)（用公式式 ）。）。Tp1 p2 p s1s2 s(、），（，） 模擬帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)模擬帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)、兩個(gè)衰減保持不變。兩個(gè)衰減保持不變。3 3按照模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通按照模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器。濾波器。4 4求實(shí)際模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求實(shí)際模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

40、（去歸一化）（去歸一化）a( )Hs5 5利用沖激響應(yīng)不變法離散化，將模擬濾波器系統(tǒng)函利用沖激響應(yīng)不變法離散化，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 模擬低通到數(shù)字低通直接離散化。模擬低通到數(shù)字低通直接離散化。 數(shù)字帶通濾波器設(shè)計(jì)，則要將模擬低通變換為模擬數(shù)字帶通濾波器設(shè)計(jì)，則要將模擬低通變換為模擬帶通，再將其離散化成數(shù)字帶通濾波器。帶通，再將其離散化成數(shù)字帶通濾波器。39a23( )54Hsss1T a2311( )1454Hsssss【例例5-35-3】 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 , , 試?yán)脹_激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)試?yán)脹_激響應(yīng)不

41、變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器。設(shè)采數(shù)字濾波器。設(shè)采樣周期為樣周期為 。解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為部分分式（兩個(gè)解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為部分分式（兩個(gè)一階節(jié)一階節(jié)）所以數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)與之對(duì)應(yīng)的一階的形式如下所以數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)與之對(duì)應(yīng)的一階的形式如下114( )1e1eTTTTH zzz將采樣周期將采樣周期 代入則有代入則有1T 1120.34956( )1 0.38620.0067zH zzz40aa2j3(j )( )5j4sHHs jjjej2j0.3496e(e)( )10.3862e0.0067zHH z 模擬濾波器的頻率響應(yīng)為模擬濾波器的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為

42、數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為415.3.4 5.3.4 沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn) 沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器，時(shí)域特性逼進(jìn)近程度好。沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器，時(shí)域特性逼進(jìn)近程度好。 模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間為線性關(guān)系即模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間為線性關(guān)系即T沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)如下沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)如下保證頻率之間不存在失真，保持離散化后的不變性保證頻率之間不存在失真，保持離散化后的不變性 轉(zhuǎn)換關(guān)系簡(jiǎn)單，并有現(xiàn)成的一階和二階基本節(jié)，轉(zhuǎn)換時(shí)轉(zhuǎn)換關(guān)系簡(jiǎn)單，并有現(xiàn)成的一階和二階基本節(jié)，轉(zhuǎn)換時(shí)所需的部分分式展開形式亦可借助于所需的部分分式展開形式亦可借助于MATLAB環(huán)境。環(huán)境。沖

43、激響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)如下沖激響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)如下 高頻頻譜混疊高頻頻譜混疊 混疊是沖激響應(yīng)不變法固有的缺點(diǎn)混疊是沖激響應(yīng)不變法固有的缺點(diǎn)僅適合于低通、帶通濾波器設(shè)計(jì)僅適合于低通、帶通濾波器設(shè)計(jì)425.4 5.4 雙線性變換法雙線性變換法5.4.15.4.1變換原理變換原理 為了克服沖激響應(yīng)不變法離散化產(chǎn)生的頻率混疊失真，為了克服沖激響應(yīng)不變法離散化產(chǎn)生的頻率混疊失真，雙線性變換法采用兩次映射的方法，如下所述。雙線性變換法采用兩次映射的方法，如下所述。 頻率軸壓縮頻率軸壓縮 多值映射轉(zhuǎn)化成一一對(duì)應(yīng)的單值映射多值映射轉(zhuǎn)化成一一對(duì)應(yīng)的單值映射 穩(wěn)定性不變性穩(wěn)定性不變性問題：頻率畸變性（連續(xù)頻率與數(shù)字頻

44、率轉(zhuǎn)換的非線性）問題：頻率畸變性（連續(xù)頻率與數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換的非線性）映射關(guān)系如圖映射關(guān)系如圖5-15所示所示 43圖圖5-15 雙線性變換映射關(guān)系雙線性變換映射關(guān)系TT（）第一，第一，s平面映射到平面映射到s1平面上的水平帶域平面上的水平帶域（相當(dāng)于頻率軸壓縮）。（相當(dāng)于頻率軸壓縮）。44第二，第二，s s1 1平面上的水平帶域平面上的水平帶域 映射至映射至z z平面。平面。TT（）第三，穩(wěn)定性不變性。第三，穩(wěn)定性不變性。 通過上述兩次映射，將整個(gè)通過上述兩次映射，將整個(gè)s平面到平面到z平面上多值映射平面上多值映射 變成一點(diǎn)對(duì)一點(diǎn)的單值映射，消除了多值映射造成的混變成一點(diǎn)對(duì)一點(diǎn)的單值映射，消除了

45、多值映射造成的混疊。由三個(gè)平面之間的映射關(guān)系，決定了雙線性變換法疊。由三個(gè)平面之間的映射關(guān)系，決定了雙線性變換法保證系統(tǒng)穩(wěn)定性不會(huì)因離散化而帶來穩(wěn)定性問題。保證系統(tǒng)穩(wěn)定性不會(huì)因離散化而帶來穩(wěn)定性問題。455.4.2 5.4.2 模擬濾波器數(shù)字化方法模擬濾波器數(shù)字化方法11jsjs 可得可得s s平面到平面到s s1 1平面的關(guān)系為平面的關(guān)系為 / /TT（）把把s s平面映射到平面映射到s s1 1平面的水平帶域平面的水平帶域取兩個(gè)平面之間的變換關(guān)系為：取兩個(gè)平面之間的變換關(guān)系為： 1tan2Tc當(dāng)當(dāng) 頻率軸壓縮頻率軸壓縮 1T ，C：為預(yù)畸變待定常數(shù)，：為預(yù)畸變待定常數(shù)， ：是：是s平面的連

46、續(xù)頻率，平面的連續(xù)頻率， 1 ：是：是s s1 1平面的頻率，平面的頻率， 1T 利用歐拉公式改寫上式為利用歐拉公式改寫上式為 1 1 1 1 1jj22jj 1222jsinee2jj2cosee2TTTTTccT令令46 1 1 1 1 1jj22jj 1222jsinee2jj2cosee2TTTTTccT1es Tz 利用利用 （代入上式）的變換關(guān)系，映射（代入上式）的變換關(guān)系，映射s s1 1平面到平面到z z平面，則有平面，則有1111zscz以及以及scscz上式稱為雙線性變換上式稱為雙線性變換(分子、分母均為線性關(guān)系）分子、分母均為線性關(guān)系）C C：用來調(diào)解模擬頻率和數(shù)字頻率之

47、間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：用來調(diào)解模擬頻率和數(shù)字頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（頻率預(yù)畸變，（頻率預(yù)畸變，選擇選擇c通常有兩種方法通常有兩種方法,如下所述如下所述 ）（1 1）在低頻頻率處使模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切）在低頻頻率處使模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系，（即（即 ，條件是低頻時(shí)），條件是低頻時(shí)） 147 1 1tan22TTcc由由令令 有有 122tantan22TTT12cT 1T1)T 可見模擬與數(shù)字頻率相等（利用可見模擬與數(shù)字頻率相等（利用，當(dāng)?shù)皖l時(shí)當(dāng)?shù)皖l時(shí), ,且且）。 s s平面和平面和z z平面的映射關(guān)系（雙線性變換）為平面的映射關(guān)系（雙線性變換）為 1122 12/t

48、an,22/1zTsszTTTsz可見在低頻時(shí)，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的特性很相近可見在低頻時(shí)，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的特性很相近（模擬和數(shù)字頻率近似相等）。（模擬和數(shù)字頻率近似相等）。48T由對(duì)應(yīng)關(guān)系由對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，若希望有，若希望有 CC對(duì)于對(duì)于）（）（22)2tan()2tan(1ccccottanccTc c則有：則有：)2cot(cCc cc cT（2 2）模擬濾波器在某一特定頻率處（）模擬濾波器在某一特定頻率處（ ）和數(shù)字濾波器和數(shù)字濾波器的某一頻率（的某一頻率（ ）有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。即）有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。即 第二種方法選擇第二種方法選擇c c，僅僅保證模擬濾波器特定頻率點(diǎn)，僅僅保證

49、模擬濾波器特定頻率點(diǎn)及其附近頻率與數(shù)字濾波器頻率的某個(gè)頻率對(duì)應(yīng)，而且及其附近頻率與數(shù)字濾波器頻率的某個(gè)頻率對(duì)應(yīng)，而且頻率響應(yīng)完全相等，可以準(zhǔn)確控制截止頻率的位置。但頻率響應(yīng)完全相等，可以準(zhǔn)確控制截止頻率的位置。但在其他點(diǎn)，兩個(gè)平面的頻率呈現(xiàn)非線性關(guān)系。當(dāng)強(qiáng)調(diào)某在其他點(diǎn)，兩個(gè)平面的頻率呈現(xiàn)非線性關(guān)系。當(dāng)強(qiáng)調(diào)某一點(diǎn)及其附件的頻率響應(yīng)時(shí)，用第二種方法。一點(diǎn)及其附件的頻率響應(yīng)時(shí)，用第二種方法。強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：雙線性變換方法消除頻率混疊是以犧牲頻率的雙線性變換方法消除頻率混疊是以犧牲頻率的線性變換關(guān)系為代價(jià)的。線性變換關(guān)系為代價(jià)的。495.4.3 5.4.3 雙線性變換法實(shí)現(xiàn)步驟雙線性變換法實(shí)現(xiàn)步驟)2ta

50、n(c利用雙線性變換法設(shè)計(jì)利用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟如下。數(shù)字低通濾波器的步驟如下。ps、ps、確定數(shù)字低通濾波器指標(biāo)設(shè)計(jì)（兩個(gè)邊界頻率：通帶確定數(shù)字低通濾波器指標(biāo)設(shè)計(jì)（兩個(gè)邊界頻率：通帶和阻帶邊界頻率，分別為和阻帶邊界頻率，分別為 ；兩個(gè)衰減：通帶最兩個(gè)衰減：通帶最大衰減和阻帶最小衰減，分別為大衰減和阻帶最小衰減，分別為數(shù)字低通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)數(shù)字低通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減，利用（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減，利用 轉(zhuǎn)換邊界轉(zhuǎn)換邊界頻率：頻率： ，兩個(gè)衰減保持不變）。兩個(gè)衰減保持不變）。 c css，按照轉(zhuǎn)換過來的技術(shù)指標(biāo)設(shè)

51、計(jì)歸一化模擬低通濾波器按照轉(zhuǎn)換過來的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器（設(shè)計(jì)方法同前），去歸一化得到所要求的實(shí)際的模擬（設(shè)計(jì)方法同前），去歸一化得到所要求的實(shí)際的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)a( )Hs利用雙線性變換公式，將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)利用雙線性變換公式，將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（直接代入雙線性公式，換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（直接代入雙線性公式，參見下式）。參見下式）。50111a1( )( )zs czH zHs一般情況下，一般情況下，c c取取2/2/T T，T T取取1 1（還可以按特定頻率（還可以按特定頻率確定取確定取c c值，即值，即

52、） 雙線性變換法從根本上消除了頻率混疊。雙線性變換法從根本上消除了頻率混疊。c ccot2c采樣周期采樣周期T T可任選，為簡(jiǎn)化取可任選，為簡(jiǎn)化取T T = = 1 1。 ca c( )Hss【例例5-55-5】 已知一階模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為已知一階模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為其中其中 為其為其3dB3dB帶寬。用雙線帶寬。用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并要求其，并要求其3dB帶寬為帶寬為p0.1解：解：1將數(shù)字低通濾波器指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)將數(shù)字低通濾波器指標(biāo)（兩個(gè)邊界頻率和兩個(gè)衰減）轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)：衰減）轉(zhuǎn)換為模擬

53、低通濾波器指標(biāo)： c51利用頻率轉(zhuǎn)換公式利用頻率轉(zhuǎn)換公式 , ,將數(shù)字濾波器將數(shù)字濾波器3dB3dB帶帶寬頻率寬頻率 ,轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的通帶轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的通帶3dB3dB截止頻率截止頻率 ，模擬濾波器的通帶截止頻率為模擬濾波器的通帶截止頻率為cctan2c p p 兩個(gè)衰減兩個(gè)衰減 cctan(/2)ctan(0.1 57.3 0.5)0.1583cc本題對(duì)衰減指標(biāo)沒要求，給出一階模擬低通濾波器的系本題對(duì)衰減指標(biāo)沒要求，給出一階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，因此省略了求一階模擬低通系統(tǒng)函數(shù)的步驟，統(tǒng)函數(shù)，因此省略了求一階模擬低通系統(tǒng)函數(shù)的步驟，確定模擬濾波器的通帶確定模擬濾波器的通帶3dB3

54、dB截止頻率截止頻率 后，直接離散化后，直接離散化. c將將 代入模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中，則有代入模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中，則有 c0.1583c c c0.1584( )0.1584cH sssc522 2利用雙線性變換公式利用雙線性變換公式 將模擬低通濾波器將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 1111zscz111111111110.1584(1)0.1367(1)0.1584( )( )110.1584(1)1 0.72650.15841zs czzzcH zH szzzzccz（注意：已經(jīng)求出的（注意：已經(jīng)求出的 是預(yù)畸變的）。是

55、預(yù)畸變的）。c( )H z3. 求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)（令求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)（令 代入代入 ),則有則有） jezjjjej0.1367(1 e)(e)( )1 0.7265ezHH z4.4.驗(yàn)證指標(biāo)驗(yàn)證指標(biāo)0時(shí)，時(shí)， j201(e)0g H0.1時(shí)，時(shí)， j201g(e)3dBH 滿足設(shè)計(jì)要求。滿足設(shè)計(jì)要求。 53總結(jié)雙線性變換的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)?？偨Y(jié)雙線性變換的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 從根本上避免了頻率混疊現(xiàn)象；從根本上避免了頻率混疊現(xiàn)象； 通過常數(shù)通過常數(shù)c c 的選擇可以預(yù)畸變（可以在低頻或在的選擇可以預(yù)畸變（可以在低頻或在特定頻率點(diǎn)處）；特定頻率點(diǎn)處）； 離散化簡(jiǎn)單，只需將離散化簡(jiǎn)

56、單，只需將 代入模擬低通濾波代入模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中替換器的系統(tǒng)函數(shù)中替換s即可。即可。1111zscz對(duì)于低通、高通、帶通和帶阻濾波器均可離散化對(duì)于低通、高通、帶通和帶阻濾波器均可離散化 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 連續(xù)與數(shù)字頻率之間為非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換后的幅頻連續(xù)與數(shù)字頻率之間為非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換后的幅頻和相頻特性與原模擬濾波器的幅相特性有偏離。和相頻特性與原模擬濾波器的幅相特性有偏離。 545.5 5.5 模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器本節(jié)介紹用頻率域變換法設(shè)計(jì)本節(jié)介紹用頻率域變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器，有兩種方法：濾波器，有兩種方法：數(shù)字頻率數(shù)字頻率數(shù)字頻率變換（

57、簡(jiǎn)稱為數(shù)字域頻率變換數(shù)字頻率變換（簡(jiǎn)稱為數(shù)字域頻率變換模擬頻率模擬頻率模擬頻率變換（模擬域頻率變換或模擬頻率變換（模擬域頻率變換或s域頻率變換法）域頻率變換法）法，或法，或z域頻率變換法）。域頻率變換法）。1 1模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器的基本步驟濾波器的基本步驟 確定的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)，按照某種頻率轉(zhuǎn)確定的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)，按照某種頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系，轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類換關(guān)系，轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型型（低通、高通、（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）的模擬濾波器的性能指標(biāo)（注意：帶通和帶阻濾波器）的模擬濾波器的性能指標(biāo)（注意：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換

58、法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不同的公式）。不同的公式）。55 用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)歸一用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通原型濾波器。化模擬低通原型濾波器。 用頻率域變換轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的用頻率域變換轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的模擬濾波器（高通、帶通和帶阻濾波器）。模擬濾波器（高通、帶通和帶阻濾波器）。 用離散化方法（注意方法適用范圍），將模擬濾波器用離散化方法（注意方法適用范圍），將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)離散化成要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。2數(shù)字域頻率變換法設(shè)計(jì)數(shù)

59、字域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器的基本步驟濾波器的基本步驟 將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為與數(shù)字濾波器同一類將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為與數(shù)字濾波器同一類（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）型的模擬濾波器指標(biāo)（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）型的模擬濾波器指標(biāo)（沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不（沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不同的公式）。同的公式）。56 用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)歸一化用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，設(shè)計(jì)歸一化模擬低通原型濾波器。模擬低通原型濾波器。 用離散化方法（兩種方法選擇其中之一，根據(jù)濾波器的用離散化方法（兩種方法選擇其中之一，根

60、據(jù)濾波器的類型而定），將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字類型而定），將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 用數(shù)字域頻率變換法將數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換用數(shù)字域頻率變換法將數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。成所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。兩種頻率設(shè)計(jì)法的流程以框圖形式給出，如圖兩種頻率設(shè)計(jì)法的流程以框圖形式給出，如圖5-18所示。所示。57圖圖5-18 通過頻率變換法設(shè)計(jì)通過頻率變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器濾波器模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)模擬域頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 用模擬頻率用模擬頻率模擬頻率變換方法設(shè)計(jì)，在模擬