2009年普通高等學(xué)校招生考試四川卷（文數(shù)）

1、2009年高考數(shù)學(xué)試題四川卷（文）全解全析一、選擇題（5×1260分）1、設(shè)集合 ，.則 A. 75 B. 35 C. 5 3 D. 75 【答案】C【解析】 ， 5 3 2、函數(shù)的反函數(shù)是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，又因原函數(shù)的值域是，其反函數(shù)是3、等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.0，解得2，1004、已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 A. 函數(shù)的最小正周期為2 B. 函數(shù)在區(qū)間0，上是增函數(shù) C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線0對(duì)稱(chēng) D. 函數(shù)是奇函數(shù)【答案

2、】D【解析】，A、B、C均正確，故錯(cuò)誤的是D【易錯(cuò)提醒】利用誘導(dǎo)公式時(shí)，出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。5、設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為，其比滿足，這種矩形給人以美感，稱(chēng)為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根據(jù)上述兩個(gè)樣本來(lái)估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是 A. 甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B. 乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C. 兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D. 兩個(gè)批

3、次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定【答案】A【解析】甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613【備考提示】用以上各數(shù)據(jù)與0.618（或0.6）的差進(jìn)行計(jì)算，以減少 計(jì)算量，說(shuō)明多思則少算。6、如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是 A. B. C. 直線 D. 直線所成的角為45°【答案】D【解析】AD與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以也不成立；BCAD平面PAD, 直線也不成立。在中，PAAD2AB，PDA45°. D正確7、已知，為實(shí)數(shù)，且.則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

4、 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】顯然，充分性不成立.又，若和都成立，則同向不等式相加得 即由“”“”8、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上.則· A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【答案】C【解析】由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.·9、如圖，在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，=90°，, 球心O到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是 A. B. C. D.2【答案】B【解析】AC是小圓的直徑。所以過(guò)球心O作小圓的垂線，垂足O是AC

5、的中點(diǎn)。 OC，AC3，BC3，即BCOBOC。 ，則兩點(diǎn)的球面距離10、某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元【答案】D（3，4）（0，6）O（，0）913【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸 3 則有： 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的

6、坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知： 當(dāng)3，5時(shí)可獲得最大利潤(rùn)為27萬(wàn)元，故選D11、2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有6×212種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有12

7、15;448種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類(lèi)情況：第一類(lèi)：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類(lèi)：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有12種排法第三類(lèi)：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時(shí)共有12種排法 三類(lèi)之和為24121248種。12、已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有 ，則的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A【解析】若0，則有，取，則

8、有： （是偶函數(shù)，則 ）由此得于是，2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（文史類(lèi)）第卷考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上書(shū)寫(xiě)作答無(wú)效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上13.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 .【答案】2【解析】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是214.的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】20【解析】，令，得 故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為15.如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c

9、.o.m 【答案】90°【解析】作BC的中點(diǎn)N，連接AN，則AN平面BCC1B1， 連接B1N，則B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即異面直線所成的角的大小是90°16設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。若映射滿足：對(duì)所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱(chēng)為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線性變換，則 若是平面上的單位向量，對(duì)，則是平面上的線性變換； 對(duì)，則是平面上的線性變換； 設(shè)是平面上的線性變換，則對(duì)任意實(shí)數(shù)均有。其中的真命題是 （寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）【答案】【解析】：令，則故是真命題 同理，：令，則故是真命題 ：，則有 是線

10、性變換，故是真命題 ：由，則有 是單位向量，0，故是假命題【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對(duì)應(yīng)及高等數(shù)學(xué)線性變換的相關(guān)知識(shí)，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力，具有選拔性質(zhì)。三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17. （本小題滿分12分）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。【解析】（I）為銳角， 6分（II）由（I）知， 由得，即又 12分18. （本小題滿分12分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱(chēng)金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱(chēng)銀卡）。

11、某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；（II）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率.【解析】I）由題意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡.設(shè)事件A為“采訪該團(tuán)2人,恰有1人持銀卡”,則 所以采訪該團(tuán)2人，恰有1人持銀卡的概率是. 6分（II）設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)2人,持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”,可以分為：事件B1為“采訪該團(tuán)2人,持金卡0人，持銀卡

12、0人”,或事件B2為“采訪該團(tuán)2人,持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況，則所以采訪該團(tuán)2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是. 12分19（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （III）求二面角的大小。【解析】解法一：因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因?yàn)锳BE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因?yàn)锳EF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因?yàn)锽C平面ABCD,

13、BE平面BCE,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi), PM平面BCE. 8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長(zhǎng)線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45°,BG=A

14、B+AG=1+=, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在RtFGH中, , 二面角的大小為 12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則，從而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，于是， , 平面，平面， （II），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故二面角的大小為20（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是

15、。（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.【解析】（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即又，由已知得聯(lián)立，解得.所以函數(shù)的解析式為 4分（II）因?yàn)榱町?dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得.當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無(wú)極值當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值； 12分21. （本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（I

16、I）過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程?！窘馕觥浚↖）由已知得，解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所求橢圓的方程為 4分（II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得 ， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 化簡(jiǎn)得解得 所求直線的方程為 12分22. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】