第3章線性定常系統(tǒng)的線性變換

1、 線性定常系統(tǒng)的線性變換第三章 本章介紹常用的線性變換方法，以及非奇異線性變換的一些不變特性。3.1 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 在前面學(xué)習(xí)建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程時(shí)已經(jīng)看到，選取不同的狀態(tài)變量，可以得到不同形式的動(dòng)態(tài)方程。若兩組狀態(tài)變量之間用一個(gè)非奇異矩陣聯(lián)系著，則兩組動(dòng)態(tài)方程的矩陣與該非奇異矩陣有確定關(guān)系。 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為)2053(,cxybuAxx 令)2063(xPx式中，P為非奇異線性變換矩陣，變換后的動(dòng)態(tài)方程為)2073(,xcyubxAx式中)2083(,11cPcbPbAPPA并稱(chēng)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行P變換。線性變換的目的目的：揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。線性變換的影響影響

2、：不改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)。v幾種常用的線性變換關(guān)系幾種常用的線性變換關(guān)系1 1 化化A A陣為對(duì)角陣陣為對(duì)角陣 設(shè)A陣為任意方陣。且有n n個(gè)互異實(shí)特征值個(gè)互異實(shí)特征值 1，2，n，則可由非奇異線性變換化為對(duì)角陣。)2093(211nAPPP陣由A陣的實(shí)數(shù)特征向量 pi(i=1,2,n) 組成npppP21特征向量滿(mǎn)足nipApiii, 2 , 1;212)-(3 1111P ,100001000010A 113121 -n12n232221n3211210nnnnnaaaa 設(shè)A陣具有m重實(shí)數(shù)特征值1，其余為(n - m)個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值。在求解Api = 1pi (i=1,2,m) 時(shí)仍有m

3、個(gè)獨(dú)立特征向量p1, p2, , pm，仍然可使A陣化為對(duì)角陣。 若A為友矩陣，且有n個(gè)互異實(shí)特征值1，2，n，則下列的范德蒙特矩陣P可使A對(duì)角化：)2143(213)-(300 1211111nmmnmpppppPAPP式中， pm+1, pm+2, , pn為互異實(shí)數(shù)特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。 設(shè)A陣具有m重實(shí)特征值 1，其余為 n-m 個(gè)互異實(shí)特征值，但在求解Api = 1pi (i=1,2,m) 時(shí)只有一個(gè)實(shí)特征向量p1，則只能使A化為約當(dāng)陣J。2 2 化化A陣為約當(dāng)型陣為約當(dāng)型)2163()2153(010112111111nmmnmpppppPAPPJJ中虛線表示存在一個(gè)約當(dāng)塊。式中

4、 p2, p3, , pm為廣義實(shí)特征向量，滿(mǎn)足 若A陣為友矩陣，具有m重實(shí)特征值 1，且只有一個(gè)實(shí)特征向量p1，則使A約當(dāng)化的P陣為J中虛線表示存在一個(gè)約當(dāng)塊。式中 p2, p3, , pm為廣義實(shí)特征向量，滿(mǎn)足)2173(112111121mmpppAppp pm+1, pm+2, , pn是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。)2193(1)2183(112111111112112111TnnmmmpppppppP式中 設(shè)A陣具有五重實(shí)特征值 1，且只有兩個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量p1, p2, 其余為n-5個(gè)互異時(shí)特征值，A陣約當(dāng)化的可能形式如下，式中，J中虛線表示存在兩個(gè)約當(dāng)塊。)2213()2203

5、(111612221121116111111nnpppppppPAPPJ3 3 化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型 已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型為)2223(10001000010000101211210121uxxxxaaaaxxxxnnnnn與之相對(duì)應(yīng)的可控性矩陣S為S是一個(gè)右下三角形，主對(duì)角線元素均為1，故 detS0，系統(tǒng)一定可控系統(tǒng)一定可控。)2233(11010010001000021111nnnnnaaaabAAbbS 任何一個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng)A，b 不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，一定可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 已知可控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)2243(buAxx 進(jìn)

6、行P-1 變換，即令)2253(1zPx變換為)2263(1PbuzPAPz 要求)2273(1000,10000100001012101PbaaaaPAPn ？ 如何確定變換矩陣P 推導(dǎo)變換矩陣P：)2283(21TTnTTpppPP應(yīng)該滿(mǎn)足式（3-227），有展開(kāi)得)2293(1000010000101211210121nnnnnppppaaaaApppp 假設(shè)變換矩陣P為nnnnnpapapaAppAppAppAp1211013221整理后得由此可得變換矩陣PnnnnpApAppApAppAp111321221)2303(111121nnApApppppP又根據(jù)b陣變換要求，P應(yīng)該滿(mǎn)足式

7、（3-227），有)2313(1001111bApAppPbn即 計(jì)算可控性矩陣Sb Ab An-1b ; 計(jì)算可控性矩陣的逆陣S-1, 設(shè)一般形式為故)2323(10011bAAbbpn上式表明，p1是可控矩陣的逆陣的最后一行。因此可得出變換矩陣P-1的求法：)2333(100111bAAbbpn 取出 S-1的最后一行，構(gòu)成p1行向量)2343(2122221112111nnnnnnSSSSSSSSSS 構(gòu)造P陣)2353(211nnnnSSSp P-1便是講非標(biāo)準(zhǔn)型可控系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣)2363(1111nApAppP3.2 3.2 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 對(duì)偶原理可使系統(tǒng)的研究更

8、加方便。 設(shè)系統(tǒng)為S1(A,B,C)，則系統(tǒng) S2(AT,CT,BT)為系統(tǒng)S1的對(duì)偶系統(tǒng)。特征方程分別為：)2383(,:)2373(,:21zBwvCzAzSCxyBuAxxSTTT 系統(tǒng)與對(duì)偶系統(tǒng)之間，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。S1與S2互為對(duì)偶系統(tǒng)。 特點(diǎn)： S1的可控性矩陣與S2的可觀測(cè)性矩陣完全相同。 S1的可觀測(cè)性矩陣與S2的可控性矩陣完全相同。 TTnTTTTTTTTnBABABBAABB)()()()()(11 TnTTTTTnTTTTCACACCACAC11)()( 可把可觀測(cè)的SISO系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將其對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題。利用已知的化可

9、控標(biāo)準(zhǔn)型的原理和步驟，獲得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：利用已知的化可控標(biāo)準(zhǔn)型的原理和步驟，獲得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：)2433()(1nTTnTTnTnAvAvvP 列出對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣（即原系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣 V2）)2413()(12TnTTTTcAcAcV 求V2的逆陣V2-1，且記為行向量組)2423(2112TnTTvvvV 取V2-1的第n行nT，并按下列規(guī)則構(gòu)造變換矩陣P 求P-1，引入P-1變換nnnnTvAAvvP1 對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)再利用對(duì)偶原理，便可獲得原系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)果為)2463()()2453()()(11xcPxPcybuPxAPPuPbxPPAxTTTTTTTTTT

10、與原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程相比較，可知將原系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型需要進(jìn)行PT變換，即令其中，)2443(,111zPbwvPczPPAzzPzTTT)2473( xPxTn為原系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣的逆陣中第n行的轉(zhuǎn)置。3.3 3.3 非奇異線性變換的不變性非奇異線性變換的不變性1 1 變換后系統(tǒng)特征值不變變換后系統(tǒng)特征值不變 變換后系統(tǒng)的特征值為AIAIIAIPPAIPPPAIPPAIPAPPPPAPPPPAPPI111111111)(令線性變換線性變換后的動(dòng)態(tài)方程為xPx 系統(tǒng)變換后與變換前的特征值完全相同。 ? 非奇異線性變換后，系統(tǒng)的固有特性是否會(huì)改變 ？系統(tǒng)特征值； ？系統(tǒng)傳遞矩陣； ？系統(tǒng)可控、可觀

11、測(cè)性； 設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為DuCxyBuAxx,DuxCPyyBuPxAPPx,112 變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變3 3 變換后系統(tǒng)可控性不變變換后系統(tǒng)可控性不變 變換后系統(tǒng)可控性矩陣的秩為系統(tǒng)變換后，可控性矩陣的秩相同，系統(tǒng)的可控性不變。 變換后系統(tǒng)的傳遞矩陣為 變換前后系統(tǒng)的傳遞矩陣完全相同。DBAsICDBPPAsICPPDBPPAsIPCPDBPAPPsIPPCPDBPAPPsICPsG11111111111111)()()()()()( rankSBABAABBrankBABAABBrankPBAPBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPAPPBPrankr

12、ankSnnnn12121112111111121111)()()(4 變換后系統(tǒng)可觀測(cè)性不變變換后系統(tǒng)可觀測(cè)性不變變換前后系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣的秩相等，故系統(tǒng)的可觀測(cè)性不變。 變換后系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為V，變換前系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為V，則rankVCACACACrankCACACACrankPCAPCAPCAPCPrankCPAPPCPAPPCPAPPCPrankrankVTTnTTTTTTTnTTTTTTTTnTTTTTTTTTTTnTTTTT)()()()()()()()()()()()()(121212112113.4 3.4 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解v定義、意義、方

13、法和過(guò)程定義、意義、方法和過(guò)程定義定義：從可控性、可觀測(cè)性出發(fā)，狀態(tài)可分解成可控可觀測(cè) cox、可控不可觀測(cè) ocx、不可控可觀測(cè) ocx、不可控不可觀測(cè) ocx四類(lèi)，由 對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分為四類(lèi)，把系統(tǒng)也隨應(yīng)分成四類(lèi)系統(tǒng)子系統(tǒng)，稱(chēng)為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。 意義意義：研究規(guī)范系統(tǒng)分解能更明顯地揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性、傳遞特性，并 與穩(wěn)定性分析、反饋校正等密切相關(guān)。方法：方法：選取一種特殊的線性變換，使原來(lái)的狀態(tài)向量x變換成 TTocTocTocTcoxxxx，相應(yīng)地使原動(dòng)態(tài)方程中的A、B、C矩陣變換成某種標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的形式。過(guò)程：過(guò)程：可以先從整個(gè)系統(tǒng)的可控性分解開(kāi)始，將可控、不可控的狀態(tài)變

14、量分離開(kāi)，繼而分別對(duì)可控。不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解，便可以分離出四類(lèi)狀態(tài)變量及四類(lèi)子系統(tǒng)。1 系統(tǒng)按可控性分解系統(tǒng)按可控性分解設(shè)不可控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為)2493(,CxyBuAxx 系統(tǒng)可控性矩陣的秩為r（r n），從可控性矩陣中選出r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量 s1,s2,sr，另外再任意選取盡可能簡(jiǎn)單的（nr）個(gè)列向量sr+1,sr+2,sn，使它們與 s1,s2,sr 線性無(wú)關(guān)，這樣就可以構(gòu)成 （nn）非奇異變換矩陣 nrrsssssP1211對(duì)式（3249）進(jìn)行非奇異線性變換，)2513(,11ccccccxxCPyPBuxxPAPxx式中 cx為r維可控狀態(tài)子向量， cx為（n-r）維不可

15、控狀態(tài)子向量，且 式（3249）便變成下列的規(guī)范表達(dá)式 )2503(1ccxxPx展開(kāi)式（3251），有列列行列列列行行行行)(211)()(1)(2212111)2523(0,0rnrqprnrrnrrnrCCCPBPBAAAPAPcccccccxCxCyxAxuBxAxAx212211211將輸出量進(jìn)行分解，可得可控子系統(tǒng)、不可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程分別為：可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 )2533(,1111211ccccxCyuBxAxAx )2543(,2222cccxCyxAx 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的可控性規(guī)范分解具有下列特點(diǎn)： 由于)2563()(0)(0)()()(0000)()()(

16、)2553(rank000rank)()()(rankrank111111122122121111112111221211211122121121111111111111111111111111BAsICBAsIAsIAAsIAsICCBAsIAAsICCBAAAsICCPBPAPsICPBAsICrBABABBABABPBPAPPBPAPPBBAABBnnnn 設(shè)一個(gè)可控性規(guī)范分解系統(tǒng)為但是，不可控子系統(tǒng) 對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響依然存在不可忽視，如要求 22A僅含穩(wěn)定特征值，以保證整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且應(yīng)考慮可控子系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng) )(txc及系統(tǒng)輸出響應(yīng)y（t）均與 cx有關(guān)。 由于選取非奇異變換陣P

17、-1的列向量s1,s2,sr，及sr+1,sr+2,sn，的非唯一性，雖然可控性規(guī)范分解的形式相同，但諸系數(shù)陣不相同，故可控性規(guī)范分解不是惟一的。)2573(,0,0211221211CCCBBAAAA),(1111CBA因而r維系統(tǒng) 是可控的，并且與(A, B, C)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。如果從傳遞函數(shù)的角度分析系統(tǒng)(A, B, C)時(shí)，可以等價(jià)地用分析子系統(tǒng) 來(lái)代替，由于后者維數(shù)已經(jīng)降低，可能會(huì)使分析變得簡(jiǎn)單。),(1111CBA 輸入u只能通過(guò)可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不可控子系統(tǒng)無(wú)關(guān)，故u至y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部分的特征。 設(shè)另一個(gè)可控性規(guī)范分解系統(tǒng)為)2603()

18、det()det()det(2211AsIAsIAsIrBABABBABABBABABBAABBBABABBABABBABABrAACCCBBAAAArnnnnnr111111111111111111111111111111111111111211221211rankrankrankrankrankrankrank)2583(,0,0，這是因?yàn)榈碾A數(shù)均為與則 由于故振型。的不可控因子或不可控稱(chēng)為系統(tǒng)；的可控因子或可控振型稱(chēng)為系統(tǒng)又決定。的特征值的穩(wěn)定性完全由決定；的特征值的穩(wěn)定性完全由),(,.,),(,.,.,.,1211222111CBACBAAxAxnrrnrcrc 線性定常系統(tǒng)完全可控

19、的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)非奇異線性變換不能化成（3-251）的形式。對(duì)于維數(shù)較大系統(tǒng)的可控性判別，這是一種好方法。例例332 已知系統(tǒng)（A，b，c）如下，試按可控性進(jìn)行分解。111,100,341010121cbA解解 計(jì)算可控性矩陣的秩 328310004102nrankbAAbbrank故不可控。從中選出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)列，附加任意列向量 T010構(gòu)成非奇異變換矩陣 1P。并計(jì)算變換后的各矩陣 010001103,0311000101PP續(xù)121,001,10024124011cPPbPAP可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 ccccxyuxxx21,012241401不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 cccxyxx2

20、,2 系統(tǒng)按可觀測(cè)性分解系統(tǒng)按可觀測(cè)性分解觀測(cè)矩陣的秩為l（ln），在V中任意選取l 個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量t1,t2,tl，此外再選取 n-l 個(gè)與之線性無(wú)關(guān)的行向量 tl+1,tn，構(gòu)成非奇異線性變換陣設(shè)不可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，其可觀測(cè)矩陣的秩為l（ln）)2613(,CxyBuAxx 系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣1nCACACV)2623(1nllttttT 對(duì)式（3-261）進(jìn)行非奇異線性變換ooxxTx1式中，xo為l維可觀測(cè)狀態(tài)子向量， ox為（nl）維不可觀測(cè)狀態(tài)子向量 行行)(02221111lnlAAATAT行行)(21lnlBBTBl列 (n-l)列 p列（3265） 011CCTq行

21、l列 (n-l)列 可得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按可觀測(cè)性分解的規(guī)范表達(dá)式)2643(,11ooooooxxCTyTBuxxTATxx展開(kāi)式（3265），有ooooooxCyuBxAxAxuBxAx122221111可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 yxCyuBxAxooo11111,不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 0,222221yuBxAxAxooo例例3-34 試將例332所示系統(tǒng)按可觀測(cè)性進(jìn)行分解解解 計(jì)算 可觀測(cè)性矩陣的秩 32rank4742321112nVcAcAcV故不可觀測(cè)，從中選出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的行，附加任意一行，構(gòu)成非奇異變換矩陣T并計(jì)算變換后各矩陣 100232111T235032010,1000121

22、1311TATT001,1211cTTbT可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為yxyuxxooo01,2132101不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 0,2352yuxxxooo3 3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解（按可控性、可觀測(cè)性分解）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解（按可控性、可觀測(cè)性分解）先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解，即引入狀態(tài)變換 )2699(1cccxxTx式中 1cT基于系統(tǒng)可控性矩陣來(lái)構(gòu)造。繼而對(duì)可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解，即引入狀態(tài)變換)2703(01111ocococcoooccoocxxxxTxxTx其To1基于可控子系統(tǒng)得可觀測(cè)性矩陣來(lái)構(gòu)造。最后對(duì)不可控子系統(tǒng)進(jìn)行觀測(cè)性分解，即引入狀態(tài)變換 )2712(01212ococ

23、occooocococxxxxTxxTx設(shè)不可控、不可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，)2683(,CxyBuAxx 其To2基于不可控子系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣來(lái)構(gòu)造。綜合上面三次狀態(tài)變換，有下列狀態(tài)變換關(guān)系ocococcoocococcocxxxxTxxxxTTTx1102101100當(dāng)系統(tǒng)（A、B、C）引入該 T-1 變換后，能將系統(tǒng)變換為下列規(guī)范構(gòu)造形式 ocococcoocococcoocococcoxxxxCCyyyyuBBxxxxAAAAAAAAAxxxx00,00000000031432121444333242322211311展開(kāi)上式可得可控、可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 cooccocoxCyu

24、BxAxAx1111311,可控、不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 0,2224232221yuBxAxAxAxAxocococcooc不可控、可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 ocococxCyxAx333,不可控、不可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 0,44443yxAxAxocococ系統(tǒng)的特征值由 44332211,AAAA矩陣的特征值集合而成。系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣)()(00)(00000000000)(0000000000000)(11111111131211113121144433324232221131131sGBAsICBAsICCBBAsICCBBAsIAAsIAAAsIAAAsICCsGco傳遞函數(shù)矩陣僅描述可控、可觀測(cè)子系統(tǒng)的特性。是對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一種不完全描述。 只有當(dāng)系統(tǒng)可控且可觀測(cè)時(shí)，輸入-輸出描述才足以表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，即描述是完全的。例例3-353-35 設(shè)不可控且不可觀測(cè)定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為下式，試將系統(tǒng)按可控性或可觀測(cè)性分解為