函數(shù)連續(xù)性和間斷點

1、一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內有定義內有定義在在設函數(shù)設函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在)(0 xU 內有定義內有定義, ,如如果當自變量的增量果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函對應的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)

2、()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. .,0 xxx 設設),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定義定義 2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在)(0 xU 內有定義內有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限存在時的極限存在, ,且等于它在且等于它在點點0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù). .:定義定義 .)()(, 0, 000

3、xfxfxx恒有恒有時時使當使當例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側連續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內內有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內內

4、有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱

5、稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點點內內連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內是連續(xù)的內是連續(xù)的有理函數(shù)在區(qū)間有理函數(shù)在區(qū)間二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷

6、或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf下面我們根據連續(xù)的本質下面我們根據連續(xù)的本質“極限極限”來區(qū)來區(qū)分分 間斷點的類別間斷點的類別1.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2

7、)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy1122.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討

8、論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例7 7.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在

9、討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. , 0, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內每一點處都間斷內每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點斷點. ,)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點處處間斷其余各點處處

10、間斷.例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a三、小結三、小結1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮

11、型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxx

12、x)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)一一、 填填空空題題：1 1、 指指出出23122 xxxy 在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點；在在2 x是是第第_ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點 . .2 2、 指指出出)1(22 xxxxy在在0 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點；在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點；在在1 x是是第第_ _ _ _

13、 _ _類類間間斷斷點點 . .二二、 研研究究函函數(shù)數(shù) 1, 11,)(xxxxf的的連連續(xù)續(xù)性性，并并畫畫出出函函數(shù)數(shù) 的的圖圖形形 . .練練 習習 題題三三、 指指出出下下列列函函數(shù)數(shù)在在指指定定范范圍圍內內的的間間斷斷點點，并并說說明明這這些些間間斷斷點點的的類類型型，如如果果是是可可去去間間斷斷點點，則則補補充充或或改改變變函函數(shù)數(shù)的的定定義義使使它它連連續(xù)續(xù) . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四四、 討討論論函函數(shù)數(shù) nnnxxxf2211lim)( 的的連連續(xù)續(xù)性性，若若有有間間斷斷點點

14、，判判斷斷其其類類型型 . .五五、試試確確定定ba,的的值值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有有無無窮窮間間斷斷點點0 x； （2 2）有有可可去去間間斷斷點點1 x . .一、一、1 1、一類、一類, ,二類；二類； 2 2、一類、一類, ,一類一類, ,二類二類. .二、二、,), 1()1,()(內內連連續(xù)續(xù)與與在在 xf1 x為跳躍間為跳躍間 斷點斷點. .三、三、1 1、1 x為第一類間斷點；為第一類間斷點； 2 2、,2為可去間斷點為可去間斷點 kx )0( kkx為第二類間斷點為第二類間斷點. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,練習題答案練習題答案), 2, 1, 0(2, 02,tan)(2 kkxkkxxxxf. .四、四、 1,0, 01,)(xxxxxxf1 x