#等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)和公式以和數(shù)列的求和方法

1、等差、等比的公式性質(zhì)以及數(shù)列的求和方法第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)1、等差數(shù)列的定義：對于一個(gè)數(shù)列，如果它的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差為一個(gè)定值，則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，記：anan=d（d為公差）（n_2，nN*）注：下面所有涉及n,N*省略，你懂的。2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an=ai（n-1）d，ai為首項(xiàng)，d為公差推廣公式：an二am（nm）d變形推廣：d=anamnm3、等差中項(xiàng)（1）如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即：A二口或2A二ab2（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列，是等差數(shù)列：=2an=an-1an1(n-2)：=2an1anan24、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn二n(a

2、a.)2n(n-1)2rl1=_n2d）n=An2Bn22（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)dz0時(shí)，S是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，an1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)S2n廠2n1：a2n1二2n1an1（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5、等差數(shù)列的判定方法(1) 定義法：若an_anJ=d或anad(常數(shù)nN)二aj是等差數(shù)列.(2) 等差中項(xiàng)：數(shù)列ai是等差數(shù)列=2aan-iani(n一2)=2a.ia.2(3) 數(shù)列；aj是等差數(shù)列二an=knb(其中k,b是常數(shù))。(4) 數(shù)列是等差數(shù)列二&二An2Bn,(其中A、E是常數(shù))。6、

3、等差數(shù)列的證明方法定義法：若aan-d或an.i_an=：d(常數(shù)nN”)=況？是等差數(shù)列.7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：(1) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：ai、d、n、an及Sn，其中ai、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。(2) 設(shè)項(xiàng)技巧： 一般可設(shè)通項(xiàng)an=a1(n-1)d 奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a-2d,a-d,a,ad,a2d(公差為d)； 偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a-3d,d,ad,a3d,-(注意；公差為2d)&等差數(shù)列的性質(zhì)：(1) 當(dāng)公差d=0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a(n-1)d=dny-d是關(guān)于n

4、的一次函數(shù)，且斜率為公差d;前n和&二naidn2(印-d)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為2220。(2) 若公差d0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0，則為常數(shù)列。(3) 當(dāng)mn=pq時(shí)，則有ama二ap-aq，特別地，當(dāng)mn=2p時(shí)，則有am+an=2ap。(注：印+a.=a?+可二=玄3十a(chǎn)n-=，)當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)都是可以的，但要保證等號(hào)兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。(4) aj、血？為等差數(shù)列，則也？都為等差數(shù)列(5) 若g是等差數(shù)列，則&忌-&鳥七.,也成等差數(shù)列(6)數(shù)列an為等差數(shù)列，每隔k(kN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,a

5、mk,am2k,am3k,)仍為等差數(shù)列n?、bn的前n和分別為A、Bn，則咅二諏bnB2n(7) 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sm=n，前m項(xiàng)和Sn=m，則前m+n項(xiàng)和Sm-mn，當(dāng)然也有a*=m,am=n，則am.n=0(9)求Sn的最值法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN*。法二：(1)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和aa0.即當(dāng)務(wù)>0,d",由月一0可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.陽W0(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。a<0即當(dāng)印<0,d>0,

6、由弘一0可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.陽啟0或求匕：中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時(shí)，Sn取最大值(或最小值)。若Sp=Sq則其對稱軸為n=丄72注意：SSn4=an(n一2),對于任何數(shù)列都適用，但求通項(xiàng)時(shí)記住討論當(dāng)n=1的情況。解決等差數(shù)列問題時(shí)，通?？紤]兩類方法： 基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； 巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量。（以上加上藍(lán)色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用）第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)1、等比數(shù)列的定義：丑二q

7、q=0n_2，q為公比anA2、通項(xiàng)公式：an=aiqn'，ai為首項(xiàng)，q為公比推廣公式:n_man=amq，從而得n-manqam3、等比中項(xiàng)（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即：A2=ab或A=.ab注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列是等比數(shù)列二an2am4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn二nai（2）當(dāng)q=1時(shí)，si=aL=aq1-q1-q色乩qn=A-ABn=A'Bn-A'（A,B,A',B'為常數(shù)）1-q1-q5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定

8、義:對任意的n,都有an廠qan或乩二q（q為常數(shù)，務(wù)=0）二®an為等比數(shù)列(2) 等比中項(xiàng)：an2二anian(anian=O)=an為等比數(shù)列(3) 通項(xiàng)公式：an二ABnAB=O=®為等比數(shù)列(4) 前n項(xiàng)和公式：Sn二AAB&二A'BnA'A,B,A',B'為常數(shù)=an為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若二qq=Oin_2,且nN*或an.勺=qan=an為等比數(shù)列anJ7、等比數(shù)列相關(guān)技巧：(1) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：ai、q、n、an及&，其中ai、q稱作為基本元素。只要已知

9、這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。(2) 為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)：nA.an二a1q如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，篤,a,a,aq,aq2(公比為q，中間項(xiàng)qq用a表示)；注意隱含條件公比q的正負(fù)8等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)q-1時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式anpqn色qn=ABnAB=O是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q 前n項(xiàng)和s=aaJq引生qn=A-ABn=A'Bn-A'，系1-q1-q1-q1-q數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q對任何m,nN*,在等比數(shù)列an中，有aamqnjm,特別的，當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)

10、列的通項(xiàng)公式。因此，此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性(3)若mn=st(m,n,s,tN*)，則anaasat。特別的，當(dāng)mn=2k時(shí),得anam=ak'注:ai3n-a2=a3an_2列an,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列,kan,a/,kanbn色(k為anbn非零常數(shù))均為等比數(shù)列。(5) 數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(kN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,amk,am2k,am3k,)仍為等比數(shù)列如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列(6) 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，S2n-Sn，務(wù)-S?.,，成等比數(shù)列當(dāng)0<q:1時(shí),當(dāng)0<q:1時(shí),(7) 若an為等

11、比數(shù)列，則數(shù)列aia?務(wù)，a.16a?n,a?n1a?n2a3n成等比數(shù)列(9)當(dāng)q1時(shí),可0,貝an為遞增數(shù)列a：0，貝貝an為遞減數(shù)列,aO則an為遞減數(shù)列q：0,則an為遞增數(shù)列 當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列)； 當(dāng)q<0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列。(10) 在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)時(shí)，魚二1,。S偶q若an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn.m二SnqnSm注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時(shí)，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比q=1的特殊情況。解決等比數(shù)列問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程；巧妙運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化

12、繁為簡,減少運(yùn)算量。關(guān)于等差、等比兩個(gè)引申：an=kanJL+b模式（其中k,b為常數(shù)，n2）；an=panpn模式（其中p為常數(shù)，n2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：例1已知數(shù)列l(wèi)aj，有an=3an+4（n2），則求該數(shù)列的通項(xiàng)公式解題大致思路：先設(shè)an-b=3（an-b），則對于an=3an4-an2=3（an-2），那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列an2為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別是多少？還有你考慮到當(dāng)n=1的這種情況了嗎？例2已知數(shù)列bn，有bn=2bnA+2n（n32），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式解題的大致思路：bn=2bn+2n（nX2）二昴

13、=號(hào)嚴(yán)+1二加霽+1，相信你已經(jīng)知道構(gòu)造什么數(shù)列了吧，這兩個(gè)模式考試中喜歡考，也比較基礎(chǔ)，當(dāng)然也希望通過這兩個(gè)模式能讓你意識(shí)到求數(shù)列中的構(gòu)造思想。第三節(jié)：數(shù)列的求和方法（引用別人的，稍加改進(jìn)）三、教學(xué)過程：一、教學(xué)目標(biāo)：1、熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；算；2、能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)仃求和運(yùn)3、熟記一些常用的數(shù)列的和的公式.一、教學(xué)重點(diǎn)：特殊數(shù)列求和的方法.（一）主要知識(shí)：1、直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：Sn也二門ar®1）d22na,q=1)（2）等比數(shù)列的求和公式（2）等比數(shù)列的求和公式（切記：公比

14、含參數(shù)時(shí)一定要討論）2、公式法:n'k2=12232IIIn2n(1)(2i1）（證明利用立方差公式,(n-n=3n23n1，將n用1,2,3川n替換，錯(cuò)位相消即可整體得出)n-33_3_33二.k123nkJn-33_3_33二.k123nkJ(證明利用4方差，原理同上)1111、n(n2)一2(丁n2)110(10n-1)=9n10n1-9n-10813、錯(cuò)位相減法：比如：an等差，況”等比，求a©a2b2亠亠a.bn的和.4、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見拆項(xiàng)公式：-n(n+1)nn+11111Sn=(x2$2)(x()nn!=(n1

15、)!n!Sn=(x2$2)(x()nn!=(n1)!n!(2n1)(2n1)22n-12n1分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。合并求和法：如求1002-992，982-97222-12的和。倒序相加法：如求sin21：飛巾22匚sin23川川，sin289"的和。其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等等(二) 主要方法：1、求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、求和過程中注意分類討論思想的運(yùn)用；3、轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；(三) 例題分析：例1.求和：Sn=1+11+111+11二1n個(gè)12212n2 Sn=(X-)(X-2)(X-n)XXX

16、 求數(shù)列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,前n項(xiàng)和Sn思路分析：通過分組，直接用公式求和。1解：ak=1T1二1101010k(10k-1)k個(gè)911Sn(10-1)(102一1廠(10n-1)(101010n)n99+2)(x2n4?2)XXX111=(X2x2n)(-2-4r)2nXXX2n2n-2',c(x-1)(x22n茹廠x，-1X2n(x2_1)2/2n2/2nx2-1(1)當(dāng)X時(shí)，&=x(x-1)x(x“)(2)當(dāng)x二_1時(shí),Sn=4nak=(2k-1)2k(2k1)(2k-1)(k一1)=kg")(3k_2)=§r2kn(n1)(2n

17、1)63n(n1)22222Sn“1-a2e-2n=Sn“1-a2e-2n=(1222川川n2)_3(12卷卷n)=52221n(n-1)(5n-2)6總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q=1或q=1討論。2、錯(cuò)位相減法求和例2.已知數(shù)列1,3a,5a2,，(2n_1)an(a=0)，求前n項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1,3,5，2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2，an，對應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。解：Sn=13a5a2(2n-1)a11aSn二a3a25a3川川，(2n-1)an21一2:(1a)Sn=12a2a22a3川川2an一(2n-1)ana=1時(shí),(1-a)Sn

18、=12a(1a)(1-a)2-(2n-1)n(1-a)2當(dāng)a=1時(shí),Sn二n2g1a-(2n1)an(2n-1)an1(2n)23、裂項(xiàng)相消法求和例3.求和Sn2例3.求和Sn24L.1335(2n-1)(2n1)思路分析：分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和解ak(2k)2(2k)2-1+1十(2k-1)(2k1)(2k-1)(2k1)(2k_1)(2k1)2'2k-12k1)Sna2an=n丄(1一丄)(丄一丄)(1-)n丄(1-2n(n923352n12n122n12n1n(n1)n(n1)練習(xí)：求sn二1g2.呂aaaa答案:(aJ2a(a“)(a-1)24、倒序相加法求和思路分析：由c

19、m=Cnn可用倒序相加法求和。例4求證：C：+3C：+5C：+(2n+1)C：=(n+1)2n證：令SC0-3cn-5Cn-(2n1)C；(1)則Sn=(2n+1)C；+(2n_1)匚+5C：+3C：+C0(2)丁cn°=C：.(1)(2)有:2Sn=(2n2)C0(2n2)C：(2n2)C：(2n2)C：&=(n1)C0V：C：-C：=(n1)2n等式成立5、其它求和方法還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5已知數(shù)列£n】an=-2n-(-1)n,求Sn。思路分析：an=-2n-2(-1)n，通過分組，對n分奇偶討論求和。2m解：an二一2n2(-1)n，若n=

20、2m,則Sn二S2m=2(1232m)2、(-1)kSn-2(123川汕2m)一-(2m1)2m-n(n1)若n=2m-1,則Sn=S2m二二S2ma2m二-(2m1)2m-22m-(-1)2m=-(2m1)2m2(2m-1)=-4m22m-2二-(n1)2(n1)-2二-n2-n-2'-n(n+1)(n為正偶數(shù))二Sn=丿o-n-2(n為正奇數(shù))預(yù)備：已知f(x)二a1Xa2X2anXn,且a1,a2,a3/an成等差數(shù)列，n為正偶數(shù),21又f(1)=n2,f(-1)=n，試比較f(-)與3的大小。2解:廠x/八2f(1)=ai十a(chǎn)2十a(chǎn)3+八十a(chǎn)n=uf(_1)=一印+a2_a3+

21、_an二+an=-佝+an)n2-d2d=21n23nf(x)=x3x5x(2n-1)x1f（2）.21匕3(2)%)-(2n1)(£)n2可求得1）=3-（1嚴(yán)-（2n-1）（1）n,222（四）鞏固練習(xí)：1.求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn:55,555,5555,，5（10n-1），;9<3(1)5,1(2)-13(3)an.n、n113,24,35川I,n(n2),|丨;(4)a,2a2,3a3,|l(,nan,川；(5)sin21sin22sin23“川sin289.U個(gè)5解:(1)Sn=555555川55川5(999999川99"95(10-1)(102-1)(103一1)川(10-1)9=510102103川10n-n二50。-1)-5n.9819/c、1111(2)(-n(n+2)2n11-Snn2