第二章 章末復(fù)習(xí)提升

1、一、選擇題1.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從A市以v km/h勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路長400 km，為安全起見，兩車間距不得小于 km，那么這批物資全部到災(zāi)區(qū)，至少需要_h()A.5B.10C.15D.20解析依題意，所用時(shí)間為v10，當(dāng)且僅當(dāng)v80時(shí)取等號(hào).答案B二、填空題2.設(shè)通過一點(diǎn)的k的平面，其中任何三個(gè)或三個(gè)以上的平面不共有一條直線，這k個(gè)平面將空間分成f(k)個(gè)部分，則k1個(gè)平面將空間分成f(k1)f(k)_個(gè)部分.解析k1，f(k)2.k2，f(k)4，422×1.k3，f(k)8，8442×2.所以，f(k1)f(k)2k.答案2k三、解答題3.已知正數(shù)a，

2、b，c滿足abc1，證明：a3b3c3.證明利用柯西不等式abc(a3b3c3)(abc)2 (abc1)又因?yàn)閍2b2c2abbcca，在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2b2c2得：(abc)23(a2b2c2)(a2b2c2)2(a3b3c3)·3(a2b2c2)，故a3b3c3.4.設(shè)f(n)1，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1)g(n)f(n)1對(duì)于n2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論.證明當(dāng)n2時(shí)，由f(1)g(2)f(2)1得，g(2)2當(dāng)n3時(shí)，由f(1)f(2)g(3)f(3)1得，g(3)3，猜想：g(n)n (n2).下面用數(shù)學(xué)

3、歸納法證明：當(dāng)n2時(shí)，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1恒成立.證明如下：(1)當(dāng)n2時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立.(2)假設(shè)nk (k2)時(shí)，等式成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1.則nk1時(shí)，左邊f(xié)(1)f(2)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.由(1)(2)知，對(duì)一切n2的自然數(shù)n，等式都成立，故存在函數(shù)g(n)n.5.已知函數(shù)f(x)axc(a>0)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范圍；(3)證明：1>l

4、n(n1)(n1).(1)解f(x)a，則有解得(2)解由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x 1，)，則g(1)0，g(x)a，()當(dāng)0<a<時(shí)，>1.若1<x<，則g(x)<0，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)<g(1)0，即f(x)<ln x.故f(x)ln x在1，)上不恒成立.()當(dāng)a時(shí)，1.若x>1，則g(x)>0，g(x)是增函數(shù)，所以g(x)>g(1)0，即f(x)>ln x，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)ln x.綜上所述，所求a的取值范圍為.(3)證明法一由(2)知：當(dāng)a時(shí)

5、，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1)，且當(dāng)x>1時(shí)，>ln x.令x，有l(wèi)n<，即ln(k1)ln k<，k1，2，3，n.將上述n個(gè)不等式依次相加得ln(n1)<，整理得1>ln(n1).法二用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊ln 2<1，不等式成立.假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，就是1>ln(k1).那么1>ln(k1)ln(k1).由(2)知：當(dāng)a時(shí)，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1).令x，得：lnln(k2)ln(k1).ln(k1)ln(k2).1>ln(k

6、2).這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立，根據(jù)和，可知不等式對(duì)任何nN都成立.6.求證：cos xcos 3xcos(2n1)x (nN).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊cos x，右邊cos x，等式成立.(2)假設(shè)nk (k1)時(shí)，cos xcos 3xcos(2k1)x成立.當(dāng)nk1時(shí)，cos xcos 3xcos(2k1)xcos(2k1)xcos(2k1)xsin 2kx2sin xcos(2k1)xsin 2kxsin(2k2)xsin 2kx，對(duì)nk1時(shí)，等式成立.由(1)，(2)知，對(duì)一切自然數(shù)nN，等式均成立.7.對(duì)于一切自然數(shù)n，先猜出使tn>n2的最小的自然數(shù)t，然后用數(shù)

7、學(xué)歸納法證明，并證明不等式n(n1)·>lg(1·2·3··n)成立.解猜想：當(dāng)t3時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)n使3n>n2成立.證明如下：當(dāng)n1時(shí)，313>112，命題成立.假設(shè)nk (k1)時(shí)，3k>k2成立，則有3kk21.當(dāng)nk1時(shí)，3k13·3k3k2·3k>k22(k21)>3k21，(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1>(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，命題成立.由此可知，對(duì)一切自然數(shù)nN，命題都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明n(n1)·>lg(1·2&

8、#183;3··n).當(dāng)n1時(shí)，1·(11)·lg 3>0lg 1，命題成立.假設(shè)nk時(shí)，k(k1)·>lg(1·2·3··k)成立.當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)·k(k1)·2(k1)·>lg(1·2·3··k)lg 3k1>lg(1·2·3··k)lg(k1)2lg1·2··k·(k1)，命題成立.綜上可知，對(duì)任意的nN，命題均成立.8.已知點(diǎn)的序列An(xn，0)，nN，其中x10，x2a (a>0)，A3是A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，An是線段An2An1的中點(diǎn)(1)寫出xn與xn1，xn2之間的關(guān)系式(n3)；(2)設(shè)anxn1xn，計(jì)算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并加以證明.解(1)當(dāng)n3時(shí)，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2a，a3x4x3x3a，由此推測