第3章微積分學(xué)

1、第3章 Matlab在微積分學(xué)中的應(yīng)用在這一章里，我們將利用MATLAB解決高等數(shù)學(xué)中的許多計算問題。我們還將學(xué)會建立一般的函數(shù)在一定程度上解決理論上的計算問題。3.1 極限數(shù)學(xué)中的極限問題類型大概有：極限數(shù)學(xué)形式的例子：數(shù)列的極限有：一元函數(shù)的極限有：二元函數(shù)的極限有：以上是數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不同形式的極限。但求極限的命令在MATLAB中是相同的，都由命令limit來完成。其常用形式有：limit(F,x,a) 計算limit(F,a) 符號表達(dá)式F中由命令findsym(F)返回獨立的變量v，計算limit(F) 符號確定同上，設(shè)為v, 計算limit(F,x,a,right) 計算limit(

2、F,x,a,left) 計算注意：求一極限的基本步驟為：1.把數(shù)學(xué)形式的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為Matlab的表達(dá)式。當(dāng)然表達(dá)式由多個符號組成，并且符號都不是代表某一具體的數(shù)值，其值是一個變動的量，即所謂的符號變量。為此，我們要建立一些必要的符號對象，如：符號變量，符號表達(dá)式等。2.使用求極限的命令limit來對符號表達(dá)式進(jìn)行計算，其中要指明是對哪一個符號變量做極限運算；若不指定，則符號變量由命令findsym(F)來指定。3.要指定符號變量的“極限點”以及趨于“極限點”的方向；若不指定“極限點”的值，則缺省地認(rèn)為是0點。4.總之一點，極限作的都是符號運算！例3-1求解：>> syms n m

3、 xf=(6*n2-n+1)/(n3-n2+2)g=(1+m*x)n-(1+n*x)m)/x2h=(sqrt(1+x)-2)/(x-3)>> lim_f=limit(f,n,inf)>> lim_g=limit(g,x,0) %或lim_g=limit(g)>> lim_h=limit(h,x,3,'right')運算結(jié)果是： lim_f =0 lim_g =-1/2*m2*n+1/2*n2*m lim_h =1/4例3-2 求由于求二重極限在數(shù)學(xué)上沒有方法可循，因此在Matlab中還沒有一個統(tǒng)一的命令能求一個一般的二重極限，只能求在理論上已

4、經(jīng)證明與路徑無關(guān)的函數(shù)，即把二重極限化成二次極限來計算：解：>> syms x y>> f_xy='log(x+exp(y)/sqrt(x2+y2)'>> lim_f_xy=limit(limit(f_xy,x,1),y,0)運行的結(jié)果是：lim_f_xy =log(2)3.2微積分高等數(shù)學(xué)中的微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要部分，內(nèi)容龐雜，應(yīng)用廣泛，歸納起來有：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的積分，泰勒展式，-函數(shù)，歐拉函數(shù)等。下面先講函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.2.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)類型大概有：導(dǎo)數(shù)例如：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=esinx-7cosx+5x,y=二元函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)：z=arctan,求，z=ln(復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=f(x)=a+bx+f(x)= 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：arctgF(x,x+y,x+y+z)=0,求。數(shù)學(xué)上雖然有導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)之分，但它們在Matlab中有統(tǒng)一的命令diff。其常使用形式為：diff(f,v)計算diff(f,v,n)計算diff(f)用命令findsym找出表達(dá)式f中的獨立變量，設(shè)為v,即v=findsym(F),計算diff(f,n)獨立變量確定同上，設(shè)為v,計算例3-3 已知y=計算解：>> x=sym('x')>> y=(sqrt(x)+cos(x)/(x-1)-7*x2;&g

6、t;> Dy=diff(y) >>D3y=diff(y,3)運行結(jié)果為：Dy =(1/2/x(1/2)-sin(x)/(x-1)-(x(1/2)+cos(x)/(x-1)2-14*xD3y =(3/8/x(5/2)+sin(x)/(x-1)-3*(-1/4/x(3/2)-cos(x)/(x-1)2+6*(1/2/x(1/2)-sin(x)/(x-1)3-6*(x(1/2)+cos(x)/(x-1)4例3-4 已知z=ln(。解：>> x=sym('x');y=sym('y');z=log(sqrt(x)+sqrt(y)；result

7、=x*diff(z,x)+y*diff(z,y)；simple (result)計算的結(jié)果為：result=1/2例3-5已知y=ln(x),x=t。解：在復(fù)合函數(shù)的計算中，一定要注意變量賦值的先后順序>> syms t x>> x=t2*sin(t);>> y=log(x3);>> dydt=diff(y,t)>> d2yd2t=diff(dydt,t)/diff(x,t)計算結(jié)果為： dydt =(6*t5*sin(t)3+3*t6*sin(t)2*cos(t)/t6/sin(t)3d2yd2t =(30*t4*sin(t)3+3

8、6*t5*sin(t)2*cos(t)+6*t6*sin(t)*cos(t)2-3*t6*sin(t)3)/t6/sin(t)3-6*(6*t5*sin(t)3+3*t6*sin(t)2*cos(t)/t7/sin(t)3-3*(6*t5*sin(t)3+3*t6*sin(t)2*cos(t)/t6/sin(t)4*cos(t)/(2*t*sin(t)+t2*cos(t)例3-6 已知arctg解：設(shè)方程F（x,y,z）=0確定了函數(shù)z=z(x,y),則=-，再用類似的計算方法，可以計算。>> syms x y z>> F=atan(y+z)/x)-log(x+y+z)

9、>> dFdx=diff(F,x)>> dFdz=diff(F,z)>> dZdx=-dFdx/dFdz>> dZdxdy=diff(dZdx,y)>> dZdxdz=diff(dZdx,z)>> d2Zdxdy=-dZdxdy/dZdxdz計算結(jié)果為：dFdx =-(y+z)/x2/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)dFdz =1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)dZdx =(y+z)/x2/(1+(y+z)2/x2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+

10、z)dZdxdy =(1/x2/(1+(y+z)2/x2)-2*(y+z)2/x4/(1+(y+z)2/x2)2-1/(x+y+z)2)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)-(y+z)/x2/(1+(y+z)2/x2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)2*(-2/x3/(1+(y+z)2/x2)2*(y+z)+1/(x+y+z)2)dZdxdz =(1/x2/(1+(y+z)2/x2)-2*(y+z)2/x4/(1+(y+z)2/x2)2-1/(x+y+z)2)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)-(y+z

11、)/x2/(1+(y+z)2/x2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)2*(-2/x3/(1+(y+z)2/x2)2*(y+z)+1/(x+y+z)2)d2Zdxdy =(-(1/x2/(1+(y+z)2/x2)-2*(y+z)2/x4/(1+(y+z)2/x2)2-1/(x+y+z)2)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)+(y+z)/x2/(1+(y+z)2/x2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)2*(-2/x3/(1+(y+z)2/x2)2*(y+z)+1/(x+y+z)2)/

12、(1/x2/(1+(y+z)2/x2)-2*(y+z)2/x4/(1+(y+z)2/x2)2-1/(x+y+z)2)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)-(y+z)/x2/(1+(y+z)2/x2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)2/x2)-1/(x+y+z)2*(-2/x3/(1+(y+z)2/x2)2*(y+z)+1/(x+y+z)2)3.2.2 一重積分3.2.2.1 不定積分不定積分是高等數(shù)學(xué)中的基本運算。數(shù)學(xué)中的許多不定積分的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，因此在Matlab中，有些函數(shù)的原函數(shù)是求不出來的。Matlab提供了幾個用于求函數(shù)不定積分的

13、命令，如：int，intwave，fnint (用于專門函數(shù)的積分)。其中函數(shù)int是最常用的，功能強大的積分函數(shù)。下面我們介紹函數(shù)int的使用格式：F = int (f)F = int (f, var)參數(shù)說明：·f：被積函數(shù)；·var：積分變元；若沒有指定，則對變量v = findsym (f)積分；·F：函數(shù)f的原函數(shù)。F中沒有常數(shù)C。例3-7 計算 ，解：syms x y z>> f=exp(x*y+z);>> F1=int(f) F1 = 1/y*exp(x*y+z)>> F2=int(f,z) F2 = exp(x*

14、y+z)3.2.2.2 定積分及廣義積分?jǐn)?shù)學(xué)中的定積分有時和不定積分使用的方法不同。我們這里所講的廣義積分其積分區(qū)間端點中至少有一個為無窮，而函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。在Matlab中，只需在命令int中加入積分上下限即可。即F = int(f,a,b)F = int(f,var,a,b)參數(shù)說明：·f：被積函數(shù)；·a,b：積分上下限；a, b可為無窮大（若為負(fù)無窮大，則為：）；·F：函數(shù)的積分值。有時為無窮大。定積分的計算，也可調(diào)用函數(shù)quad ( )或quad8 ( )，其格式為：y, n = quad (f , a, b, tol)y, n = quad8 (

15、f , a, b, tol)參數(shù)說明：·f：自定義的被積函數(shù)；·a,b：積分上下限；·n：計算過程中調(diào)用被積函數(shù)f的次數(shù)；tol：精度要求，quad ( )的默認(rèn)值為：tol = 1e-3，quad8 ( )的默認(rèn)值為：tol = 1e-6；·quad ( )函數(shù)采用的是Simpson方法計算定積分的近似值；·quad8 ( )函數(shù)采用的是Newton Cotes 方法計算定積分的近似值，其精度比前者更高。例3-8 計算， 解：f=1/(x2+2*x+3);>> F1=int(f,2,pi) F1 = 1/2*atan(1/2*2(

16、1/2)*(pi+1)*2(1/2)-1/2*atan(3/2*2(1/2)*2(1/2) >> F2=int(f,-inf,inf) F2 = 1/2*pi*2(1/2)例3-9 計算解：先定義函數(shù)，文件名：f.mfunction y=f(x)y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.2/2);保存后，在命令窗口鍵入format long>> y,n=quad('f',-3,3)則顯示結(jié)果為：y = 0.99729991863154n = 57 （表示被積函數(shù)f的調(diào)用次數(shù)）3.2.3 多重積分3.2.3.1 二重積分一種方法：由于積分區(qū)域的多樣性和復(fù)

17、雜性，通過人為地結(jié)合積分區(qū)域的圖形，把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，用int命令進(jìn)行計算；另一種方法：利用Matlab提供的函數(shù)dblquad和quad2dggen計算，其調(diào)用格式如下：·二重數(shù)值積分（在矩形區(qū)域上），使用dblquad函數(shù)，格式為： y = dblquad (f, x_m, x_M, y_m, y_M, tol)·一般二重積分（在數(shù)值積分工具箱（NIT，即Numerical Integration Toolbox）中提供了quad2dggen函數(shù)，該函數(shù)可從網(wǎng)上下載，網(wǎng)址：contrib./v4/inte-gration/nit.zip，安裝之后，將其路徑加載到

18、Matlab路徑下），格式為： I = quad2dggen（被積函數(shù)名，下限函數(shù)名，上限函數(shù)名，y_m，y_M，tol）例3-10 計算其中D為直線y = x和拋物線y = x2所圍部分。解：由數(shù)學(xué)方法可得：（1）畫出積分區(qū)域示意圖>>syms x y>> f=(2-x-y)/2;>> y1=x;>> y2=x2;>> ezplot(y1);hold on>> ezplot(y2);>> axis(0,2,0,2)（2）確定積分限a=fzero('x-x2',0)a = 0>> b

19、=fzero('x-x2',1)b = 1這是第2次積分的上下限。（3）積分運算f_dy=int(f,y,x2,x) %先對y積分f_dy = x-5/4*x2-1/2*x*(x-x2)+1/4*x4>> I=int(f_dy,a,b) %再對x積分I = 11/120例3-11 試求下面的二次積分解：先定義函數(shù)，函數(shù)名為：my2dfun.mfunction z=my2dfun(x,y)global kk;kk=kk+1; %定義全局變量，測定被積函數(shù)調(diào)用次數(shù)z=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);保存后在命令窗口執(zhí)行下列命令：clear>>

20、 global kk;kk=0;>> y=dblquad('my2dfun',-2,2,-1,1),kky =1.57449318974494kk = 1038 （表示被積函數(shù)調(diào)用次數(shù)）3.2.3.2 三重積分三重積分的過程與二重積分過程相同，也是把三重積分轉(zhuǎn)化成三次積分來計算，只不過在確定積分限時更繁瑣而已。在確定積分限時一般要結(jié)合三維的積分區(qū)域，所以一般先畫出積分區(qū)域。例3-12 計算其中區(qū)域V為三個坐標(biāo)面及平面：所圍成的閉區(qū)域。解：由數(shù)學(xué)方法可得： （1）畫出積分區(qū)域示意圖。由于圖形比較簡單，所以我們沒有畫出。（并且Matlab沒有畫三維符號函數(shù)的命令）sym

21、s x y z f=x;（2）確定積分限。a=0;b=1;phi1=0;phi2=(1-x)/2;psi1=0;psi2=1-x-2*y;（3）積分計算。f_dz=int(f,z,psi1,psi2)f_dzdy=int(f_dz,y,phi1,phi2)I=int(f_dzdy,x,a,b)計算結(jié)果為：f_dz = x*(1-x-2*y)f_dzdy =-x*(1/2-1/2*x)2+x*(1-x)*(1/2-1/2*x)I =1/483.2.4 Taylor展式數(shù)學(xué)定理表明：若f (x)在x = 0點附近有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么：其中： 實際上是要將函數(shù)f (x)表示成xn（n從0到無

22、窮）的和的形式。這完全可以用Matlab提供的命令taylor來完成展開工作。其常用的使用形式為：·taylor (f)·taylor (f, n)·taylor (f, v)·taylor (f,n, a)參數(shù)說明：f：待展開的函數(shù)表達(dá)式，可以不用單引號生成；n：把函數(shù)展開到n階，若不包含n，則缺省地展開到6階；v：對函數(shù)f中的變量v展開，若不包含v，則對變量v = findsym (f)展開；a：Taylor展式的擴充功能，對函數(shù)f在x = a點展開。例3-13 計算（1）把y = e x展開到6階；（2）把y = lnx在x = 1點展開到6階；（

23、3）把y = sinx在x =/2點展開到6階；（4）把y = x t關(guān)于變量t展開到3階。解：syms x ty1=taylor(exp(-x)y2=taylor(log(x),6,1)y3=taylor(sin(x),pi/2,6)y4=taylor(xt,3,t)運行結(jié)果為：y1 = 1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5y2 = x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4+1/5*(x-1)5y3 = 1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4y4 = 1+log(x)*t+1/2*log(x)2*t

24、23.2.5 Fourier級數(shù)數(shù)學(xué)定理表明：設(shè)函數(shù)f (x)已經(jīng)展開為全區(qū)間上的一致收斂的三角級數(shù)：其中： 雖然Matlab中還沒有提供一個專門的命令用于求解Fourier級數(shù)，但根據(jù)上面的數(shù)學(xué)公式，也可以編寫一個函數(shù)文件sfour.m，用于求函數(shù)f在區(qū)間上的Fourier級數(shù)的系數(shù)：function a0,ak,bk=sfour(f)syms x na0=int(f,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;an=simple(an)bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;bn=simple(bn)有了上面的函數(shù)，我們可以求得一些函數(shù)的

25、Fourier級數(shù)的系數(shù)。例3-14 求函數(shù)y = x的Fourier級數(shù)的系數(shù)解：調(diào)用上面定義的函數(shù)sfour來計算：>>syms x>> f=x;>> a0,ak,bk=sfour(f)a0 =0an =0bn =2/n2/pi*sin(pi*n)-2/n*cos(pi*n)注：在Matlab中，化簡命令不能把sin(n*pi)和cos(n*pi)轉(zhuǎn)化為(-1)n。所以bn的結(jié)果較長。3.2.6 梯度設(shè)u = u(x, y, z)是一數(shù)量函數(shù)，點p (x p, y p, z p)是等高面u = u (x, y, z) = C上的任一點，則稱向量為函數(shù)u

26、= u (x, y, z)在p點的梯度。1. 近似梯度函數(shù)gradient。使用形式： （1）FX, FY = gradient (F) （2）FX, FY = gradient (F, H) （3）FX, FY = gradient (F, HX, HY) （4）FX, FY, FZ = gradient (F) （5）FX, FY, FZ = gradient (F, HX, HY, HZ) （6）FX, FY, FZ, = gradient (F, )參數(shù)說明： （1）F：待求梯度的數(shù)值矩陣。F可以為向量、二維矩陣、三維矩陣； （2）FX，F(xiàn)Y，F(xiàn)Z：矩陣F在x、y、z方向上的數(shù)值梯度；

27、 （3）H：H為一標(biāo)量，作為各個方向上各點之間的步長； （4）HX，HY，HZ：矩陣F在x、y、z方向上的具體步長。HX，HY，HZ可為標(biāo)量或與矩陣F各個方向上同維的向量。例3-15 計算函數(shù)數(shù)值梯度，且以圖形顯示。解：x,y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); %由兩個向量生成的矩陣>> z=x.*exp(-x.2-y.2);>> px,py=gradient(z,0.2,0.2);>> contour(z) %等高線圖>> hold on>> quiver (px,py) %向量圖運行結(jié)果為：數(shù)值梯度圖2. 函數(shù)

28、梯度和方向?qū)?shù)jacobian。使用形式：jacobian (f, v) 參數(shù)說明： f：函數(shù)向量或標(biāo)量，當(dāng)f為標(biāo)量時，jacobian (f, v) = gradient (f); v：自變量向量或者單個變量。例3-16求：（1）u = x y z在點播M (1, 1, 1)處的梯度；（2）u = x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在點O (0, 0, 0)及A (1, 2, 3)處的梯度大小。syms x y z >> u1=x*y*z;>> u2=x2+2*y2+3*z2+x*y+3*x-2*y-6*z;>> v=x,y,z;>>

29、 J1=jacobian(u1,v);>> J2=jacobian(u2,v);J1_M=subs(subs(subs(J1,x,1),y,1),z,1)%subs(x, 1) 用1替換x，計算其值J1_M = 1 1 1>> J2_O=subs(subs(subs(J2,x,0),y,0),z,0)J2_O = 3 -2 -6>> J2_A=subs(subs(subs(J2,x,1),y,2),z,3)J2_A = 7 7 123.3 最小二乘法在生產(chǎn)實踐中，常常需要根據(jù)實際測量得到的一系列數(shù)據(jù)找出函數(shù)關(guān)系，通常叫做配曲線或找經(jīng)驗公式。本節(jié)我們介紹一種找

30、直線的方法，它是廣泛使用的一種處理數(shù)據(jù)的方法。例3-17 在某實驗中測得數(shù)據(jù)如下：X104180190177147134150191204121Y100200210185155135170205235125由此要推出x和y的函數(shù)關(guān)系：y = f (x)。解：先把這些數(shù)據(jù)點描繪出來，如圖所示，觀察x和y大概滿足的函數(shù)關(guān)系。先把x和y進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使自變量x的值從小到大排列。>>x=104 180 190 177 147 134 150 191 204 121;>> y=100 200 210 185 155 135 170 205 235 125;>> x,

31、i=sort(x)x = 104 121 134 147 150 177 180 190 191 204i = 1 10 6 5 7 4 2 3 8 9>> y=y(i)y = 100 125 135 155 170 185 200 210 205 235>> plot(x,y,'r*')>> hold on這些數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線上，即x和y有線性函數(shù)關(guān)系：y = ax+b，由數(shù)學(xué)推斷過程得：， 其中n為x和y的長度。用Matlab計算為：x=104 180 190 177 147 134 150 191 204 121;>>

32、; y=100 200 210 185 155 135 170 205 235 125;>> x,i=sort(x) %以升序排序，i為元素在原向量中的位置。x = 104 121 134 147 150 177 180 190 191 204i = 1 10 6 5 7 4 2 3 8 9>> y=y(i)y = 100 125 135 155 170 185 200 210 205 235>> plot(x,y,'r*')>> hold on>> n=length(x);>> a_den=n*sum(x

33、.*y)-sum(x)*sum(y);>> b_den=sum(y).*sum(x.2)-sum(x).*sum(x.*y);>> ab_num=n*sum(x.2)-(sum(x)2;>> a=a_den/ab_numa = 1.2673>> b=b_den/ab_numb = -30.5143>> x=100:0.5:220;>> y=a*x+bplot(x,y)運算結(jié)果為：最小二乘法結(jié)果3.4 微積分的應(yīng)用 例3-18 求通過點(1, 1)的曲線方程，使其在區(qū)間1，x上對應(yīng)的曲邊梯形面積等于該曲線上點M (x, y)

34、的兩個坐標(biāo)之積的兩倍（x>0, y>0）。解：設(shè)曲線為y = y (x)，按所給條件，可得對上式兩邊求導(dǎo)，得微分方程y = 2 (y-xy)，或y= y(2x)，且y (1) = 1。對此，可用dsolve函數(shù)求解。syms x yy=dsolve('Dy+y/(2*x)=0','y(1)=1','x')計算結(jié)果為：y =1/x(1/2)或syms t y>> y=dsolve('Dy+y/(2*t)=0','y(1)=1')計算結(jié)果為：y =1/t(1/2)3.5 方程（組）的求解數(shù)學(xué)計算

35、中有很大一部分是求解方程（組），有些方程（組）可以得到精確的解析解，而有些卻很難做到，只能求得滿足一定精度的數(shù)值解。對于線性方程組的解，我們在后面章節(jié)中討論。這一節(jié)主要是討論一般的代數(shù)方程（組）的解。在Matlab中解方程組的命令有l(wèi)insolve和solve，其中命令linsolve專門用于求解線性方程組，而命令solve可適用于所有的代數(shù)方程（組）。其常用形式有：1. x = linsolve (A, B) ss = solve (s) ss = solve (s, v)參數(shù)說明：·s：包含方程（一個）等式的字符串（可以是函數(shù)名，或者是描述方程的字符串）；·v：方程s中

36、的一個變量；·ss：若是第一種情形，對s中默認(rèn)的變量求解，結(jié)果賦給ss；若是第二種情形，對s中指定的變量v求解，結(jié)果賦給ss；·x：x是矩陣方程Ax = B的解x = sym(A)sym(B) = A-1*B。例3-19 求解：（1）Ax = B，其中A，B； （2）psin(2x+t) = q，其中t為未知參數(shù)。解：A=2 5;1 3;B=4 -6;2 1;>> x=linsolve(A,B)x = 2, -23 0, 8 >> solve('p*sin(2*x+t)=q','t') ans =-2*x+asin(q

37、/p)2. ss = solve (s1, s2, , sn) ss = solve (s1, s2, , sn, v1, v2, , vm) x1, x2, , xn = solve (s1, s2, , sn) x1, x2, , xn = solve (s1, s2, , sn, v1, v2, , vm)參數(shù)說明：·s1, s2, , sn：包含方程組（n個）等式的字符串（可以是函數(shù)名或者是描述方程組的字符串表達(dá)式）·x1, x2, , xn：若是第一種情形，對n個方程s1, s2, , sn中默認(rèn)的變量求解；若是第二種情形，對n個方程s1, s2, , sn中指定

38、的變量求解；結(jié)果分別賦給向量x1, x2, , xn中的分量；·v1, v2, , vm：方程組s1, s2, , sn中的m個變量；·ss：在第一種情形中，對n個方程s1, s2, , sn中默認(rèn)的變量求解；若是第二種情形，對n個方程s1, s2, , sn中指定的變量求解；n與m不一定相等，即可能是超定方程組或是不定方程組，結(jié)果賦給出ss，ss為一個解向量。例3-20 求下列方程組的解（1） （2）（3） （4）解：x1,y1=solve('x2+x*y+y=3','x2-4*x+3=0')x2,y2=solve('a*x2+y2

39、=0','x-y=1')x3,y3,z3=solve('x*y2+z2=0','y-z=1','x2-5*x+6=0')x,y=solve('sin(x+y)-exp(x)*y=0','x2-y=2')計算結(jié)果為：x1 = 1 3y1 = 1 -3/2x2 = 1/2/(a+1)*(-2*a+2*(-a)(1/2)+1 1/2/(a+1)*(-2*a-2*(-a)(1/2)+1y2 = 1/2/(a+1)*(-2*a+2*(-a)(1/2) 1/2/(a+1)*(-2*a-2*(-a)(1/

40、2)x3 = 2 2 3 3y3 = 1/3+1/3*i*2(1/2) 1/3-1/3*i*2(1/2) 1/4+1/4*i*3(1/2) 1/4-1/4*i*3(1/2)z3 = -2/3+1/3*i*2(1/2) -2/3-1/3*i*2(1/2) -3/4+1/4*i*3(1/2) -3/4-1/4*i*3(1/2)x =y = 34.208227234306296508646214438330由于第四個方程組沒有精確的解析解，所以給出的是數(shù)值形式的解。3.6 函數(shù)極值在高等數(shù)學(xué)中，求函數(shù)的極值（最值）是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一。不過高等數(shù)學(xué)中的求值過程比較麻煩，而在Matlab中卻顯得輕松自如。因為Matlab有兩個功能強大的求值函數(shù)fminbnd、fminsearch。3.6.1 一元函數(shù)的極值函數(shù)fminbnd是用于專門求單變量函數(shù)的最小值。使用形式為：x = fminbnd(fun,x1,x2)x = fminbnd(fun,x1,x2,options)x = fminbnd(fun,x1,x2,options,p1,p2,.)x,fval = fminbnd(.)x,fval,exitflag = fminbnd(.)x,fval,exitflag,output = fminbnd(.)參數(shù)說明：·fun：目標(biāo)