第二章 2.2.2(一)

1、2.2.2等差數(shù)列的前n項和(一)學習目標1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.熟知公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個求另外兩個.知識點一等差數(shù)列的前n項和公式思考高斯用123100(1100)(299)(5051)101×50迅速求出了等差數(shù)列前100項的和.但如果是求123n，不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么辦？答案 不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項導致不能配對.但我們可以采用倒序相加來回避這個問題：設Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1

2、)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理“倒序相加法”可以推廣到一般等差數(shù)列求前n項和，其方法如下：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d；Snanan1an2a2a1an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d.兩式相加，得2Snn(a1an)，由此可得等差數(shù)列an的前n項和公式Sn.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1d.知識點二等差數(shù)列的前n項和公式的特征思考1在等差數(shù)列an中，若已知a27，能求出前3項和S3嗎？答案S33×3a221.思考2我們對等差數(shù)列的通項公式變形：ana1(n1)

3、ddn(a1d)，分析出通項公式與一次函數(shù)的關系.你能類比這個思路分析一下Snna1d嗎？答案按n的降冪展開Snna1d n2n是關于n的二次函數(shù)形式，且常數(shù)項為0.梳理對于等差數(shù)列an的前n項和Sn，有下面幾種常見變形：(1)Snn·；(2)Snn2n；(3)n.知識點三等差數(shù)列的前n項和公式的性質 思考如果an是等差數(shù)列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列嗎？答案(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，類似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a

4、20，a21a22a30是等差數(shù)列.梳理(1)Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列an的前m項的和，前2m項的和，前3m項的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.(2)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(nN)，則S2nn(anan1)，且S偶S奇nd，.(3)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n1(nN)，則S2n1(2n1)an，且S奇S偶an，S奇nan，S偶(n1)·an，.1.數(shù)列的前n項和就是指從數(shù)列的第1項a1起，一直到第n項an所有項的和.()2.anSnSn1(n2)化簡后關于n與an的函數(shù)式即為數(shù)列an的通項公式.(×)類型一等差數(shù)列的前n項和公式的應用例

5、1已知一個等差數(shù)列an的前10項的和是310，前20項的和是1 220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？解方法一由題意，知S10310，S201 220，將它們代入公式Snna1d，得解方程組得Snn×4×63n2n，nN.方法二S10310，即a1a1062，S201 220，即a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n，nN.反思與感悟(1)在解決與等差數(shù)列的前n項和有關的問題時，要注意方程思想和整體思想的運用.(2)構成等差數(shù)列的前n項和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求另外兩個.跟蹤訓練1在等差

6、數(shù)列an中.(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d；(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解(1)由題意，得Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程組得或例2某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1 150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？解設每次交款數(shù)額依次為a1，a2，a20

7、，則a1501 000×1%60(元)，a250(1 00050)×1%59.5(元)，a1050(1 0009×50)×1%55.5(元)，即第10個月應付款55.5元.由于an是以60為首項，以0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20×201 105(元)，即全部付清后實際付款1 1051501 255(元).反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù).跟蹤訓練2甲，乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.(1)甲，乙開始運動后幾

8、分鐘第一次相遇？(2)如果甲，乙到達對方起點后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？解(1)設開始運動n分鐘后第一次相遇，依題意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7或n20(舍去).所以第一次相遇是在開始運動后7分鐘.(2)設開始運動m分鐘后第二次相遇，依題意，有2m5m3×70，整理得m213m4200.解得m15或m28(舍去).所以第二次相遇是在開始運動后15分鐘.類型二等差數(shù)列的前n項和性質的應用例3(1)等差數(shù)列an的前m項的和為30，前2m項的和為100，求數(shù)列an的前3m項的和S3m；(2)兩個

9、等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn和Tn，已知，求的值.解(1)方法一在等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列.30，70，S3m100成等差數(shù)列.2×7030(S3m100)，S3m210.方法二在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，.即S3m3(S2mSm)3×(10030)210.(2).反思與感悟等差數(shù)列的前n項和Sn的有關性質在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.跟蹤訓練3設an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn.解設等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d，S77，S15

10、75，即解得a1d，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項為2，公差為，Tnn×(2)×，nN.1.在等差數(shù)列an中，若S10120，則a1a10的值是()A.12 B.24C.36 D.48答案B解析由S10，得a1a1024.2.記等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d等于()A.2 B.3C.6 D.7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3.在一個等差數(shù)列中，已知a1010，則S19 .答案190解析S1919a1019×10190.4.已知在等差數(shù)列an中，(1)a1，d，Sn1

11、5，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.解(1)Snn××15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)×4.n12，ana124.(2)由Sn1 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.1.求等差數(shù)列的前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到.2.等差數(shù)列的兩個求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個量，若已知其中三個量，通過方程思想可求另外兩個量.在利用求和公式時，要注意整體思想的應用，注意下列結論的運用：若mnpq，則anamapaq(n，m，p

12、，qN)；若mn2p，則anam2ap.3.本節(jié)涉及的數(shù)學思想：方程思想，函數(shù)思想，整體思想，分類討論思想.一、選擇題1.在等差數(shù)列an中，若a2a88，則該數(shù)列的前9項和S9等于()A.18 B.27 C.36 D.45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2.在等差數(shù)列an中，若S104S5，則等于()A. B.2 C. D.4答案A解析由題意，得10a1×10×9d4，10a145d20a140d，10a15d，.3.已知在等差數(shù)列an中，若aa2a3a89，且an<0，則S10為()A.9 B.11 C.13 D.15答案D解析由aa2a3a89，得(a

13、3a8)29，an<0，a3a83，S1015.4.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27答案B解析數(shù)列an為等差數(shù)列，則S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，S9S645.即a7a8a9S9S645.5.在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A.765 B.665 C.763 D.663答案B解析a12，d7，2(n1)×7<100，n<15，n14，S1414×2×14×13×766

14、5.6.含2n1項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和的比為()A. B. C. D.答案B解析S奇，S偶，a1a2n1a2a2n，.7.等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知am1am1a0，S2m138，則m等于()A.38 B.20 C.10 D.9答案C解析因為an是等差數(shù)列，所以am1am12am，由am1am1a0，得2ama0，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即38，即(2m1)×238，解得m10，故選C.二、填空題8.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管最少，那么剩余鋼管的根數(shù)為 .答案10解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)

15、組成了一個等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個.鋼管總數(shù)為123n.當n19時，S19190.當n20時，S20210>200.n19時，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根.9.設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則 .答案解析方法一，a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差數(shù)列，公差為(S6S3)S3S3，從而S9S6S32S33S3，即S96S3，S12S9S33S34S3，即S1210S3，.10.設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S33，S624，則a9 .答案15解析設等差數(shù)列的公差為d，則S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a

16、1d6a115d24，即2a15d8.聯(lián)立解得故a9a18d18×215.11.設項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是 ，項數(shù)是 .答案117解析設等差數(shù)列an的項數(shù)為2n1，S奇a1a3a2n1(n1)an1，S偶a2a4a6a2nnan1，所以，解得n3，所以項數(shù)2n17，S奇S偶an1，即a4443311為所求中間項.12.已知等差數(shù)列an的前3項依次為a，4，3a，前k項和Sk2 550，則a ，k .答案250解析設等差數(shù)列an的公差為d，則由題意，得(注：k51舍)a2，k50.三、解答題13.一個等差數(shù)列的前10項和為100，前

17、100項和為10，求前110項之和.解方法一設等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則Snna1d.由已知，得×10，整理得d，代入，得a1，S110110a1d110××110110.故此數(shù)列的前110項和為110.方法二設Snan2bn.S10100，S10010，解得Snn2n.S110×1102×110110.四、探究與拓展14.若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項a10，a2 017a2 0180，a2 017·a2 0180，則使前n項和Sn0成立的最大自然數(shù)n是 .答案4 034解析由條件可知數(shù)列單調遞減，故知a2 0170，a2 0180，故S4 0342 017(a2 017a2 018)0，S4 0354 035×a2 0180，故使前n項和Sn0成立的最大自然數(shù)n是4 034.1