電磁輻射經(jīng)典理論下幾何光學(xué)定律之機(jī)制

1、電磁輻射經(jīng)典理論下幾何光學(xué)定律之機(jī)制 and there was lighted一，一些說明和對(duì)數(shù)學(xué)的解釋本篇中將使用經(jīng)典電磁輻射理論對(duì)幾何光學(xué)的一些原理諸如反射原理和入射原理的一些推導(dǎo)和機(jī)制進(jìn)行討論，并且自始至終使用非相對(duì)論性近似和長(zhǎng)距近似。對(duì)于一個(gè)一任意方式運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生之電磁場(chǎng)，可由費(fèi)曼表達(dá)式給出： （1） （2）在我們的長(zhǎng)距近似下，電場(chǎng)在較遠(yuǎn)距離的唯一有效項(xiàng)即為第一個(gè)表達(dá)式的第三項(xiàng)（因?yàn)槌?，其他的幾?xiàng)都是成平方反比衰減的）。并且，在非相對(duì)論近似下，我們可以認(rèn)為電荷在不太遠(yuǎn)的距離內(nèi)做速度不太大的運(yùn)動(dòng)，所以單位矢量的加速度的徑向分量便效應(yīng)很小了。由于距離變化不大，延遲時(shí)間也可以認(rèn)

2、為是一定的。則我們的“基本定律”變?yōu)椋?（3）加速度的延遲時(shí)間為距離除以光速 另外，對(duì)于一個(gè)視屏面與輻射源成夾角的方向，且輻射源是一個(gè)以振幅做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子所測(cè)量到的場(chǎng)來說，有關(guān)系式：以及對(duì)于電磁輻射，波數(shù)與頻率之間有如下關(guān)系：其中，是為位相綜上，就是我們?cè)诖擞懻撝兴玫降拇蠖鄶?shù)學(xué)工具與近似手段。二，對(duì)于反射定律之機(jī)制和導(dǎo)引在對(duì)反射定律的導(dǎo)引過程中，會(huì)假設(shè)反射面是近乎連續(xù)的電荷分布面，其電荷之間的間距小于電磁波長(zhǎng)。首先我們來討論干涉的數(shù)學(xué)。對(duì)于n個(gè)等間距的振子，其振幅都相同，但彼此間有不同的位相（或許是因?yàn)榧?lì)時(shí)不同相或者與視平面成角），我們將用復(fù)數(shù)來表示其和（因子將被忽略，一方面是這個(gè)效應(yīng)較

3、小，并且由于我們所討論的問題的對(duì)稱性它會(huì)被對(duì)消掉）：易證（此處將不予推導(dǎo)），對(duì)于合振幅，有： （4）或?qū)τ趶?qiáng)度（正比與場(chǎng)強(qiáng)的平方），有： （5）對(duì)于其極大值，在是應(yīng)有一極大值，由正弦函數(shù)的周期性質(zhì)可知， 為2的任意整數(shù)倍時(shí)均有極大值，但在我們的情況下（間距小于波長(zhǎng)）將只有第一級(jí)極大值。接下來開始討論反射的問題。我們可以假設(shè)在無限遠(yuǎn)處有一光源，它處在一定的傾角處使一束光以角入射，我們來討論其散射光。對(duì)于激勵(lì)引起的初相，在每個(gè)近似的“電荷振子”之間均相同：另外對(duì)于出射光與平面有一定的的傾角/2-，總之，相鄰兩個(gè)電荷之間的初相差為：一般而見的反射光當(dāng)然是其極大值，對(duì)于我們的假設(shè)（電荷之間的距離小于波

4、長(zhǎng)，即近乎連續(xù)）來說，是唯一的解。那么，對(duì)于兩個(gè)夾角之間之間則有關(guān)系： （6）（當(dāng)然這個(gè)角度是指與反射面的夾角而非一般意義上與法線所成的入射角與出射角）則入射角與反射角之間有兩種可能的關(guān)系：相等或互補(bǔ)。以互補(bǔ)角散射的光就是我們所討論的反射光，另一束光則直接“透射“過去（事實(shí)上這束光并不是入射光，實(shí)際情況下也不會(huì)以等角出射，因?yàn)槲覀兒雎粤艘恍┲T如反射率這樣我們將要討論的效應(yīng)）。這樣我們從電磁輻射的經(jīng)典理論出發(fā)導(dǎo)出了幾何光學(xué)的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的定律：反射定律。它可以這樣表述：入射光與法線的夾角等于反射光與法線的夾角當(dāng)然，在幾何光學(xué)中，我們不可能得到對(duì)于這條簡(jiǎn)單定律的正確的機(jī)制的理解： 入射光使反射體中

5、的原子發(fā)生運(yùn)動(dòng)，從而反射體就產(chǎn)生一束新的波，散射方向的解是使兩束光與法線的夾角相同！三，對(duì)于折射定律之導(dǎo)引相對(duì)反射定律，折射定律要復(fù)雜一些。幾何光學(xué)中的折射定律可以如下表述： （7）其中的為折射面之間兩種介質(zhì)（也可能為真空）的折射率。這個(gè)定律又稱斯涅爾定律。對(duì)于折射率應(yīng)這樣定義其中c為真空中的光速。從中很容易看出來折射現(xiàn)象不過就是因?yàn)樵趦煞N介質(zhì)中的波速不同所引起的。事實(shí)上，如果知道了這個(gè)事實(shí)，折射定律是很好導(dǎo)引的。因?yàn)閷?duì)于折射面的物質(zhì)，可以認(rèn)為是做受迫運(yùn)動(dòng)的振子。而它們必須與激勵(lì)源有相同的頻率。為了保證這點(diǎn)，在兩種介質(zhì)中的波的波峰在界面上必須位于同一位置。兩種介質(zhì)中的波長(zhǎng)分別為：由上述邊界條件

6、可知，必須滿足：化簡(jiǎn)后得：即斯涅爾定律。四，折射率的機(jī)制及色散方程接下來我們將討論折射率的機(jī)制（因?yàn)樗鞘共ㄋ俨煌母驹颍?，并試圖找出能確定折射率的方程。首先我們將想象如下裝置：有一個(gè)較薄的透明物質(zhì)板，左面一定距離內(nèi)有一個(gè)光源，在板的右側(cè)P點(diǎn)，我們將檢測(cè)那里的電磁波。我們同樣將做幾個(gè)假設(shè)，首先是這個(gè)板較疏松，使得我們不用考慮板中的電場(chǎng)對(duì)自身的激勵(lì)作用。另外，我們還將假設(shè)由光源所產(chǎn)生的電磁波在通過板時(shí)不受影響（事實(shí)上不是的，但是之后我們會(huì)在修正中考慮這個(gè)效應(yīng)）。另外在真正的推導(dǎo)折射率之前我們還需要知道一些其他的公式，這個(gè)公式給出了震蕩的電荷平面激發(fā)的電磁波（推導(dǎo)并不復(fù)雜，但是有一個(gè)付諸于物理

7、實(shí)用方面的與數(shù)學(xué)上不同的地方，就是我們?cè)谕茖?dǎo)中會(huì)認(rèn)為正無窮的余弦值為零。但是不作此改動(dòng)也可導(dǎo)引出這個(gè)公式）： （8）其中N為平面內(nèi)單位體積的原子數(shù)，z為距離。接下來讓我們來正式的推導(dǎo)折射率的方程。根據(jù)我們的假設(shè)，p點(diǎn)所檢測(cè)到的場(chǎng)可以表示成一個(gè)修正場(chǎng)（）與光源所產(chǎn)生的場(chǎng)（）的和。首先讓我們基于輻射場(chǎng)在經(jīng)過薄板時(shí)會(huì)慢下來的這一假設(shè)來導(dǎo)出修正場(chǎng)的形式。首先光源所產(chǎn)生的場(chǎng)為：設(shè)板的厚度為，在板中光以速度傳播。那么考慮到這一附加時(shí)間，我們應(yīng)該把上述方程中的延遲項(xiàng)做一下變換，則有：可以看出改場(chǎng)是沒有物質(zhì)存在時(shí)的場(chǎng)乘上一個(gè)修正因子。我們還可以對(duì)它做一下變形。根據(jù)歐拉公式：，那么當(dāng)相角很小時(shí)，就有i在這里，我

8、們已經(jīng)假設(shè)透明板很薄，所以我們可以直接將上式改寫成： （9）第一項(xiàng)正好是沒有物質(zhì)時(shí)來自光源的場(chǎng)，那么，第二項(xiàng)應(yīng)該就是我們所要找的修正場(chǎng)。其中包括因子n。事實(shí)上，因?yàn)槌薾都是基本量或者測(cè)量量，所以這個(gè)式子可以作為測(cè)量折射率的一個(gè)方程。我們?cè)賮韽牧硪粋€(gè)方面考慮一下這個(gè)現(xiàn)象。定性的看，它的過程是光源發(fā)出的電磁波激勵(lì)板上的原子中的電子，使之一同發(fā)出電磁波。 那么我們就可以通過計(jì)算物質(zhì)引起的場(chǎng)來得出折射率。如果前述的光源了距離板子足夠遠(yuǎn)，那么由源所產(chǎn)生的場(chǎng)在板的附近可以寫成：剛好在板上時(shí)，有：板上的電子將受到這個(gè)場(chǎng)的激勵(lì)并作出相應(yīng)運(yùn)動(dòng)。除此之外，從量子力學(xué)對(duì)原子結(jié)構(gòu)的正確繪景來看，在處理有關(guān)電磁波的問

9、題時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)有如他們被拴在彈簧上一樣（具有線性的恢復(fù)力），那么我們就可以寫出每一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)方程：以及它的解： （10）現(xiàn)在我們對(duì)這個(gè)解取微商求出速度，并且?guī)胧阶樱?），再計(jì)入延遲，得： （11）將式子（11）與式子（9）的第二部分比較是有趣的。事實(shí)上，如果時(shí)這兩項(xiàng)取完全相等，那么就有： （12）考慮到我們之前的一些近似，我們可以對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行一些修改。首先我們的電子“振子”一定要是有阻尼的，否則它就會(huì)無法停止，所以我們?cè)谑阶永锟梢约由献枘犴?xiàng)。這不過是在第二項(xiàng)的分母中的括號(hào)里加上一項(xiàng)（可以由阻尼振子的方程求解出，我們?cè)谶@里只取它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）。另外，由于一塊物質(zhì)中的電子的固有頻率不會(huì)完全相

10、同，我們需要將這個(gè)式子修改為一個(gè)求和。綜上，有： （13）式子（13）給出了由物質(zhì)特性和光的頻率來確定折射率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。它給了我們一個(gè)關(guān)于折射率的機(jī)制及其大小的“解釋”。事實(shí)上這個(gè)方程預(yù)言不同色光因?yàn)轭l率不同應(yīng)該有不同的折射率，也就解釋了白光在通過三棱鏡時(shí)的色散現(xiàn)象，所以我們也稱這個(gè)式子為色散方程。幾何光學(xué)中如此簡(jiǎn)單的斯涅爾定律在經(jīng)典電磁輻射中竟有如此復(fù)雜的解釋。事實(shí)上我們可以繼續(xù)討論這個(gè)復(fù)折射率并且對(duì)其虛部作出一些解釋，但是有些離題太遠(yuǎn)了。五，尾聲對(duì)幾何光學(xué)中反射定律與折射定律的討論也就到此為止了，事實(shí)上遠(yuǎn)非完整。事實(shí)上，從實(shí)用的角度來說，描述高頻低能的光學(xué)情況的幾何光學(xué)可以由這兩個(gè)定律以及一個(gè)假設(shè)：光線（幾何光學(xué)中的假想研究實(shí)體）在不遇到障礙物時(shí)延直