第三章 習(xí)題課

1、習(xí)題課導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用知識點一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減知識點二求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當f(x0)0時，(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是極小值知識點三函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的求法1

2、求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值2將函數(shù)yf(x)的極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.類型一函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系例1已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則yf(x)的圖象大致是()考點函數(shù)變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的圖象答案C解析當0<x<1時，xf(x)<0，f(x)<0，故yf(x)在(0,1)上為減函數(shù)，排除A，B.當1<x<2時，xf(x)>0，f(x)>0，故yf(x)在(1,2)上為增函數(shù)，因此排除D.反思與感悟

3、研究一個函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要重點考查其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)考察其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并考察這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()考點數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用題點數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用答案A解析函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，當x>2時，f(x)>0；當x2時，f(x)0；當x<2時

4、，f(x)<0.當2<x<0時，xf(x)<0；當x2時，xf(x)0；當x<2時，xf(x)>0.由此觀察四個選項，故選A.類型二構(gòu)造函數(shù)求解不等式問題命題角度1比較函數(shù)值的大小例2已知定義域為R的奇函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，當x0時，f(x)<0，若af，bf()，cf，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()Aa<c<b Bb<c<aCa<b<c Dc<a<b考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案B解析令g(x)xf(x)，則g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函數(shù)g(x

5、)f(x)xf(x)，f(x)<0，當x>0時，xf(x)f(x)<0，當x<0時，xf(x)f(x)>0.g(x)在(0，)上是減函數(shù)<ln 2<1<，g()<g(ln 2)<g.又g(x)是偶函數(shù)，g()g()，gg(ln 2)，g()<g<g.故選B.反思與感悟此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出恰當?shù)暮瘮?shù)通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)值的大小跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)在定義域0，)上恒有f(x)>f(x)若a，b，則a與b的大小關(guān)系為_(用“>”連接)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案a&g

6、t;b解析設(shè)g(x)，則當x0時，g(x)<0，所以g(x)在0，)上是減函數(shù)，所以g(2)>g(3)，即>，所以a>b.命題角度2求解不等式例3定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)<f(x)，且f(0)2，則不等式f(x)>2ex的解集為()A(，0) B(，2)C(0，) D(2，)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點求解不等式答案C解析設(shè)g(x)，則g(x).f(x)<f(x)，g(x)>0，即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增f(0)2，g(0)2，則不等式等價于g(x)>g(0)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x>0，不等式的解集

7、為(0，)，故選C.反思與感悟解決此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，通過其導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到x的取值范圍跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點求解不等式答案B解析令g(x)f(x)2x4，f(x)>2，則g(x)f(x)2>0.g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又由g(1)f(1)2×(1)40，由g(x)>0，即g(x)>g(1)，得x>1，f(x)>2x4的解集為(1，)類型

8、三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例4已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0)，且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值題點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解(1)因為f(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得

9、f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.當0<t2時，在區(qū)間0，t上，f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當2<t<3時，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個因為f(t)f(0)t33t2t2(t3)<0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，則g(x)3x26x3x(x2)當x1,2)時，g(x)<0；當x

10、(2,3時，g(x)>0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個相異的實根，則即解得2<c0.即實數(shù)c的取值范圍為(2,0反思與感悟(1)求極值時一般需確定f(x)0的點和單調(diào)性，對于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點，當連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值點(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的圖象關(guān)于原點成中心對稱(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(3)當x1,5時，求函數(shù)的最值考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最

11、值題點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)<0，得4<x<4；令f(x)>0，得x<4或x>4.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(4,4)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，4)和(4，)，f(x)極大值f(4)128，f(x)極小值f(4)128.(3)由(2)知，函數(shù)在1

12、,4上單調(diào)遞減，在4,5上單調(diào)遞增，對f(4)128，f(1)47，f(5)115，當x1,5時，函數(shù)的最大值為47，最小值為128.1已知函數(shù)f(x)x3bx2cx的圖象如圖所示，則xx等于()A. B. C. D.考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在圖象上的應(yīng)用答案C解析由題意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函數(shù)的解析式為f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242×.2設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f

13、(x)g(x)<0，則當a<x<b時有()Af(x)g(x)>f(b)g(b)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x)Df(x)g(x)>f(a)g(a)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案C解析由條件，得<0.在(a，b)上是減函數(shù)，<<，f(x)g(b)>f(b)g(x)3若函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為_考點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案5解析函數(shù)f(x)(x2)(x2c)在x2處有極值，f(x)(x2c)(x2

14、)×2x.f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)×2x，函數(shù)f(x)的圖象在x1處的切線的斜率為f(1)(14)(12)×25.4函數(shù)f(x)x33x1，若對于區(qū)間3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，則實數(shù)t的最小值是_考點函數(shù)最值的應(yīng)用題點恒成立中參數(shù)的取值范圍答案20解析由f(x)3x230，得x±1，則f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由題意知，|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

15、等問題，都可以通過導(dǎo)數(shù)得以解決不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的各種方法.一、選擇題1函數(shù)yxsin xcos x，x(，)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.和B.和C.和D.和考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案A解析yxcos x，當<x<時，cos x<0，yxcos x>0；當<x<0時，cos x>0，yxcos x<0；當0<x<時，cos x>0，yxcos x>0；當<x<時，cos x<

16、0，yxcos x<0，故選A.2已知函數(shù)f(x)ln x，則有()Af(2)<f(e)<f(3) Bf(e)<f(2)<f(3)Cf(3)<f(e)<f(2) Df(e)<f(3)<f(2)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案A解析f(x)的定義域為(0，)，又f(x)>0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又2<e<3，f(2)<f(e)<f(3)3函數(shù)f(x)x3mx21在2，1上的最大值就是f(x)的極大值，則m的取值范圍是()A(6，3) B6，3C. D.考點函數(shù)最值的應(yīng)

17、用題點最值存在性問題答案D解析由f(x)3x22mx0，得x1，x20，由題意知， 2，1，即m.4設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是()考點函數(shù)變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點根據(jù)原函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)的圖象答案D解析若函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則yf(x)>0，若函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)，則yf(x)<0.5已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸相切于點(1,0)，則函數(shù)f(x)的()A極大值為，極小值為0B極大值為0，極小值為C極大值為0，極小值為D極大值為，極小值為0考點函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點含參數(shù)的函數(shù)求

18、極值答案A解析f(x)3x22pxq，f(1)32pq0.又f(1)1pq0，由解得p2，q1，f(x)x32x2x，f(x)3x24x1.令3x24x10，解得x1，x21.當x<時，f(x)>0；當<x<1時，f(x)<0；當x>1時，f(x)>0，當x時，f(x)有極大值為；當x1時，f(x)有極小值為0.6設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A1<a2 Ba4Ca2 D0<a3考點利用函數(shù)的單調(diào)性求變量題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)答案A解析f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，

19、當x0時，有0<x3，即在區(qū)間(0,3上原函數(shù)是減函數(shù)，a1>0且a13，解得1<a2.7某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本(單位：元)為C(x)1 200x3，且產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，若當生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品時，單價為50元，則要使總利潤最大，產(chǎn)量應(yīng)定為()A15件 B25件C30件 D35件考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案B解析設(shè)產(chǎn)品單價為a元，因為產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2xk(k為比例系數(shù))由題意知，k250 000，則a2x250 000，所以a.設(shè)總利潤為y元，則y500x31 200(x>0)，則yx2，由y0，

20、得x25，當x(0,25)時，y>0，當x(25，)時，y<0，所以當x25時，y取得最大值故要使總利潤最大，產(chǎn)量定為25件8方程2x36x270在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為()A0 B1C2 D3考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)的零點與方程的根答案B解析令f(x)2x36x27，f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0，得x2或x0；由f(x)0，得0x2.又f(0)70，f(2)10，方程在(0,2)內(nèi)只有一個實根二、填空題9函數(shù)yx3x25x5的單調(diào)遞增區(qū)間是_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案，(1，)解析令y3x22x5>0，得x<或x&

21、gt;1.10函數(shù)y在定義域內(nèi)的最大值、最小值分別是_考點題點答案2，2解析函數(shù)的定義域為R.令y0，得x±1.當x變化時，y，y隨x的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y極小值極大值當x趨近于負無窮大時，y趨近于0；當x趨近于正無窮大時，y趨近于0.由上表可知，當x1時，y取極小值也是最小值2；當x1時，y取極大值也是最大值2.11已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且ax(a>0且a1)，f(x)g(x)<f(x)g(x)，則a_.考點利用函數(shù)的單調(diào)性求變量題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)答案解析令h(x)，f(x)g(x)<f(x)g(x

22、)，h(x)<0，函數(shù)h(x)ax在R上單調(diào)遞減，0<a<1.，a1a1，化為2a25a20，解得a2或.0<a<1，a.三、解答題12設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對于任意的x(0,1都有f(x)0成立，求實數(shù)a的取值范圍考點函數(shù)最值的應(yīng)用題點恒成立中參數(shù)的取值范圍解x(0,1，f(x)0可化為a.令g(x)，則g(x)，令g(x)0，得x.當0<x<時，g(x)>0；當<x1時，g(x)<0，g(x)在(0,1上有極大值g4，也是最大值a4.即a的取值范圍是4，)13設(shè)函數(shù)f(x)2x33(a1)x21，其中a1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的極值考點函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點含參數(shù)的函數(shù)求極值解由已知得f(x)6x26(a1)x6xx(a1)令f(x)0，解得x0或xa1.(1)當a1時，f(x)6x2，令f(x)0，得x0，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1因為f(x)是連續(xù)函數(shù)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增當a1時，f(x)6