第2章 章末復(fù)習(xí)

1、章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.回顧梳理向量的有關(guān)概念，進(jìn)一步體會(huì)向量的有關(guān)概念的特征.2.系統(tǒng)整理向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及相應(yīng)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì).3.體會(huì)應(yīng)用向量解決問題的基本思想和基本方法.4.進(jìn)一步理解向量的“工具”性作用1向量的運(yùn)算：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2).向量運(yùn)算法則(或幾何意義)坐標(biāo)運(yùn)算向量的線性運(yùn)算加法ab(x1x2，y1y2)減法ab(x1x2，y1y2)數(shù)乘(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0a(x1，y1)向量的數(shù)量積運(yùn)算a·b|a|b|cos (為a與b的夾角)規(guī)定0·a0，數(shù)量積的幾

2、何意義是a的模與b在a方向上的投影的積a·bx1x2y1y22兩個(gè)定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(2)向量共線定理如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.3向量的平行與垂直a，b為非零向量，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一實(shí)數(shù)使得ba(a0)x1y2x2y10aba·b0x1x2y1y201平面內(nèi)

3、的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底(×)提示平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量才可以作為一組基底2若向量和向量共線，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上(×)提示也可能ABCD.3若a·b0，則a0或b0.(×)4若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角(×)提示當(dāng)a，b同向共線時(shí)，a·b>0，但a和b的夾角為0.當(dāng)a，b反向共線時(shí)，a·b<0，但a和b的夾角為.類型一向量的線性運(yùn)算例1如圖所示，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_答案解析設(shè)，則m(m1

4、).與共線，(m1)0，m.反思與感悟向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線、共點(diǎn)問題跟蹤訓(xùn)練1如圖，在ABC中，E為線段AC的中點(diǎn)，試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)D，使得，若存在，說明D點(diǎn)位置；若不存在，說明理由解假設(shè)存在D點(diǎn)，使得.()×.所以當(dāng)點(diǎn)D為AC的三等分點(diǎn)時(shí)，.類型二向量的數(shù)量積運(yùn)算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab|akb|(k>0)(1)用k表示數(shù)量積a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此時(shí)a與b的夾角的大小解(1)由|kab|a

5、kb|，得(kab)23(akb)2，k2a22ka·bb23a26ka·b3k2b2.(k23)a28ka·b(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238ka·b13k20，a·b.(2)a·b.由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，f(k)在(0，1上單調(diào)減，在1，)上單調(diào)增，當(dāng)k1時(shí)，f(k)minf(1)×(11)，此時(shí)a與b的夾角的余弦值cos ，又0°，180°，60°.反思與感悟數(shù)量積運(yùn)算是向量運(yùn)算的核心，利用向量數(shù)量積可以解決以下問題：(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y

6、2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夾角和模的問題設(shè)a(x1，y1)，則|a|.兩向量夾角的余弦值(0)cos .跟蹤訓(xùn)練2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件；(2)若ABC為直角三角形，且A為直角，求實(shí)數(shù)m的值解(1)若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3，1)，(m1，m)，與不平行，3mm1，解得m，當(dāng)實(shí)數(shù)m時(shí)滿足條件(2)若ABC為直角三角形，且A為直角，則，而(3，1)，(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得m.類型三向量坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用

7、例3已知在等腰ABC中，BB，CC是兩腰上的中線，且BBCC，求頂角A的余弦值的大小解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，a)，C(c，0)，其中a>0，c>0，則B(c，0)，(0，a)，(c，a)，(c，0)，(2c，0)因?yàn)锽B，CC為AC，AB邊上的中線，所以()，同理.因?yàn)?，所?#183;0，即0，化簡得a29c2，又因?yàn)閏os A.即頂角A的余弦值為.反思與感悟把幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而解決問題這樣的解題方法具有普遍性跟蹤訓(xùn)練3如圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120°，點(diǎn)C在

8、上，且COB30°，若，則_.答案解析由題意，得AOC90°，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則O(0，0)，A(0，)，C(，0)，B(×cos 30°，×sin 30°)，即B.因?yàn)?，所?，0)(0，)，即則所以.1在菱形ABCD中，若AC2，則·_.答案2解析如圖，設(shè)對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，.··()202.2設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4.若點(diǎn)M，N滿足3，2，則·_.答案9解析ABCD的圖象如圖所示，由題設(shè)知，··

9、;|2|2··×36×169.3已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b與a2b共線，則m的值為_答案2解析ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1)ma4b與a2b共線，(2m4)×(1)(3m8)×40，解得m2.4若向量(1，3)，|，·0，則|_.答案2解析由題意可知，AOB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且腰長|，由勾股定理得|2.5平面向量a(，1)，b，若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)解由a(，1)，b，得a·b0，|a|2，|b

10、|1，由xy，得a(t23)b·(katb)0，ka2ta·bk(t23)a·bt(t23)b20，即4kt33t0，所以k(t33t)，令f(t)(t33t)，所以函數(shù)關(guān)系式為kf(t)(t33t)1由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法，它的運(yùn)算也因?yàn)檫@兩種不同的表示方法而有兩種方式，因此向量問題的解決，理論上講總共有兩個(gè)途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法，在具體做題時(shí)要善于從不同的角度考慮問題2向量是一個(gè)有“形”的幾何量，因此，在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧一、填空題1設(shè)向量a(2，4

11、)與向量b(x，6)共線，則實(shí)數(shù)x為_答案3解析ab，2×64x0，x3.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2，1)，則·_.答案5解析四邊形ABCD為平行四邊形，(1，2)(2，1)(3，1)，·2×3(1)×15.3若平面向量b與向量a(1，2)的夾角是180°，且|b|3，則b_.答案(3，6)解析設(shè)bka(k，2k)，k0，而|b|3，則3，k3，b(3，6)4已知a(2，3)，b(1，4)，c(5，6)，那么(a·b)·c_.答案(50，60)解析因?yàn)閍·

12、b(2，3)·(1，4)21210，所以(a·b)c10(5，6)(50，60)5若|a|1，|b|2，a與b的夾角為60°，若(3a5b)(mab)，則m的值為_答案解析由題意知(3a5b)·(mab)3ma2(5m3)a·b5b20，即3m(5m3)×2×cos 60°5×40，解得m.6若(sin ，1)，(2sin ，2cos )，其中，則|的最大值為_答案3解析(sin ，2cos 1)| ，當(dāng)cos 1，即0時(shí)，|取得最大值3.7已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量

13、b滿足b·e1b·e21，則|b|_.答案解析因?yàn)閨e1|e2|1且e1·e2.所以e1與e2的夾角為60°.又因?yàn)閎·e1b·e21，所以b·e1b·e20，即b·(e1e2)0，所以b(e1e2)所以b與e1的夾角為30°，所以b·e1|b|·|e1|cos 30°1.|b|.8已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|，則·_.答案解析由弦長|AB|，可知ACB60°，··|cosACB.9單位圓上三點(diǎn)A，B，

14、C滿足0，則向量，的夾角為_答案120°解析A，B，C為單位圓上三點(diǎn)，|1，又0.2()2222·，可得cos，.又，0°，180°，向量，的夾角為120°.10在ABC中，點(diǎn)O在線段BC的延長線上，且|3|，當(dāng)xy時(shí)，xy_.答案2解析由|3|，得3，則，所以().所以x，y，所以xy2.11已知向量a(1，1)，b(1，1)，設(shè)向量c滿足(2ac)·(3bc)0，則|c|的最大值為_答案解析將2a，3b，c的起點(diǎn)都移到坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖(2ac)·(3bc)0，即ACBC.又ab，即OAOB，O，A，C，B共圓|c|的最大值

15、即為圓的直徑AB.二、解答題12已知(1，0)，(0，1)，(t，t)(tR)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若A，B，M三點(diǎn)共線，求t的值；(2)當(dāng)t取何值時(shí)，·取到最小值？并求出最小值解(1)(1，1)，(t1，t)A，B，M三點(diǎn)共線，與共線，t(t1)0，t.(2)(1t，t)，(t，1t)，·2t22t22，易知當(dāng)t時(shí)，·取得最小值.13如圖，在同一平面內(nèi)，AOB150°，AOC120°，|2，|3，|4.(1)用和表示；(2)若，求的值解由題意，得BOC90°，以O(shè)C所在的直線為x軸，以BO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

16、則O(0，0)，A(1，)，B(0，3)，C(4，0)(1)設(shè)12，則(1，)1(0，3)2(4，0)(42，31)，1，2，.(2)設(shè)D(x，y)，(x1，y)(5，)，D(51，)，(51，3)·0，(51)×5(3)×()0，解得.三、探究與拓展14已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_答案解析，·()·()2(1)·29(1)×3×2×40，.15在RtABC中，已知A90°，BCa，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時(shí)，·的值最大？并求出這個(gè)最大值解方法一如圖，·0.，·()·()····a2··0a2·()a2·a2a2cos .故當(dāng)cos 1，即0°(與方向相同)時(shí)，·的值最大，其最大值為0.方法二以直角頂點(diǎn)A