高三一輪復(fù)習(xí)《不等式》

1、第五部分：不等式專題（線性規(guī)劃，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)，考試中涉及的考點(diǎn)也很多，從江蘇目前的高中數(shù)學(xué)要求來(lái)說(shuō)，除了不等式證明以外，其他形式的考察還是很多的。就內(nèi)容來(lái)說(shuō)，這部分分為高一難度和高考難度；從題型上來(lái)說(shuō)，包含：線性規(guī)劃，基本不等式，解不等式，不等式包（能）成立，還有一些轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題的題型。高一難度的不等式問(wèn)題主要是線性規(guī)劃，基本不等式的常規(guī)考察，解不等式（包含含參形式）,涉及常規(guī)函數(shù)的不等式包（能）成立問(wèn)題。1、線性規(guī)劃（1）掌握好線性規(guī)劃，首先需要知道，線性規(guī)劃的考題特點(diǎn)：已知條件一般是一個(gè)不等式組或者一條曲線方程，問(wèn)題一般是求解一個(gè)含有兩個(gè)變量式

2、子的范圍、最值。所以，有的時(shí)候是要根據(jù)題目的條件形式和所求問(wèn)題的形式，將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。比如：已知等差數(shù)列an,a51,a82,則配的取值范圍是（2）線性規(guī)劃性的常規(guī)考題相對(duì)簡(jiǎn)單一些，從問(wèn)題來(lái)說(shuō)有三個(gè)常見形式：（1）截距型：axby;（2）距離型：fxa2yb2;（3）斜率型：工業(yè)；如果直接考這幾個(gè)類型倒還好x比如：已知x, y滿足條件x0 2y 00 ,則2x y的最大值是(3)比如:y 12的最小值是工的取值范圍是 x 3有的時(shí)候會(huì)求解不等式組對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積等稍微活一點(diǎn)的題目。2x y已知P(a,b)滿足不等式組2y y00 ，則P所在區(qū)域的面積是4 0已知x,y滿足條件02

3、y0使得ax y取得最大值的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值是已知x,y滿足條件02y00,且axy在點(diǎn)(1,0)處取得最大值，則實(shí)數(shù)ax比如：已知x, y滿足條件xy的范圍是(4)稍微難的是需要轉(zhuǎn)化為這幾個(gè)類型的的時(shí)候要能夠看得出。022y10,則xy2x5y26y的取值范圍是0(x1)2、解不等式解不等式分為含參和不含參之分，普通解不等式倒還好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分?jǐn)?shù)不等式（注意分母不為零），指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式，還是需要用“換元”解決的一些復(fù)合不等式，都還不算難；有時(shí)候可以用函數(shù)單調(diào)性解不等式，但是需要考慮定義域，這個(gè)需要在解題的時(shí)候能夠想到，一般會(huì)條件這么給“已知或者能求出單

4、調(diào)性，知道函數(shù)的零點(diǎn)”。另外需要注意的是，其實(shí)解不等式和解方程的過(guò)程是差不多的，所以不等式的解集中式“邊界”和不等1 1式對(duì)應(yīng)的根式有關(guān)系的，比如：已知不等式ax2bx10的解是-x-,則不等2 3式x2bxa0的解是.解含參不等式是相對(duì)難一點(diǎn)的，不過(guò)過(guò)了高一后，真正到后面的函數(shù)學(xué)習(xí)中，又不多見這種情況，只是作為不等式的內(nèi)容之一，也要好好的學(xué)一學(xué)，理清楚分類討論的思路和步驟。而含參不等式中，最為重要的就是一元二次不等式的分類討論，因?yàn)樵诟叨鶎W(xué)的導(dǎo)數(shù)那部分知識(shí)中會(huì)涉及這個(gè)內(nèi)容。關(guān)于這個(gè)分類討論，條理性要注意的：首先考慮是否是一元二次不等式，其次考慮對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的情況（是否有根，有幾個(gè)根

5、,大小怎么樣，是否在定義域中)，最后根據(jù)題目變量x的取值范圍去得出不等式的解集例1、解不等式x2(a-)x10(a0)a111分析：首先因式分斛(xa)(x一)，一次函數(shù)y(xa)(x一)的兩根為x1a,X2一,aaa解應(yīng)該是兩根之間，但是兩根大小關(guān)系不確定，這就需要進(jìn)行分情況討論，。1-一,。1一一1。1一1a-,解不存在；2a一，即a1或1a0,xa;3a,即a1aaaa1或0a1,ax一a例2、解不等式：ax2a1x10分析：因式分解(ax1)(x1)0,考慮到影響因素，到底解是在兩根之間還是兩根之外是由二次項(xiàng)系數(shù)決定的，所以a的取值是關(guān)鍵，聯(lián)系到二次函數(shù)y(ax1)(x1),兩根為x1

6、1°a0,不等式變?yōu)閤10,解為x1,。1.12a0,一1,x2xx1，斛為1x-，aa1的大小關(guān)系不一定，這個(gè)時(shí)候就需要進(jìn)行二者的討論,1 1 一當(dāng) > 1時(shí)，即a 1 , x 或xaa一,、1時(shí)，x 1或x 一 a111,當(dāng) 一二1 時(shí)，即 a 1 , x 1,當(dāng)一 aa例3、解不等式m21x24x10m分析：當(dāng)m+1=0時(shí),它是一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式；當(dāng)m+11時(shí)，還需對(duì)m+1>0及m+1<0來(lái)分類討論，并結(jié)合判別式及圖象的開口方向進(jìn)行分類討論：(1)當(dāng)m<1時(shí)，=4(3m)>0,圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取兩邊。當(dāng)一1&

7、lt;m<3時(shí)，=4(3-m)>0,圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取中間。當(dāng)m=3時(shí)，/=4(3-m)=0,圖象開口向上，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不等式的解為方程4x24x10的根。當(dāng)m>3時(shí)，=4(3-m)<0,圖象開口向上全部在x軸的上方，不等式的解集為。3、不等式恒成立、不等式有解常見方法1)恒成立問(wèn)題( 1)若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fxminA( 2)若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxB( 3)特別的，若上述的fxmaxfxmin取不到，則最后的參數(shù)范圍需要加上“=”( 4)有一些可以轉(zhuǎn)化為恒成

8、立問(wèn)題的，比如：“函數(shù)fx的圖像橫在gx的圖像的上方fxgx恒成立”。2)能成立問(wèn)題(也就是有解問(wèn)題)若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式fxA成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上xmaxA；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxB成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的XminB.3）恰成立問(wèn)題（相對(duì)少見）若不等式fxA在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式fxA的解集為D;若不等式fxB在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式fxB的解集為D.以上題型和方法在函數(shù)解答題的材料中有涉及，這里就不具體展開了。4、基本不等式、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、基本不等式原始形式：（1）若a,bR,則a2b22ab（2）若a,bR,則22abab22、基本不等式一般

9、形式：右a,bR,則ab2Vab3、基本不等式的兩個(gè)重要變形：（1）若a,bR*,則圣朝（2）若a,bR*,則22abab2總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值;當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值;特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”*/,2.25、常用：若a,bR,則，、前4ab1122ab特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二、題型分析題型：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）1、已知x2,求函數(shù)y4.一,一2x4的取小值;2x42、已知X5,求函數(shù)y4X2，的最大值;44x5題型：工5用“1”的代換求最值問(wèn)題或者兩者相乘.一

10、11一1、已知a,bQa2b1,求t-的最小值;ab法二:11變式：已知a,b0,a2b1,求一的取小值;a1b一b1一變式：已知a,b0,a2b1,求一的取小值;a1b21.變式：已知a,b0,ab2a1,求一一的取小值;ba變式:已知a21ababa2的最小值;變式:已知a0,ab2b'求廠目的最小代變式:已知a0,ab2,求a21ab2的最小值;b1變式:已知xn包成立，如果nN，求n的最小值;xz（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）變式：已知x,y0,-xy1,求xy的最小值;變式：已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足:a?a62a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得14一一.yaman4a1，求一的取小值;mn題型：分離換元法求最值（了解）1、求函數(shù)yx27x101(x1)的值域;變式：求函數(shù)x28yo(x1)的最小值;2、求函數(shù)y的最大值；（提示：換元法）2x5變式：求函數(shù)y二的最大值;題型：基本不等式的綜合應(yīng)用1、已知log2alog2b1,求3a9b的最小值2、已知a,b0,求1b2面的最小代3、已知x,y0,x2y2xy8,求x2y最小值;變式1:已知a, b0 ,滿足ab a b 3 ,求ab范圍;變式2:已知x,y0,1,求xy最大值；（提示：通分或三角換元）2x2y3變