必修一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)習(xí)題精選含答案15

1、抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性1.抽象函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性例1.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)且有最小值為5,那么f (x)在區(qū)間7，3上是()A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選Bo2、抽象函數(shù)的圖像求不等式的解集例2、定義在R上的偶函數(shù)f (x)滿足f(2) 0，并且f (x)在(,0)上為增函數(shù)。假設(shè)(a 1)f (a) 0，那么實數(shù)a的取值范二、抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性1.證明單調(diào)性例3 .函數(shù)f(x)=,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)0,g(x) 1g(1) =2,g(x)是

2、增函數(shù).g(m)g(n) g(m n)(m,n R).求證：f(x)是R上的增函數(shù).解:設(shè)X1X2因為，g(x)是R上的增函數(shù),且g(x)0。故 g(x 1) g(x 2) 0 o g(xJ+1 g(x 2)+1 0 ,222 2 0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1g(xj 10 of(x 1)- f(x2)=皿Jg(xj 1gg) 1g%) 122=12(1-2)g(xj 1 gg) 10g(xj 1可以推出:f(x 1)f(x 2)，所以 f(x)是 R上的增函數(shù)。例4.f(x)對一切X, y，滿足f (0)0, f(x y) f(x) f(y)，且當(dāng)2f(x)在 R0時,上為減函

3、數(shù)。證明： 對一切 x，y R有 f (x y) f (x) f (y)。且 f (0)0，令 x y 0，得 f (0)1， 現(xiàn)設(shè) x 0，貝S x 0， f( x) 1，而 f (0) f(x) f( x) 11 、f ( x)10 f(x) 1，設(shè) X1，X2 R 且 x1 x2，f (x)貝S 0 f (x2 x1) 1， f (x2) f (x2 x1) x1f (x2 x1) f(x1) f (x1)0 f(x) 1;xf (x1) f (x2)，即 f (x)為減函數(shù)。x 0時，f (x)1 ,求證：12.證明奇偶性f(y),例5.f (x)的定義域為R,且對任意實數(shù)x ,y滿足

4、f(xy) f(x)求證：f(x)是偶函數(shù)。分析：在 f(xy) f (x) f (y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f ( 1 x) f ( 1) f (x) f(x)，故 f (x)是偶函數(shù)。三、求參數(shù)范圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中， 關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇 偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“ f符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例6.f(x)是定義在1, 1丨上的偶函數(shù)，且在0, 1上為增 函數(shù)，滿足f(a 2)f(4 a2

5、)0，試確定a的取值范圍。解：f(x)是偶函數(shù)，且在0，1上是增函數(shù)，f(x)在(1，0)上是減函數(shù)，丄 1 a 21 /口 廠廠由2 得3 a .5。1 4 a2 11當(dāng)a 2時，f(a 2) f (4 a2) f (0)，不等式不成立。2當(dāng),3 a 2 時，f(a 2)f(4 a2)1 a 202 2f (a 4)1 a 40a 2a4解之得，3a 23當(dāng) 2a 5時，f (a 2) f (4 a2)0 a21f(a24)0 a241a 22 a4解之得，2a , 5綜上所述，所求a的取值范圍是3，2) (2，. 5)四、不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)

6、的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例7.函數(shù)f (x)對任意x，y R有f (x) f (y)2 f (x y)，當(dāng)x 0時，f(x) 2， f (3)5，求不等式f(a2 2a 2)3的解集f(X2 xj 2，那么解：設(shè) Xq x R且 X1 x，那么 X2 X10f(X2)f(Xi),故 f (X)為增函數(shù)，又 f (3) f (21) f (2) f (1)2 3f (1) 4522f(1) 3 f (a 2a 2) 3 f(1),即 a2a 2 11 a 3因此不等式f (a2 2a 2) 3的解集為a| 1 a 3。五、綜合問題求解解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義

7、域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“f 前的“負(fù)號，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“ f 。例8.設(shè)函數(shù)y f(x)定義在R上，當(dāng)x 0時，f(x) 1,且對任意m，n， 有 f (m n) f (m) f (n)，當(dāng) m n 時 f (m) f(n)。 1證明 f (0)1 ；2證明:f(x)在 R上是增函數(shù)；3設(shè) A (x，y)|f(x2) f (y2) f (1)， B ( x，y)| f (ax by c) 1，a，b，c R，a 0，假設(shè) A B ，求 a，b，c滿足的條件。解：1令 m n 0得 f (0)f(0) f(0)，f(0) 0 或 f (0)1。假設(shè)f (0)

8、0,當(dāng)m 0時，有f (m 0) f (m) f(0)，這與當(dāng)m n時,f(m) f(n)矛盾， f(0)1。2設(shè) X1x2，那么 X2X10，由得 f (X2 xj1，因為 X10，f (X1) 1，假設(shè)X1 0 時，X10，f( X1) 1，由 f (0)f(x1) f( X1)1f (X1)0， f (X2) f (X2 X1) f (X1) f (X1) f (x)在 R上為增函數(shù)。f ( X1)3由 f(x2) f (y2) f(1)得 x2 y2 1 (1)f (ax by c) 1 得 ax by c 0 2從1、 2中消去 y 得(a2 b2)x2 2acx c2 b2 0，因

9、為 A B(2ac)24(a2 b2)(c2 b2)0 即 a2 b2 c2。例9.f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，且f(1) 1,假設(shè)a,b 1,1 時，有f(aLl(b) o. 1判斷函數(shù)fg在【1,1上是增函數(shù)，還是減函a b數(shù)，并證明你的結(jié)論；2解不等式：f (X+1) vf(丄).2x 1解：1設(shè)任意X1, X2 1,1 ,且X1X2.由于f (x)是定義在1,1 上的奇函數(shù)，f(X2) f(X1)=f (X2)+f ( X1).因為 X1 0,V X2+( Xj=X2 X10X2( X1 ) f(X2)+f( X1)0,即 f(X2) f(X1),所以函數(shù) f (x)在1,1 上是增函數(shù).1 X 12由不等式f(x+!) v f(丄)得2,解得一1x0,2X 111X 11 1X2x 1即為所求.例10、設(shè)函數(shù)y