《近世代數(shù)》模擬試題1及答案

1、施近世代數(shù)模擬試題一.單項(xiàng)選擇題（每題5分，共25分）1、在整數(shù)加群（Z, +）中，下列那個(gè)是單位元（）.A. 0 B. 1 C.1 D. 1/n, n 是整數(shù)2、下列說法不正確的是（）.A . G只包含一個(gè)元g,乘法是gg=g。G對這個(gè)乘法來說作成一個(gè)群B . G是全體整數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個(gè)群 ；C . G是全體有理數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個(gè)群 ；D. G是全體自然數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個(gè)群.3. 如果集合M的一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，則 不一定具備的是（）.A .反身性 B. 對稱性 C. 傳遞性 D. 封閉性4. 對整數(shù)加群Z來說，下列 不正確的是（）.A. Z

2、沒有生成元.B. 1 是其生成元.C. 1是其生成元.D. Z是無限循環(huán)群.5. 下列敘述正確的是（）。A.群G是指一個(gè)集合.B.環(huán)R是指一個(gè)集合.C.群G是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.D.環(huán)R是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.二 . 計(jì)算題 （ 每題 10 分，共 30 分 ）1. 設(shè) G 是由有理數(shù)域上全體2 階滿秩方陣對方陣普通乘法作成1213的群，或求中G中下列各個(gè)兀素c, d,cd ,01,0 1,.2. 試求出三次對稱群S3(1),(12),(13),(23),(123),(132)的所有子群.3. 若e是環(huán)R的惟

3、一左單位元，那么e是R的單位元嗎若是請給予證明.三 . 證明題 （ 第 1 小題 10 分，第 2 小題 15 分，第 3 小題 20 分，共 45 分 ）.1. 證明 : 在群中只有單位元滿足方程2x x.2. 設(shè)G是正有理數(shù)乘群，G是整數(shù)加群.證明：:2ngb a na是群G到G的一個(gè)滿同態(tài)，其中 a,b是整數(shù)，而（ab,2）1 .3. 設(shè)S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán).證明：如果R與S都有單位元，但不相等，則S的單位元必為R的一個(gè)零因子.近世代數(shù)模擬試題答案2008 年 11 月（ 每題 5 分，共 25 分 ）1. A 2. D 3. D4 . A5 . C計(jì)算題 （ 每題 10 分，共 30 分

4、 ）1. 解：易知 c 的階無限，（3d 的階為 2.但是cd1101分）3 分）2 分）2.2 分）2 .解：S3的以下六個(gè)子集Hi(1) , %(1),(12),也 (1),(13),H4(1),(23) , H5(1),(123),(132),出S3(7 分)對置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子集.（3分）3 .解：e是R的單位元。事實(shí)上，任取a, b R,則因e是R的左單位元，故（ae a e）b a（eb） ab eb ab ab b b,即ae a e也是R的左單位元。故有題設(shè)得ae a e e, ae a.即 e是R的單位元.三、證明題（每小題15分共45分）1. 證明：設(shè)e是G的單位元，則e顯然滿足所說的方程（3分）2另外，設(shè)a G且a a ,則有a 1a2 a 1a, 即 a e ,（5分）即只有e滿足方程x2 x ,（2分）2.證明：顯然是G到G的一個(gè)滿射（3分）又由于 當(dāng)（ab,2）1, （cd,2） 1時(shí)有(4分)(abcd,2) 1/on b om dn m bd、（22）（2） n m且a cac（6 分）（2n -） （2m d）.a c故 是群G到G的一個(gè)同態(tài)滿射。（2分）3 證明：分別用e和e表示R與S的單位元，且e e ,于是e不是r的單位元。（3分）因此，存在0 a R,使ae a或 ea a（5 分）如果ae