第12章非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜

1、第第12章章 非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜12-1 12-1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)12-2 12-2 周期函數(shù)分解為傅里葉周期函數(shù)分解為傅里葉( (Fourier) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)12-3 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率12-4 12-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦非正弦電壓或電壓或 電流電流12-1 12-1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)1 1、概念、概念 線(xiàn)性電路中，當(dāng)有一個(gè)正弦電源作用或多個(gè)同頻電源同時(shí)線(xiàn)性電路中，當(dāng)有一個(gè)正弦電源作用或多個(gè)同頻電源同時(shí)作用時(shí)，電路各部分的穩(wěn)態(tài)電壓、電流都是同頻的正

2、弦量。作用時(shí)，電路各部分的穩(wěn)態(tài)電壓、電流都是同頻的正弦量。 但在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通常還會(huì)遇到按非正弦規(guī)律但在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通常還會(huì)遇到按非正弦規(guī)律變動(dòng)的電源和信號(hào)。此時(shí)電路中將產(chǎn)生非正弦的電壓和電流。變動(dòng)的電源和信號(hào)。此時(shí)電路中將產(chǎn)生非正弦的電壓和電流。線(xiàn)性線(xiàn)性電路電路同頻同頻正弦正弦電源電源非正弦信號(hào)非正弦信號(hào) 幾個(gè)例子：幾個(gè)例子： 實(shí)際的交流發(fā)電機(jī)發(fā)出實(shí)際的交流發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓波形；的電壓波形； 收音機(jī)、電視機(jī)收到的收音機(jī)、電視機(jī)收到的信號(hào)電壓或電流；信號(hào)電壓或電流； 應(yīng)用于自動(dòng)控制、計(jì)算應(yīng)用于自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域的脈沖信號(hào)。機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域的脈沖信號(hào)。同頻同頻正弦正弦穩(wěn)態(tài)

3、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)響應(yīng) 非線(xiàn)性非線(xiàn)性電路電路激勵(lì)激勵(lì)非正弦非正弦電壓或電壓或 電流電流 另外，如果電路中存在非線(xiàn)另外，如果電路中存在非線(xiàn)性元件，即使在正弦電源的作用性元件，即使在正弦電源的作用下，電路中也將產(chǎn)生非正弦的電下，電路中也將產(chǎn)生非正弦的電壓和電流。壓和電流。 非正弦電流可分為周期的和非周期的兩種。本章非正弦電流可分為周期的和非周期的兩種。本章主要討論主要討論在非正弦周期電壓、電流或信號(hào)的作用下，在非正弦周期電壓、電流或信號(hào)的作用下，線(xiàn)性電路線(xiàn)性電路的穩(wěn)態(tài)分的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法。析和計(jì)算方法。2 2、非正弦周期電流、電壓波形、非正弦周期電流、電壓波形O Ot ti iT T脈沖波形脈沖波形方波電

4、壓方波電壓O Ot tu uT TO Ot tu uT T2 2T T鋸齒波鋸齒波3 3、諧波分析法、諧波分析法 線(xiàn)性電路在非正弦周期量作用下的穩(wěn)態(tài)分析方法線(xiàn)性電路在非正弦周期量作用下的穩(wěn)態(tài)分析方法：首先應(yīng)：首先應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)( (Fourier) )展開(kāi)方法，將非正弦周期激勵(lì)電壓、電展開(kāi)方法，將非正弦周期激勵(lì)電壓、電流或信號(hào)流或信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦量之和分解為一系列不同頻率的正弦量之和，再根據(jù)線(xiàn)性電，再根據(jù)線(xiàn)性電路的疊加定理，路的疊加定理，分別計(jì)算在各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)分別計(jì)算在各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)生的同頻率正弦電流分量和電壓分量生的同頻率正弦電流分

5、量和電壓分量；最后，把所得；最后，把所得分量按時(shí)分量按時(shí)域形式疊加域形式疊加，就可以得到電路在非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流，就可以得到電路在非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。和電壓。 非正弦非正弦周期量周期量( (激勵(lì)激勵(lì)) )不同頻率不同頻率正弦量的和正弦量的和各個(gè)正弦量各個(gè)正弦量單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下的響應(yīng)分量的響應(yīng)分量非正弦非正弦穩(wěn)態(tài)量穩(wěn)態(tài)量( (響應(yīng)響應(yīng)) )FourierFourier正弦穩(wěn)態(tài)分析正弦穩(wěn)態(tài)分析疊加定理疊加定理？ 諧波分析法的諧波分析法的實(shí)質(zhì)是把非正弦周實(shí)質(zhì)是把非正弦周期電流電路的計(jì)算期電流電路的計(jì)算化為一系列正弦電化為一系列正弦電流電路的計(jì)算。流電路的計(jì)算。諧波分析法示意

6、圖：諧波分析法示意圖：12-2 12-2 周期函數(shù)分解為傅里葉周期函數(shù)分解為傅里葉( (Fourier) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 周期電流、電壓信號(hào)等都可用一個(gè)周期函數(shù)周期電流、電壓信號(hào)等都可用一個(gè)周期函數(shù)f(t)=f(t+kT)來(lái)表來(lái)表示，式中示，式中T T為周期函數(shù)為周期函數(shù)f(t)的周期，的周期，k=0=0，1 1，2 2，。若若f(t)滿(mǎn)足狄滿(mǎn)足狄里赫利條件，則可展開(kāi)為收斂的傅里葉級(jí)數(shù)：里赫利條件，則可展開(kāi)為收斂的傅里葉級(jí)數(shù)：)sin()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 1110)sin()cos(kkktkb

7、tkaa 其中各個(gè)系數(shù)按下式求解：其中各個(gè)系數(shù)按下式求解： 22)(1)(100TTdttfTdttfTaT TkdttktfTa01)cos()(2 22)cos()(21TTdttktfT 2011)()cos()(1tdtktf )()cos()(111tdtktf, 3 , 2 , 1 k TkdttktfTb01)sin()(2 22)sin()(21TTdttktfT 2011)()sin()(1tdtktf )()sin()(111tdtktf, 3 , 2 , 1 k 1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf 工程上傅里葉級(jí)數(shù)常用另一種形式：工程上傅里葉級(jí)數(shù)常用

8、另一種形式：)cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1kkmtkA 110)cos(kkkmtkAA )sin()cos(11tkbtkakk )sin()cos(12212222tkbabtkbaabakkkkkkkk )cos(1kkmtkA , 3 , 2 , 1 k)sin()cos(11tkbtkakk )sin()cos(12212222tkbabtkbaabakkkkkkkk )cos(1kkmtkA 22kkkmbaA kmkAa cos kmkAb sin )/arctan(kkkab 比較可知比較可知00aA T/21 1110)sin(

9、)cos()(kkktkbtkaatf 110)cos()(kkkmtkAAtf 周期函數(shù)周期函數(shù)f(t)的恒定分量的恒定分量( (或直流分量或直流分量) )cos(111 tAm0A稱(chēng)為稱(chēng)為1 1次諧波次諧波( (或基波分或基波分量量) )，它的周期，它的周期( (或頻率或頻率) )與原函數(shù)與原函數(shù)f(t)相同。相同。其他各項(xiàng)其他各項(xiàng)統(tǒng)稱(chēng)為高次諧波，即統(tǒng)稱(chēng)為高次諧波，即2 2次、次、3 3次、次、諧波。諧波。 為了直觀地表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)后包含哪為了直觀地表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占的些頻率分量以及各分量所占的“比重比重”，用長(zhǎng)度與各次諧波振

10、，用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小相對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來(lái)，幅大小相對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來(lái)，這樣得到的圖形稱(chēng)為該周期函數(shù)的幅度頻譜這樣得到的圖形稱(chēng)為該周期函數(shù)的幅度頻譜( (圖圖) )。 由于各諧波的角頻率是基波頻率的整數(shù)倍，所以這種頻由于各諧波的角頻率是基波頻率的整數(shù)倍，所以這種頻譜是離散的，又稱(chēng)為有線(xiàn)頻譜。譜是離散的，又稱(chēng)為有線(xiàn)頻譜。O OkmA1 k1 12 13 14 15 如果把各次諧波的初相用相應(yīng)的線(xiàn)段依次排列，那么得到如果把各次諧波的初相用相應(yīng)的線(xiàn)段依次排列，那么得到的頻譜稱(chēng)為相位頻譜。的頻譜稱(chēng)為相位頻譜。 本書(shū)中頻譜專(zhuān)指幅度頻譜。本書(shū)中頻

11、譜專(zhuān)指幅度頻譜。例例12.112.1 求圖示周期性矩形信號(hào)求圖示周期性矩形信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其頻譜。的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其頻譜。Of (t)TT/2 2t1 tEm- Emf(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為解：解：f (t)=Em 0t (T/2)f (t)=Em (T/2)t T則則0)(100 TdttfTa 2011)()cos()(1tdtktfak 011)()cos(1tdtkEm 211)()cos(1tdtkEm0)()cos(2011 tdtkEm 2011)()sin()(1tdtktfbk 011)()sin(1tdtkEm 211)(

12、)sin(1tdtkEm 011)()sin(2tdtkEm 01)cos(12tkkEm )cos(1 2 kkEm 為奇數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)為偶數(shù)kkEkm 40)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm 因此可得因此可得)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm EmEmf (t)t1 Akm1 kO1 13 15 17 mE4 34mE 54mE 74mE諧波合成諧波合成頻譜頻譜利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)1. f (t)= f (t) )()sin()(111tdtktfbk

13、 011)()sin()(1 tdtktf 011)()sin()(1tdtktf 011)()sin()(1 tdtktf 011)()sin()(1tdtktf 011)()sin()(1 tdtktf 011)()sin()(1tdtktf0 偶函數(shù)，關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)偶函數(shù)，關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)Of (t)T/2tT/22. f (t)=f (t) )()cos()(111tdtktfak 011)()cos()(1 tdtktf 011)()cos()(1tdtktf 011)()cos()(1 tdtktf 011)()cos()(1tdtktf 011)()cos()(1 tdtktf 011

14、)()cos()(1tdtktf0 奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)Of (t)T/2tT/23. 022 kkba奇諧波函數(shù)，鏡對(duì)稱(chēng)奇諧波函數(shù)，鏡對(duì)稱(chēng))()(2Ttftf Of (t)T/2tT4. 4. 任意一個(gè)函數(shù)都可以分為兩個(gè)這樣的函數(shù)之和：任意一個(gè)函數(shù)都可以分為兩個(gè)這樣的函數(shù)之和：)()()(tftftfoe 其中其中)()(21)(tftftfe )()(21)(tftftfo 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)三角函數(shù)系及其正交性三角函數(shù)系及其正交性1 1、三角函數(shù)系、三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)

15、的乘積在區(qū)間三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間, 上的積分等于零。上的積分等于零。2 2、三角函數(shù)系的正交性、三角函數(shù)系的正交性 0cosnxdx 0sinnxdx), 3 , 2 , 1( n), 3 , 2 , 1( n 0cossinnxdxkx), 3 , 2 , 1,( nk 0coscosnxdxkx), 3 , 2 , 1,(nknk 0sinsinnxdxkx), 3 , 2 , 1,(nknk 12-3 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1 1、有效值、有效值 對(duì)任何一個(gè)周期電流對(duì)任何一個(gè)周期電流 i 的有效值的有效值 I 定義為定義為T(mén)dtt

16、iTI02)(1設(shè)非正弦周期電流設(shè)非正弦周期電流 i 可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)可以分解為傅里葉級(jí)數(shù) 110)cos()(kkkmtkIIti 將將 i 代入有效值公式，則得此電流有效值為代入有效值公式，則得此電流有效值為均方根均方根TkkkmdttkIITI02110 )cos(1TkkkmdttkIITI02110 )cos(1上式中的平方項(xiàng)展開(kāi)后將含有下列各項(xiàng)：上式中的平方項(xiàng)展開(kāi)后將含有下列各項(xiàng)：200201IdtITT2201222/)(cos1kkmTkkmIIdttkIT0)cos(21010TkdttkIT0)cos()cos(21011TqqmkkmdttqItkIT)(qk 則則

17、i 的有效值為的有效值為 122023222120kkIIIIIIIi 的有效值為的有效值為 122023222120kkIIIIIII即即非正弦周期電流的有效值等于非正弦周期電流的有效值等于恒定分量的平方恒定分量的平方與與各次諧各次諧波有效值的平方波有效值的平方之和的平方根之和的平方根。 110)cos()(kkkmtkUUtu 122023222120kkUUUUUUU則其有效值為則其有效值為 此結(jié)論可以此結(jié)論可以推廣推廣用于其他非正弦周期量。如果非正弦用于其他非正弦周期量。如果非正弦周期電壓的表達(dá)式為周期電壓的表達(dá)式為2 2、平均值、平均值以電流以電流 i 為例，其定義如下：為例，其定義

18、如下：dtiTITav0|1即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對(duì)值的平均值。即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對(duì)值的平均值。正弦電流的平均值為正弦電流的平均值為dttTIdttITITmTmav4/00)cos(4| )cos(|1IItTImTm898. 0637. 0)sin(44/0 它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)過(guò)全波整流后的平均值，這是因?yàn)樗喈?dāng)于正弦電流經(jīng)過(guò)全波整流后的平均值，這是因?yàn)槿‰娏鞯慕^對(duì)值相當(dāng)于把負(fù)半周的值變?yōu)閷?duì)應(yīng)的正值。取電流的絕對(duì)值相當(dāng)于把負(fù)半周的值變?yōu)閷?duì)應(yīng)的正值。3 3、測(cè)量?jī)x表的使用、測(cè)量?jī)x表的使用 對(duì)非正弦周期電流電路的測(cè)量，使用不同的測(cè)量?jī)x表對(duì)非正弦周期電流電路的測(cè)量

19、，使用不同的測(cè)量?jī)x表將得出不同的結(jié)果。將得出不同的結(jié)果。磁電系儀表磁電系儀表( (直流儀表直流儀表) )恒定分量恒定分量TidtT01電磁系儀表電磁系儀表有效值有效值TdtiT021全波整流儀表全波整流儀表平均值平均值TdtiT0|14 4、非正弦周期電流電路的平均功率、非正弦周期電流電路的平均功率N N+ +_ _u ui i 110)cos()(kkkmtkUUtu 若若 110)cos()(qiqqmtqIIti 則任意一端口吸收的瞬時(shí)功率為則任意一端口吸收的瞬時(shí)功率為 )cos()cos(110110 qiqqmkukkmtqIItkUUuip 11011000)cos( )cos(k

20、ukkmqiqqmtkUItqIUIU 1111)cos()cos(qiqqmkukkmtqItkU 該一端口吸收的平均功率定義為該一端口吸收的平均功率定義為 TdttpTP0)(1 11011000)cos( )cos(kukkmqiqqmtkUItqIUIUp 1111)cos()cos(qiqqmkukkmtqItkU 經(jīng)分析可知經(jīng)分析可知dttkItkUTIUPkTikkmukkm 101100)cos()cos(1 22211100coscos IUIUIU其中其中2/ 2/kmkkmkIIUU ikukk , 3 , 2 , 1 k結(jié)論結(jié)論： 非正弦周期電流電路的非正弦周期電流電路

21、的平均功率平均功率等于等于恒定分量構(gòu)成的功率恒定分量構(gòu)成的功率和和各次諧波平均功率各次諧波平均功率的代數(shù)和。的代數(shù)和。注意注意：1)1)不同頻率的正弦電壓、電流不引起功率消耗。不同頻率的正弦電壓、電流不引起功率消耗。2)2)對(duì)一個(gè)電路來(lái)說(shuō)，不同頻率的電源產(chǎn)生的功率滿(mǎn)足可加性。對(duì)一個(gè)電路來(lái)說(shuō)，不同頻率的電源產(chǎn)生的功率滿(mǎn)足可加性。同頻率或直流電源所產(chǎn)生的功率不滿(mǎn)足可加性。同頻率或直流電源所產(chǎn)生的功率不滿(mǎn)足可加性。5 5、其他問(wèn)題、其他問(wèn)題1) 1) 非正弦周期電流電路無(wú)功功率的情況較為復(fù)雜，不予討論。非正弦周期電流電路無(wú)功功率的情況較為復(fù)雜，不予討論。2) 2) 非正弦周期電流電路視在功率的定義非

22、正弦周期電流電路視在功率的定義UIS 例例12.212.2Ati)60 3cos(3o1 Ati)45 3cos(3o3 Ati)30 cos(245o2 已知：已知：N N1i2i3iiA A求：電磁系電流表的讀數(shù)。求：電磁系電流表的讀數(shù)。解：解：321iiii Attt)45 3cos(3)60 3cos(3)30 cos(245ooo o1603 mIo3453 mIooo315 .5295. 5453603 mmII對(duì)三次諧波，有對(duì)三次諧波，有Atti)5 .52 3cos(95. 5)30 cos(245 oo AI66. 7)295. 5(45 222 讀數(shù)讀數(shù)12-4 12-4

23、非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算諧波分析法的具體步驟：諧波分析法的具體步驟： 1) 1) 把給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級(jí)把給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，要根據(jù)所需準(zhǔn)確度的高低數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，要根據(jù)所需準(zhǔn)確度的高低而定。而定。 2) 2) 分別求出電源電壓或電流的恒定分量及各次諧波分別求出電源電壓或電流的恒定分量及各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。對(duì)恒定分量，求解時(shí)把電容看成對(duì)恒定分量，求解時(shí)把電容看成開(kāi)路，把電感看成短路。開(kāi)路，把電感看成短路。對(duì)各次諧波分量可以用相量法求對(duì)各次諧波分量可以用相量法求

24、解，但要注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系。解，但要注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系。把各計(jì)算結(jié)果及把各計(jì)算結(jié)果及時(shí)轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式。時(shí)轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式。 3) 3) 應(yīng)用疊加定理，把步驟應(yīng)用疊加定理，把步驟 2) 2) 計(jì)算出的結(jié)果計(jì)算出的結(jié)果在時(shí)域在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行疊加內(nèi)進(jìn)行疊加，從而求得所需的響應(yīng)。，從而求得所需的響應(yīng)。注意注意：不同頻率的正弦電流相量或電壓相量不能直接相加。：不同頻率的正弦電流相量或電壓相量不能直接相加。諧波分析法的步驟圖示：（分析用相量法，疊加在時(shí)域內(nèi)）諧波分析法的步驟圖示：（分析用相量法，疊加在時(shí)域內(nèi)）RLC+_)(tusRLC+_)1(u+_+_)(ku0URL短短C開(kāi)開(kāi)+_0U)1(U

25、+_Lj1 Cj11 RLjk1 Cjk11 R)(kU+_ 例例12.312.3L LC C0i+ +)(tu1R2R1i2iVtttu)303cos(7 .70)cos(4 .14110)( o11 已已知知 21)1(LXL 1511)1(CXC 51R 102R求各支路電流。求各支路電流。解：解：電壓電壓u(t)的的直流分量單獨(dú)作用直流分量單獨(dú)作用時(shí)的電路如下圖所示，時(shí)的電路如下圖所示，此時(shí)電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路。此時(shí)電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路。C)0(0I+)0(U1R2R)0(1I)0(2I+ARUI25101)0()0(1 AI0)0(2 AIII2)0(2)0(1)0(0 電壓電壓u u( (t t) )的的基波分量單獨(dú)作用基波分量單獨(dú)作用時(shí)的電路如下圖所示，時(shí)的電路如下圖所示，此時(shí)應(yīng)使用相量法進(jìn)行計(jì)算，基波的角頻率就是此時(shí)應(yīng)使用相量法進(jìn)行計(jì)算，基波的角頻率就是1 1。)1(0I+)1(U1R2R)1(1I)1(2I)1(LX)1(CXVtu)cos(4 .1411)1( VUo)1(0100 250100 o)1(1)1()1(1jjX