第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析

1、第第八八章章 系統(tǒng)狀態(tài)變量分析系統(tǒng)狀態(tài)變量分析 8.1 8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程二、動(dòng)態(tài)方程的一般形式二、動(dòng)態(tài)方程的一般形式8.2 8.2 狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立一、電路狀態(tài)方程的列寫(xiě)一、電路狀態(tài)方程的列寫(xiě)二、二、由輸入由輸入- -輸出方程建立狀態(tài)方程輸出方程建立狀態(tài)方程 8.3 8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.4 8.4 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解8.5 8.5 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解第第八八章章 系統(tǒng)狀態(tài)變量分析系統(tǒng)狀態(tài)變量分析 前面的分析方法稱(chēng)為前面的分析方法稱(chēng)為

2、外部法外部法，它強(qiáng)調(diào)用，它強(qiáng)調(diào)用系統(tǒng)的輸系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)的特性入、輸出之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)的特性。其特點(diǎn)：。其特點(diǎn)：（1）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對(duì)于多輸入多輸出）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；（2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對(duì)系統(tǒng)的）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無(wú)所知，也無(wú)法控制內(nèi)部情況一無(wú)所知，也無(wú)法控制。 本章將介紹的本章將介紹的內(nèi)部法內(nèi)部法狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法是用是用n個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)變量的變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來(lái)描述系來(lái)描述系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)有

3、：統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；（3）一階方程組便于計(jì)算機(jī)數(shù)值求解。并容易推廣用）一階方程組便于計(jì)算機(jī)數(shù)值求解。并容易推廣用于時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)。于時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)。 8.1 8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念從一個(gè)電路系統(tǒng)實(shí)例引入從一個(gè)電路系統(tǒng)實(shí)例引入R1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au以以u(píng)(t)和和iC(t)為輸出為輸出 若還想了解內(nèi)部三個(gè)若還想了解內(nèi)部三個(gè)變量變量uC(t), iL1(t), iL2(t

4、)的變化情況。的變化情況。這時(shí)可列出方程這時(shí)可列出方程0dd12LLCiituCa0dd11111SCLLuutiLiR0dd22222CSLLuuiRtiL222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtuR1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au 這是由三個(gè)內(nèi)部變量這是由三個(gè)內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)構(gòu)成的一構(gòu)成的一階微分方程組。階微分方程組。 若初始值若初始

5、值uC(t0)、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，則根據(jù)已知，則根據(jù)tt0時(shí)時(shí)的給定激勵(lì)的給定激勵(lì)uS1(t)和和uS2(t)就可惟一地確定在就可惟一地確定在tt0時(shí)的解時(shí)的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。)()()()()()(21222titititutiRtuLLCSL 系統(tǒng)的輸出容易地由系統(tǒng)的輸出容易地由三個(gè)內(nèi)部變量和激勵(lì)求三個(gè)內(nèi)部變量和激勵(lì)求出：出：一組代數(shù)方程一組代數(shù)方程 狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義 系統(tǒng)在某一時(shí)刻系統(tǒng)在某一時(shí)刻t0的的狀態(tài)狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)是指表示該系統(tǒng)所必需最所必需最少少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和tt0時(shí)系

6、統(tǒng)的激勵(lì)，時(shí)系統(tǒng)的激勵(lì)，就能完全確定就能完全確定tt0時(shí)系統(tǒng)的全部工作情況。時(shí)系統(tǒng)的全部工作情況。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時(shí)間是描述狀態(tài)隨時(shí)間t 變化的一組變量，變化的一組變量，它們?cè)谀硶r(shí)刻的值就組成了系統(tǒng)在該時(shí)刻的它們?cè)谀硶r(shí)刻的值就組成了系統(tǒng)在該時(shí)刻的狀態(tài)狀態(tài)。 對(duì)對(duì)n階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)需有階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)需有n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，通常用個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。 說(shuō)明說(shuō)明（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線(xiàn)性組合；輸入的線(xiàn)性組合；（2）狀態(tài)變量應(yīng)線(xiàn)性獨(dú)立；）狀態(tài)變量應(yīng)線(xiàn)性獨(dú)立；（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的

7、）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的 。在初始時(shí)刻的值稱(chēng)為在初始時(shí)刻的值稱(chēng)為初始狀態(tài)初始狀態(tài)。二、狀態(tài)方程和輸出方程二、狀態(tài)方程和輸出方程在選定狀態(tài)變量的情況下在選定狀態(tài)變量的情況下 ，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時(shí)，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時(shí)，一般分一般分兩步兩步進(jìn)行：進(jìn)行：（1）第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量；）第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量； （2）第二步是用這些狀態(tài)變量來(lái)確定初始時(shí)刻以后的）第二步是用這些狀態(tài)變量來(lái)確定初始時(shí)刻以后的系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)輸出。 狀態(tài)變量是通過(guò)求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方狀態(tài)變量是通過(guò)求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)得到，該一階微分方程組稱(chēng)為程組來(lái)得到，該一階微分

8、方程組稱(chēng)為狀態(tài)方程狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程狀態(tài)方程描述了描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵(lì)激勵(lì)之間的關(guān)系之間的關(guān)系 。 而描述而描述輸出輸出與狀態(tài)變量和激勵(lì)之與狀態(tài)變量和激勵(lì)之間關(guān)系的一組間關(guān)系的一組代數(shù)方程代數(shù)方程稱(chēng)為稱(chēng)為輸出方程輸出方程 。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱(chēng)為通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱(chēng)為動(dòng)態(tài)方程動(dòng)態(tài)方程或或系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程。 對(duì)于一般的對(duì)于一般的n階多輸入階多輸入-多多輸出輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖連續(xù)系統(tǒng)，如圖 。xi(t0)f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)其狀態(tài)方程和輸出方程為其狀態(tài)方程和輸出方程為 pnpnnnnn

9、nnnppnnppnnfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxax22112211222212122221212121211112121111pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111寫(xiě)成矩陣形式：寫(xiě)成矩陣形式：狀態(tài)方程狀態(tài)方程)()()(tttBfAxx輸出方程輸出方程)()()(tttDfCxy其中其中A為為nn方陣，稱(chēng)為方陣，稱(chēng)為系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣，B為為np矩陣，稱(chēng)為矩陣，稱(chēng)為控制矩陣控制矩陣，C為為qn矩

10、陣，稱(chēng)為矩陣，稱(chēng)為輸出矩陣輸出矩陣，D為為qp矩陣矩陣 對(duì)對(duì)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)，類(lèi)似，類(lèi)似狀態(tài)方程狀態(tài)方程)()() 1(kkkBfAxx輸出方程輸出方程)()()(kkkDfCxy狀態(tài)變量分析的狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。8.2 8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程 首先選擇狀態(tài)變量首先選擇狀態(tài)變量 。通常選通常選電容電壓電容電壓和和電電感電流感電流為狀態(tài)變量。為狀態(tài)變量。 必須保證所選狀態(tài)變必須保證所選狀態(tài)變量為量為獨(dú)立的電容電壓獨(dú)立的電容電壓和獨(dú)立

11、的電感電流和獨(dú)立的電感電流。 (a) 任選兩個(gè)電容電壓獨(dú)立(b) 任選一個(gè)電容電壓獨(dú)立(c) 任選兩個(gè)電感電流獨(dú)立(d) 任選一個(gè)電感電流獨(dú)立uC1uC2uC3uC1uC2usiL1iL2iL3iL2iL1is四種非獨(dú)立的電路結(jié)構(gòu)四種非獨(dú)立的電路結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程狀態(tài)方程的建立：的建立：根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。由于由于tuCiCCddtiLuLLdd為使方程中含有狀態(tài)變量為使方程中含有狀態(tài)變量uC的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) ，可對(duì)接有可對(duì)接有該電容的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)該電容的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列寫(xiě)列寫(xiě)KCL電流方程；電流方程； 為使方程中含有狀態(tài)變量為使方程中含有狀態(tài)變量i

12、L的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) ，可對(duì)含有可對(duì)含有該電感的獨(dú)立回路該電感的獨(dú)立回路列寫(xiě)列寫(xiě)KVL電壓方程。電壓方程。 對(duì)列出的方程，只對(duì)列出的方程，只保留狀態(tài)變量和輸入激勵(lì)保留狀態(tài)變量和輸入激勵(lì)，設(shè)法，設(shè)法消消去其它中間的變量去其它中間的變量，經(jīng)整理即可給出，經(jīng)整理即可給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。 對(duì)于對(duì)于輸出方程輸出方程，通?？捎?，通?？捎糜^(guān)察法觀(guān)察法由電路直接列出。由電路直接列出。由電路圖直接列寫(xiě)狀態(tài)方程和輸出方程的步驟：由電路圖直接列寫(xiě)狀態(tài)方程和輸出方程的步驟： （1）選電路中所有）選電路中所有獨(dú)立的電容電壓和電感電流作為獨(dú)立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量；（2）對(duì)）對(duì)接有所選電

13、容的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出接有所選電容的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出KCL電流方程，電流方程，對(duì)對(duì)含有所選電感的獨(dú)立回路列寫(xiě)含有所選電感的獨(dú)立回路列寫(xiě)KVL電壓方程；電壓方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激勵(lì)以外的非狀）若上一步所列的方程中含有除激勵(lì)以外的非狀態(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)膽B(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)腒CL、KVL方程方程將它們消去將它們消去，然后整理給出然后整理給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式；（4）用觀(guān)察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直）用觀(guān)察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直接列寫(xiě)輸出方程，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。接列寫(xiě)輸出方程，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。 例例：電路如圖，以電阻電路如圖，以電阻R1上的電壓上的電

14、壓uR1和電阻和電阻R2上的電上的電流流iR2為輸出，列寫(xiě)電路的狀態(tài)方程和輸出方程。為輸出，列寫(xiě)電路的狀態(tài)方程和輸出方程。 uCiLuR1iR2uS1uS2LCR1R2a解解 選狀態(tài)變量選狀態(tài)變量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) x aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) x 消去消去 iR2(t),列右網(wǎng)孔列右網(wǎng)孔KVL方程：方程： R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得代入整理得)()(1001)()(111)()(212212121tutuCRLtxtxCRCLL

15、Rtxtxss輸出方程：輸出方程：uR1(t) = R1x1(t) 二、由輸入二、由輸入- -輸出方程建立狀態(tài)方程輸出方程建立狀態(tài)方程 這里需要解決的問(wèn)題是這里需要解決的問(wèn)題是：已知系統(tǒng)的外部描述（已知系統(tǒng)的外部描述（輸入輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、信號(hào)流圖模擬框圖、信號(hào)流圖等）；如何寫(xiě)出其狀態(tài)方程及輸?shù)龋?；如何?xiě)出其狀態(tài)方程及輸出方程。出方程。具體方法：具體方法：（1）由系統(tǒng)的）由系統(tǒng)的輸入輸入-輸出方程輸出方程或或系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)，首先首先畫(huà)出畫(huà)出其其信號(hào)流圖信號(hào)流圖或或框圖框圖；（2）選）選一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)(積分器）的積分器）的輸出輸出作為作為狀態(tài)變量狀態(tài)

16、變量；（3）根據(jù)每個(gè)）根據(jù)每個(gè)一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)的的輸入輸出關(guān)系輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方列狀態(tài)方程；程；（4）在）在系統(tǒng)的輸出端系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。列輸出方程。例例1 某系統(tǒng)的微分方程為某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t)試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解解由微分方程不難寫(xiě)出其系統(tǒng)函數(shù)由微分方程不難寫(xiě)出其系統(tǒng)函數(shù) 23)4(2)(2ssssH方法一方法一：畫(huà)出直接形式的信號(hào)流圖：畫(huà)出直接形式的信號(hào)流圖1s1s1-3-228f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x1x2由后

17、一個(gè)積分器，有由后一個(gè)積分器，有21xx fxxx21232由前一個(gè)積分器，有由前一個(gè)積分器，有系統(tǒng)輸出端，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =8 x1+2 x2方法二方法二：221423)4(2)(2sssssssH畫(huà)出串聯(lián)形式的信號(hào)流圖畫(huà)出串聯(lián)形式的信號(hào)流圖1s-1f(t)1141sy(t)-221設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x2x1fxx11設(shè)中間變量設(shè)中間變量 y1(t)y1fxxxy1111341x 2x fxxxyx21212232系統(tǒng)輸出端，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =2 x21123012121fxxxx方法三方法三：241623)4(2)(2ssssssH畫(huà)出并聯(lián)

18、形式的信號(hào)流圖畫(huà)出并聯(lián)形式的信號(hào)流圖1s-1161s-2-41f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x1x21x fxx112x fxx2221120012121fxxxx系統(tǒng)輸出端，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可見(jiàn)可見(jiàn)H(s)相同的系統(tǒng)，相同的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇并不狀態(tài)變量的選擇并不唯一。唯一。例例2 某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標(biāo)示，試列出其某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標(biāo)示，試列出其狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)方程和輸出方程。f(t)11s24ss31sy1(t)y2(t)x2(t)x1(t)x3(t)解解 對(duì)三個(gè)一階系統(tǒng)對(duì)三個(gè)一階系統(tǒng)211yxx

19、其中，其中， y2= f - x3fxxx311112242xxxxfxx313fxxxx3212232333xxx3233xxx輸出方程輸出方程 y1(t) = x2y2(t) = -x3 + f三、由狀態(tài)方程列輸入三、由狀態(tài)方程列輸入- -輸出方程輸出方程例例3 已知某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)已知某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下，列出描述方程如下，列出描述y(t)與與f(t)之間的微分方程。之間的微分方程。)(01)()(11)(0314)(ttytfttxxx解法一解法一 由輸出方程得由輸出方程得 y(t)=x1(t)y (t)=x1 (t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)y (t)= 4 x1

20、(t) + x2 (t)+ f (t)=44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)=13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y +a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t) a=4，b=3y +4 y + 3y= f (t) + f (t) 解法二解法二 對(duì)方程取拉氏變換，對(duì)方程取拉氏變換，零狀態(tài)。零狀態(tài)。)(11)(0314)(tfttxx )(11)(0314)(sFsssXX)(11)()0314(sFssXI)(11)0314()(1sFssIX)(0

21、1)(ssYX)(11)0314(01)(1sFssYI11)0314(01)()()(1I ssFsYsH34431314)0314(211sssssssI34134111113443101)(222sssssssssssHy +4 y + 3y= f (t) + f (t) 8.3 8.3 離散離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 與連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，具體方法為：與連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，具體方法為：（1）由系統(tǒng)的）由系統(tǒng)的輸入輸入-輸出方程輸出方程或或系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)，首先首先畫(huà)出其畫(huà)出其信號(hào)流圖信號(hào)流圖或或框圖框圖；（2）選）選一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)(遲延器）的遲延器）的輸出輸出作為作為狀態(tài)變量狀

22、態(tài)變量；（3）根據(jù)每個(gè)）根據(jù)每個(gè)一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)的的輸入輸出關(guān)系輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；列狀態(tài)方程；（4）在）在系統(tǒng)的輸出端系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。列輸出方程。例例1：某離散系統(tǒng)的差分方程為某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2) 列出其動(dòng)態(tài)方程。列出其動(dòng)態(tài)方程。解解：不難寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)不難寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù) 212121)(zzzzzH畫(huà)信號(hào)流圖：畫(huà)信號(hào)流圖：1-21-1y(k)1z1z1f(k)設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1 (k) ，x2 (k) ：x1x2x1(k+1)=x2 (k) ：x2(k+1)x2(k+1)= x1 (k) 2x2

23、(k) + f(k) ：輸出方程輸出方程y (k)=x1 (k) + x2(k)例例2 某離散系統(tǒng)有兩個(gè)輸入某離散系統(tǒng)有兩個(gè)輸入f1(k)、f2(k)和兩個(gè)輸出和兩個(gè)輸出y1(k)、y2(k)，其信號(hào)流圖如圖示。列寫(xiě)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和，其信號(hào)流圖如圖示。列寫(xiě)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。輸出方程。 31z21zz-1x1(k)x2(k)x3(k)p1(k)p2(k)-1-2-1111122-13abcdy1(k)y2(k)f1(k)f2(k)解解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k)p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k) )

24、()(101100)()()(706527013) 1() 1() 1(21321321kfkfkxkxkxkxkxkx)()()(202001)()(32121kxkxkxkyky8.4 8.4 連續(xù)狀態(tài)方程的求解連續(xù)狀態(tài)方程的求解狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為 )()()(tttBfAxx)()()(tttDfCxy用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程 sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s

25、)=(s)x(0-) +(s)BF(s) 式中式中(s) = ( sI -A )-1常稱(chēng)為預(yù)解矩陣常稱(chēng)為預(yù)解矩陣 。Y(s) = CX(s) +DF(s)Yx(s) = C(s)x(0-) Yf(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)就是H(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn).即即| sI-A|=0的根。的根。=C(s)x(0-) + C(s)B +D F(s)例例1 描述描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 )(10)()(4121)()(2121tftxtxtxtx)( 1 )()(11)(21tftxtxty解解412

26、141211001)(ssssAI)det()adj()()(1AIAIAIssss1124)3)(2(1ssssX(s) = (s)x(0-) +BF(s) 1 10231124)3)(2(1ssss起始狀態(tài)起始狀態(tài)x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入，輸入f(t) =(t)。求狀態(tài)變量。求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。263939212)3)(2(3)3)(2()6(3ssssssssssy(t) = 1 1x(t) + f(t) = )(e6e9e9e12)(2332ttttttx)()(e6e9e9e12112332tttttt=(t)+ 6e-2t(t) 由于由于H(s)的極點(diǎn)均在左半平面，故該因果系統(tǒng)穩(wěn)定。的極點(diǎn)均在左半平面，故該因果系統(tǒng)穩(wěn)定。H(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)就是|sI-A|=0的根。的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3)8.5 8.5 離散狀態(tài)方程的求解離散狀態(tài)方程的求解)()() 1(kkkBf