研究生數(shù)值分析()

1、數(shù)值分析數(shù)值分析第第5 5章章 插值與逼近插值與逼近主講老師主講老師: 雷鳴雷鳴 插值與逼近都是指用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)在滿足一插值與逼近都是指用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)在滿足一定條件下，在某個(gè)范圍內(nèi)近似代替另一個(gè)較為復(fù)定條件下，在某個(gè)范圍內(nèi)近似代替另一個(gè)較為復(fù)雜或者解雜或者解 析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于對(duì)后者析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于對(duì)后者的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。 第第5章章 插值與逼近插值與逼近1 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 在科學(xué)研究和工程計(jì)算中，經(jīng)常要研究變?cè)诳茖W(xué)研究和工程計(jì)算中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在很多情況下，又很量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在很多情況下，

2、又很難找到具體的解析表達(dá)式，往往只能通過(guò)測(cè)量難找到具體的解析表達(dá)式，往往只能通過(guò)測(cè)量或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即1 代數(shù)插值代數(shù)插值x0 x1x2xnxy0y1y2yny 這種用表格形式給出的函數(shù)，無(wú)法求出不在表這種用表格形式給出的函數(shù)，無(wú)法求出不在表中的點(diǎn)的函數(shù)值，也不能進(jìn)一步研究函數(shù)的分析性中的點(diǎn)的函數(shù)值，也不能進(jìn)一步研究函數(shù)的分析性質(zhì)，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分等。為了解決這些問(wèn)題，質(zhì)，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分等。為了解決這些問(wèn)題，我們?cè)O(shè)法通過(guò)這張表格求出一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)我們?cè)O(shè)法通過(guò)這張表格求出一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)( )iiP xy(0,1, )in這種求這種求P(x)的方

3、法稱為的方法稱為插值法插值法。使使定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義，且上有定義，且01naxxxb上的值為上的值為01,nyyy，若存在一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，若存在一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)p(x) ，使，使 ()iiP xy(0,1,)in 成立，則稱成立，則稱p(x)為為 f (x)的插值函數(shù)。的插值函數(shù)。(0,1, )ix in為為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)；( )iiP xy(0,1, )in為為插值條件插值條件；f(x)為為被插值函數(shù)被插值函數(shù);2 插值問(wèn)題的概念插值問(wèn)題的概念已知在點(diǎn)已知在點(diǎn)其中其中 , a,b為為插值區(qū)間插值區(qū)間； 從幾何上說(shuō)，插值法就是求一條曲線從幾何上說(shuō)，插

4、值法就是求一條曲線 y = P(x) 使它通過(guò)已知的使它通過(guò)已知的 (n+1)個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(,)iixy(0,1, )in并取并取( )( )P xf x如圖如圖 根據(jù)不同要求，可以選擇不同的插值函數(shù)。根據(jù)不同要求，可以選擇不同的插值函數(shù)。其中最簡(jiǎn)單的一類是多項(xiàng)式插值。多項(xiàng)式插值的其中最簡(jiǎn)單的一類是多項(xiàng)式插值。多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)問(wèn)題是：基礎(chǔ)問(wèn)題是：根據(jù)給出的函數(shù)表，求一個(gè)不高于根據(jù)給出的函數(shù)表，求一個(gè)不高于 n 次的代數(shù)多項(xiàng)式次的代數(shù)多項(xiàng)式01( )nnnP xaa xa x()niiPxy(0,1, )in滿足插值條件滿足插值條件的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，稱為函數(shù)，稱為函數(shù)f( (x) )在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)ix

5、(0,1, )in上的上的 n 次插值多項(xiàng)式。次插值多項(xiàng)式。使使 特別當(dāng)特別當(dāng) n =1時(shí)，時(shí)，所求的一次插值多項(xiàng)式為通所求的一次插值多項(xiàng)式為通過(guò)兩點(diǎn)的直線，稱相應(yīng)的插值問(wèn)題為線性插值；過(guò)兩點(diǎn)的直線，稱相應(yīng)的插值問(wèn)題為線性插值； 函數(shù)插值是計(jì)算方法的重要工具，我們常函數(shù)插值是計(jì)算方法的重要工具，我們常常借助于插值函數(shù)常借助于插值函數(shù) P (x) 來(lái)計(jì)算被插值函數(shù)來(lái)計(jì)算被插值函數(shù) f (x)的函數(shù)值、零點(diǎn)和積分等的近似值。的函數(shù)值、零點(diǎn)和積分等的近似值。 當(dāng)當(dāng) n=2時(shí)，所求的二次插值多項(xiàng)式為通過(guò)三點(diǎn)時(shí)，所求的二次插值多項(xiàng)式為通過(guò)三點(diǎn)的拋物線，稱相應(yīng)的插值問(wèn)題為拋物線插值。的拋物線，稱相應(yīng)的插值

6、問(wèn)題為拋物線插值。從插值多項(xiàng)式的定義可知，要求滿足從插值多項(xiàng)式的定義可知，要求滿足插值插值( )niiP xy的的 n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式01( )nnnP xaa xa x只要把只要把代入代入，即可得，即可得 (n+1) 個(gè)方程個(gè)方程3 插值多項(xiàng)式的存在唯一性插值多項(xiàng)式的存在唯一性條件式條件式 20102000201121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy01,naaa的的n+1元線性方程組元線性方程組 這是關(guān)于這是關(guān)于其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式是是n+1階范德蒙德（階范德蒙德（Vandermonde）行列式，）行列式，由線

7、性代數(shù)知識(shí)由線性代數(shù)知識(shí)0()ijnijDxx 因節(jié)點(diǎn)互異，故因節(jié)點(diǎn)互異，故D0 ，方程組有唯一解。，方程組有唯一解。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111定理定理1 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)互異時(shí)，滿足插值條件當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)互異時(shí)，滿足插值條件( )niiP xy(0,1, )in的的 n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式01( )nnnPxaa xa x存在且唯一。存在且唯一。于是有于是有 我們?cè)谟懻摬逯刀囗?xiàng)式的存在唯一性時(shí)，已經(jīng)我們?cè)谟懻摬逯刀囗?xiàng)式的存在唯一性時(shí)，已經(jīng)提供了一種求插值多項(xiàng)式的方法，即通過(guò)求解線性提供了一種求插值多項(xiàng)式的方法，即通過(guò)求解線性方程組方程組201020002011211

8、12012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy4 插值多項(xiàng)式的求法插值多項(xiàng)式的求法 由于這種求法計(jì)算工作量大，而且不能獲得簡(jiǎn)由于這種求法計(jì)算工作量大，而且不能獲得簡(jiǎn)明的表達(dá)式，明的表達(dá)式，給理論研究和應(yīng)用帶來(lái)不便。通常我給理論研究和應(yīng)用帶來(lái)不便。通常我們采用的是構(gòu)造方法，直接構(gòu)造一個(gè)滿足條件們采用的是構(gòu)造方法，直接構(gòu)造一個(gè)滿足條件()iiP xy(0,1, )in的的 n 次插值多項(xiàng)式。次插值多項(xiàng)式。下面，我們介紹這種簡(jiǎn)便實(shí)用的方法。下面，我們介紹這種簡(jiǎn)便實(shí)用的方法。的系數(shù)的系數(shù)ia(0,1, )in來(lái)確定插值多項(xiàng)式來(lái)確定插值多項(xiàng)式01( )n

9、nnPxaa xa x當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)時(shí)20102000201 121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy為為00ay因而因而000( )P xay當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，為，為010001 11aa xyaa xy5 基本插值多項(xiàng)式基本插值多項(xiàng)式解得解得001110010010111yxyxx yx yaxxxx 0110101011111yyyyaxxxx因而因而1001101011010( )x yx yyyP xaa xxxxxx01010110 xxxxyyxxxx若令若令 01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx則有則

10、有 10 01 1( )( )( )P xy lxy l x這里的這里的0( )lx和和1( )l x可以分別看作滿足可以分別看作滿足0001()1, ( )0l xl x及及1011()0, ( )1l xl x的一次插值多項(xiàng)式。的一次插值多項(xiàng)式。插值條件插值條件這兩個(gè)插值多項(xiàng)式稱為這兩個(gè)插值多項(xiàng)式稱為一次插值的基本插值多項(xiàng)式一次插值的基本插值多項(xiàng)式。10 01 1( )( )( )P xy lxy l x表明一次插值多項(xiàng)式表明一次插值多項(xiàng)式1( )P x可以通過(guò)基本插值多項(xiàng)式可以通過(guò)基本插值多項(xiàng)式0( )lx和和1( )l x的線性組合得到，且系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)的線性組合得到，且系數(shù)恰為所給

11、數(shù)據(jù)0y和和1y。表達(dá)式表達(dá)式現(xiàn)在來(lái)討論現(xiàn)在來(lái)討論n次多項(xiàng)式的插值問(wèn)題。次多項(xiàng)式的插值問(wèn)題。為了得到為了得到n次多項(xiàng)式插值次多項(xiàng)式插值( )nP x，我們先求一個(gè)，我們先求一個(gè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式( )klx，滿足，滿足 011( ) 0, () 0, ( ) 1, () 0, ( ) 0kkkkkkkknl xl xl xl xl x即即 0( )1kikiiklxik其中，其中，0in 所以所以( )klx含有如下含有如下n個(gè)因子：個(gè)因子：0111,kknxx xxxxxxxx于是于是( )klx可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成0111( )()()()()()kkkknl xA x xx xx xx xx x其中其中kA為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。由于由于0111,kknxxxx