研究生數(shù)值分析()

1、數(shù)值分析數(shù)值分析第第5 5章章 插值與逼近插值與逼近主講老師主講老師: 雷鳴雷鳴 插值與逼近都是指用某個簡單函數(shù)在滿足一插值與逼近都是指用某個簡單函數(shù)在滿足一定條件下，在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較為復(fù)定條件下，在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較為復(fù)雜或者解雜或者解 析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于對后者析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于對后者的各種計算或揭示后者的某些性質(zhì)。的各種計算或揭示后者的某些性質(zhì)。 第第5章章 插值與逼近插值與逼近1 問題的提出問題的提出 在科學(xué)研究和工程計算中，經(jīng)常要研究變在科學(xué)研究和工程計算中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在很多情況下，又很量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在很多情況下，

2、又很難找到具體的解析表達(dá)式，往往只能通過測量難找到具體的解析表達(dá)式，往往只能通過測量或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即1 代數(shù)插值代數(shù)插值x0 x1x2xnxy0y1y2yny 這種用表格形式給出的函數(shù)，無法求出不在表這種用表格形式給出的函數(shù)，無法求出不在表中的點的函數(shù)值，也不能進一步研究函數(shù)的分析性中的點的函數(shù)值，也不能進一步研究函數(shù)的分析性質(zhì)，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分等。為了解決這些問題，質(zhì)，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分等。為了解決這些問題，我們設(shè)法通過這張表格求出一個簡單的函數(shù)我們設(shè)法通過這張表格求出一個簡單的函數(shù)P(x)( )iiP xy(0,1, )in這種求這種求P(x)的方

3、法稱為的方法稱為插值法插值法。使使定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義，且上有定義，且01naxxxb上的值為上的值為01,nyyy，若存在一個簡單的函數(shù)，若存在一個簡單的函數(shù)p(x) ，使，使 ()iiP xy(0,1,)in 成立，則稱成立，則稱p(x)為為 f (x)的插值函數(shù)。的插值函數(shù)。(0,1, )ix in為為插值節(jié)點插值節(jié)點；( )iiP xy(0,1, )in為為插值條件插值條件；f(x)為為被插值函數(shù)被插值函數(shù);2 插值問題的概念插值問題的概念已知在點已知在點其中其中 , a,b為為插值區(qū)間插值區(qū)間； 從幾何上說，插值法就是求一條曲線從幾何上說，插

4、值法就是求一條曲線 y = P(x) 使它通過已知的使它通過已知的 (n+1)個點個點(,)iixy(0,1, )in并取并取( )( )P xf x如圖如圖 根據(jù)不同要求，可以選擇不同的插值函數(shù)。根據(jù)不同要求，可以選擇不同的插值函數(shù)。其中最簡單的一類是多項式插值。多項式插值的其中最簡單的一類是多項式插值。多項式插值的基礎(chǔ)問題是：基礎(chǔ)問題是：根據(jù)給出的函數(shù)表，求一個不高于根據(jù)給出的函數(shù)表，求一個不高于 n 次的代數(shù)多項式次的代數(shù)多項式01( )nnnP xaa xa x()niiPxy(0,1, )in滿足插值條件滿足插值條件的多項式的多項式，稱為函數(shù)，稱為函數(shù)f( (x) )在節(jié)點在節(jié)點ix

5、(0,1, )in上的上的 n 次插值多項式。次插值多項式。使使 特別當(dāng)特別當(dāng) n =1時，時，所求的一次插值多項式為通所求的一次插值多項式為通過兩點的直線，稱相應(yīng)的插值問題為線性插值；過兩點的直線，稱相應(yīng)的插值問題為線性插值； 函數(shù)插值是計算方法的重要工具，我們常函數(shù)插值是計算方法的重要工具，我們常常借助于插值函數(shù)常借助于插值函數(shù) P (x) 來計算被插值函數(shù)來計算被插值函數(shù) f (x)的函數(shù)值、零點和積分等的近似值。的函數(shù)值、零點和積分等的近似值。 當(dāng)當(dāng) n=2時，所求的二次插值多項式為通過三點時，所求的二次插值多項式為通過三點的拋物線，稱相應(yīng)的插值問題為拋物線插值。的拋物線，稱相應(yīng)的插值

6、問題為拋物線插值。從插值多項式的定義可知，要求滿足從插值多項式的定義可知，要求滿足插值插值( )niiP xy的的 n 次插值多項式次插值多項式01( )nnnP xaa xa x只要把只要把代入代入，即可得，即可得 (n+1) 個方程個方程3 插值多項式的存在唯一性插值多項式的存在唯一性條件式條件式 20102000201121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy01,naaa的的n+1元線性方程組元線性方程組 這是關(guān)于這是關(guān)于其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式是是n+1階范德蒙德（階范德蒙德（Vandermonde）行列式，）行列式，由線

7、性代數(shù)知識由線性代數(shù)知識0()ijnijDxx 因節(jié)點互異，故因節(jié)點互異，故D0 ，方程組有唯一解。，方程組有唯一解。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111定理定理1 當(dāng)插值節(jié)點互異時，滿足插值條件當(dāng)插值節(jié)點互異時，滿足插值條件( )niiP xy(0,1, )in的的 n 次插值多項式次插值多項式01( )nnnPxaa xa x存在且唯一。存在且唯一。于是有于是有 我們在討論插值多項式的存在唯一性時，已經(jīng)我們在討論插值多項式的存在唯一性時，已經(jīng)提供了一種求插值多項式的方法，即通過求解線性提供了一種求插值多項式的方法，即通過求解線性方程組方程組201020002011211

8、12012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy4 插值多項式的求法插值多項式的求法 由于這種求法計算工作量大，而且不能獲得簡由于這種求法計算工作量大，而且不能獲得簡明的表達(dá)式，明的表達(dá)式，給理論研究和應(yīng)用帶來不便。通常我給理論研究和應(yīng)用帶來不便。通常我們采用的是構(gòu)造方法，直接構(gòu)造一個滿足條件們采用的是構(gòu)造方法，直接構(gòu)造一個滿足條件()iiP xy(0,1, )in的的 n 次插值多項式。次插值多項式。下面，我們介紹這種簡便實用的方法。下面，我們介紹這種簡便實用的方法。的系數(shù)的系數(shù)ia(0,1, )in來確定插值多項式來確定插值多項式01( )n

9、nnPxaa xa x當(dāng)當(dāng)n=0時時20102000201 121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy為為00ay因而因而000( )P xay當(dāng)當(dāng)n=1時時，為，為010001 11aa xyaa xy5 基本插值多項式基本插值多項式解得解得001110010010111yxyxx yx yaxxxx 0110101011111yyyyaxxxx因而因而1001101011010( )x yx yyyP xaa xxxxxx01010110 xxxxyyxxxx若令若令 01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx則有則

10、有 10 01 1( )( )( )P xy lxy l x這里的這里的0( )lx和和1( )l x可以分別看作滿足可以分別看作滿足0001()1, ( )0l xl x及及1011()0, ( )1l xl x的一次插值多項式。的一次插值多項式。插值條件插值條件這兩個插值多項式稱為這兩個插值多項式稱為一次插值的基本插值多項式一次插值的基本插值多項式。10 01 1( )( )( )P xy lxy l x表明一次插值多項式表明一次插值多項式1( )P x可以通過基本插值多項式可以通過基本插值多項式0( )lx和和1( )l x的線性組合得到，且系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)的線性組合得到，且系數(shù)恰為所給

11、數(shù)據(jù)0y和和1y。表達(dá)式表達(dá)式現(xiàn)在來討論現(xiàn)在來討論n次多項式的插值問題。次多項式的插值問題。為了得到為了得到n次多項式插值次多項式插值( )nP x，我們先求一個，我們先求一個n次多項式次多項式( )klx，滿足，滿足 011( ) 0, () 0, ( ) 1, () 0, ( ) 0kkkkkkkknl xl xl xl xl x即即 0( )1kikiiklxik其中，其中，0in 所以所以( )klx含有如下含有如下n個因子：個因子：0111,kknxx xxxxxxxx于是于是( )klx可以寫成可以寫成0111( )()()()()()kkkknl xA x xx xx xx xx x其中其中kA為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。由于由于0111,kknxxxx