矩陣定義及運(yùn)算(p)

1、本章引入矩陣的概念及其運(yùn)算本章引入矩陣的概念及其運(yùn)算, 討論它們的基討論它們的基 介紹常用的介紹常用的 本性質(zhì)本性質(zhì), 包括廣泛應(yīng)用的可逆矩陣包括廣泛應(yīng)用的可逆矩陣; 矩陣分塊法、矩陣的初等變換等矩陣分塊法、矩陣的初等變換等. 第一節(jié)第一節(jié) 矩陣定義及其運(yùn)算矩陣定義及其運(yùn)算(36P) 一、一、 矩陣的概念矩陣的概念 二、二、 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 四、四、 對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣 五、五、 小結(jié)小結(jié) 三、三、 方陣方陣 由由mn個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為稱為m 行行n 列列矩陣矩陣. .簡(jiǎn)

2、稱簡(jiǎn)稱 矩陣矩陣. .nm .m nA定義定義1也簡(jiǎn)記為也簡(jiǎn)記為ijm nAa.ijAa排成的排成的m行行n列的列的數(shù)表數(shù)表元素全是實(shí)數(shù)的矩陣稱為元素全是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣實(shí)矩陣.元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣.ija12,nAa aa元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣,12bbBbm aa 對(duì)于給定的對(duì)于給定的n元線性方程組元線性方程組11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb它的系數(shù)構(gòu)成的它的系數(shù)構(gòu)成的 11121n21222nm1m2mnaaaaaaAaaa矩陣矩陣mn稱為

3、方程組稱為方程組(2)的的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣.它的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的它的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的11121n121222n2m1m2mnmaaabaaabBaaab稱為方程組稱為方程組(2)的的增廣矩陣增廣矩陣.1mn+()矩陣矩陣反之反之, 給定一個(gè)給定一個(gè)矩陣矩陣,1mn+()以前以前 n 列作為未列作為未知量系數(shù)知量系數(shù),最后一列作為常數(shù)項(xiàng)就確定一個(gè)最后一列作為常數(shù)項(xiàng)就確定一個(gè) n 元線性元線性方程組方程組.一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此因此,線性方程組線性方程組(2)與增廣矩陣與增廣矩陣B之間存在之間存在從而可用矩陣來(lái)研究線性方程組從而可用矩陣來(lái)研究線性方程組.矩陣與行列式的有何區(qū)別矩陣與

4、行列式的有何區(qū)別? ?矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別,行列式是一個(gè)行列式是一個(gè)算式算式,它的行數(shù)與列數(shù)必須相同它的行數(shù)與列數(shù)必須相同, 一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算而矩陣僅僅是一個(gè)而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表數(shù)表,它的行數(shù)和列數(shù)它的行數(shù)和列數(shù)可求得其值可求得其值.可以不同可以不同.例例1之之個(gè)個(gè)變變量量與與個(gè)個(gè)變變量量mnyyymxxxn,2121間的關(guān)系式間的關(guān)系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到到變變量量表表示示一一個(gè)個(gè)從從變變量量mnyyyxxx,2121線性變換線性變換.為為常常

5、數(shù)數(shù)其其中中ija定義定義2111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa,m nm nijijAaBb(1,2,;1,2,),im jnijijab111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb定義定義3111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababCababab為為A與與B之和之和, 記為記為C=A+B.mn例例2 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 若若,ijm nAa() ABAB()則稱則稱ijm na()為為A的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣,記為記為對(duì)同型矩

6、陣對(duì)同型矩陣A與與B, 規(guī)定減法為規(guī)定減法為A.易證易證, ,矩陣的加法運(yùn)算滿足下列規(guī)律矩陣的加法運(yùn)算滿足下列規(guī)律: : ;1ABBA ( (交換律交換律) ) .2CBACBA ( (結(jié)合律結(jié)合律) ) .AOA3 . AAO4()定義定義4 4111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa設(shè)有設(shè)有mn矩陣矩陣k 為一個(gè)數(shù)為一個(gè)數(shù), ,則稱下列則稱下列mn矩陣矩陣111212122211nnmmmnkakakakakakaCkakaka為為數(shù)數(shù)k與矩陣與矩陣A的的數(shù)乘數(shù)乘, ,記為記為C=kA或或C=Ak.注意注意:矩陣的矩陣的數(shù)乘數(shù)乘與行列與行列式式的數(shù)乘的不同之處的數(shù)乘的不同之

7、處! != A(1)A() =( A); ;2AAA .3BABA 矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算合起來(lái)矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算合起來(lái), ,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的（設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、( (結(jié)合律結(jié)合律) )( (分配律分配律) )線性運(yùn)算線性運(yùn)算. .易證易證, ,矩陣的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列規(guī)律矩陣的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列規(guī)律: :.AA(4)13.乘法乘法12,x x111 1122yb xb x引例引例設(shè)有兩個(gè)線性關(guān)系式設(shè)有兩個(gè)線性關(guān)系式若要求從若要求從到到(3)221 1222yb xb x331 1322yb xb x2211222233za ya ya y111112

8、2133za ya ya y(4)12,z z的線性關(guān)系的線性關(guān)系, ,可將可將(4)(4)式式代入代入(3)(3)式式, , 便得便得: :111213212223,aaaAaaa若分別以若分別以A , B , C , 代表線性關(guān)系式代表線性關(guān)系式(3),(4),(5)的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣, ,即即(5)111221223132,bbB= bbbb11 11122113 3111 12122213 3221 11222123 3121 12222223 32a b +a b +a ba b +a b +a bC=a b +a b +a ba b +a b +a b111 1112 2113

9、31111 1212 2213 322()()za ba ba bxa ba ba bx(6)(6)221 11222123 31121 12222223 322()()za ba ba bxa ba ba bx定義定義51 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b1,2,;1,2,im jl.ABC ,ijm nAaijn lBbijm lCc設(shè)設(shè)令令則稱則稱為矩陣為矩陣A與與B的乘積的乘積,記為記為則矩陣則矩陣C的的(i, j )元素恰好是矩陣元素恰好是矩陣A的第的第 i 行與矩陣行與矩陣B的第的第 j 列對(duì)應(yīng)元素乘積之和列對(duì)應(yīng)元素乘積之和, 稱矩陣稱矩陣C為矩陣

10、為矩陣A與與矩陣矩陣B的乘積的乘積.一般地一般地,定義矩陣的乘法如下定義矩陣的乘法如下:12jji1i2innjbbABaaab矩陣的乘法法則簡(jiǎn)稱為矩陣的乘法法則簡(jiǎn)稱為行乘列行乘列的法則的法則.等于等于B的行數(shù)的行數(shù).乘積乘積AB的行數(shù)與列數(shù)分別等于的行數(shù)與列數(shù)分別等于A的的行數(shù)與行數(shù)與B的列數(shù)的列數(shù),其其(i, j)元素是元素是A的第的第i行與行與B的第的第j列列對(duì)應(yīng)元素乘積之和對(duì)應(yīng)元素乘積之和.的前提是的前提是A的列數(shù)的列數(shù)矩陣矩陣A與與B可乘可乘(也稱也稱AB有意義有意義)例例3222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430

11、B例例4 4?求求 AB .故故 121113121430415003112101ABC. 解解: ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證, ,矩陣的乘法運(yùn)算滿足下列規(guī)律矩陣的乘法運(yùn)算滿足下列規(guī)律: :注意注意:矩陣的乘法一般不滿足交換律矩陣的乘法一般不滿足交換律.例如例如123168597881321601112027589但但 106861985123321不存在不存在.例例5 設(shè)設(shè) 1111A 1111B則則,0000 AB

12、,2222 BA.BAAB 故故此時(shí)稱此時(shí)稱A , B為不可交換矩陣為不可交換矩陣.此例表明即使此例表明即使AB0,0,卻可能有卻可能有AB = 0.因此矩陣的乘法一般不滿足因此矩陣的乘法一般不滿足“消去律消去律”.即若即若AB = AC,A0,未必有未必有B = C.但也有例外，比如設(shè)但也有例外，比如設(shè),2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 此時(shí)稱此時(shí)稱A , B為可交換矩陣為可交換矩陣.定義定義6 .A mn nm 4.轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置將將 矩陣矩陣A的行列互換的行列互換, 得到的得到的 矩陣矩陣, 稱為矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣, 記為記為

13、1,nnmmmnaaaaaaAaaa11122122212.mTmnaaaaaaAaaa112111222m21n2n即若即若 則則 矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB ,854221 A.TA142528例如例如 ,ijm nAa(),TTABTAB()TTB A,ijijablm 證證: 僅證僅證(4),(4),其余類(lèi)似可證其余類(lèi)似可證. . 設(shè)設(shè) ,ijn lBb(), TijnAam(),Tijl nBb()其中其中 分別表示分別表示 的的(i, j)元素元素. . 則則 與與 均為均為 矩陣矩陣, , 由轉(zhuǎn)置的

14、定義由轉(zhuǎn)置的定義, , TAB()的的(i, j)元素元素 AB的的(j, i)元素元素, , 等于等于 即有即有 1,2, ;1,2,njkkik=a bil jm1()TTB A.TTTABB A()而而 1,2,1,2,i =l j =m(;)于是得到于是得到 證畢證畢. . 的的(i, j)元素為元素為 nnikkjkijkjkkik=kkb ab aa bn111例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法117120423132201AB ,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027

15、241.1031314170 三、方陣三、方陣1. 對(duì)角陣與單位陣對(duì)角陣與單位陣 naaAa12000000naaAa12定義定義7 稱稱 n 階方陣階方陣 為為 n 階對(duì)角陣階對(duì)角陣,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 或或 ,nAa aa12diag().當(dāng)對(duì)角元當(dāng)對(duì)角元 nI , ,nI111全為全為1 時(shí)時(shí),稱為稱為n階單位陣階單位陣, 記為記為 即有即有 顯然顯然,對(duì)一矩陣對(duì)一矩陣 ,na aa12,m nA恒有恒有: ,.mm nm nm nnm nI AAAIA或或 I ,或或 E . 2. 方陣的冪方陣的冪 A = I0, ,定義定義8 8 (k為正整數(shù)為正整數(shù)) 設(shè)設(shè)A為方陣為方陣,為為A的的 k

16、次冪次冪. kkAAAA.kkAAA1規(guī)定規(guī)定 ;klk lA AA(1)稱稱 則則 方陣的冪的運(yùn)算性質(zhì)方陣的冪的運(yùn)算性質(zhì) .klklAA(2)().kkkABA B()一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō) 3.方陣的行列式方陣的行列式定義定義9A.det A 8632A例例8632 A則則. 2 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 證明從略證明從略.把方陣取行列式是一種運(yùn)算把方陣取行列式是一種運(yùn)算,它有如下的性質(zhì)它有如下的性質(zhì):由由 n 階方陣階方陣A 的元素所構(gòu)成的行列式的元素所構(gòu)成的行列式的位置不變的位置不變),),稱為方陣稱為方陣A的行列式的行列式,記為記為( (各元素各元素或或例例6 設(shè)三

17、階方陣設(shè)三階方陣12| B|,2322AB, 2323A,B,23, 2322| AB | | 234| 232344| 44AB14 242 故故其中其中已知已知|A| = 2,求求 | A+B | .解解:都是三維列向量都是三維列向量, ,由于由于10.四、對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣四、對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣定義定義設(shè)設(shè)A為為n階方陣階方陣, ,TAA, n,j , iaajiij21 .A為為對(duì)對(duì)稱稱陣陣?yán)缛?6010861612對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等. . 說(shuō)明說(shuō)明如果滿足如果滿足 即即那末那末A 稱為對(duì)稱陣稱為對(duì)稱陣. .根據(jù)對(duì)稱矩陣的定義容

18、易證明根據(jù)對(duì)稱矩陣的定義容易證明TAA , 如如果果(1) (1) 兩個(gè)對(duì)稱矩陣的和或差仍為對(duì)稱矩陣兩個(gè)對(duì)稱矩陣的和或差仍為對(duì)稱矩陣; ;(2) (2) 數(shù)數(shù)k與對(duì)稱矩陣的乘積仍為對(duì)稱矩陣與對(duì)稱矩陣的乘積仍為對(duì)稱矩陣; ;(3) (3) 兩個(gè)可交換的對(duì)稱矩陣的乘積仍為對(duì)稱矩陣兩個(gè)可交換的對(duì)稱矩陣的乘積仍為對(duì)稱矩陣, ,但兩個(gè)不可交換的對(duì)稱矩陣的乘積不是對(duì)稱矩陣但兩個(gè)不可交換的對(duì)稱矩陣的乘積不是對(duì)稱矩陣. .定義定義:例如例如A 061600100是一個(gè)是一個(gè)3階反對(duì)稱矩陣階反對(duì)稱矩陣.則稱則稱A是反對(duì)稱的是反對(duì)稱的.例例7 證明任一證明任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對(duì)稱陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和與反對(duì)稱陣之和.nA證證:TAAC 設(shè)設(shè) TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣.,TAAB 設(shè)設(shè) TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對(duì)稱陣為反對(duì)稱陣.22TTAAAAA ,22BC 證畢證畢.矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 加加(減減)法法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣方陣的行列式、方陣的冪方陣的行列式、方陣的冪(2)只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí), ,(1)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí), ,注意注意(3)