冪函數(shù)經(jīng)典例題(答案)

1、冪函數(shù)經(jīng)典例題(答案)冪函數(shù)的概念例1、下列結(jié)論中，正確的是()A冪函數(shù)的圖象都通過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)B冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C當(dāng)冪指數(shù)取1,3，時(shí)，冪函數(shù)yx是增函數(shù)D當(dāng)冪指數(shù)1時(shí)，冪函數(shù)yx在定義域上是減函數(shù)解析當(dāng)冪指數(shù)1時(shí)，冪函數(shù)yx1的圖象不通過(guò)原點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，)上都有定義，且yx (R)，y0，所以?xún)绾瘮?shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故選項(xiàng)B不正確；而當(dāng)1時(shí)，yx1在區(qū)間(，0)和(0，)上是減函數(shù)，但它在定義域上不是減函數(shù)答案C例2、已知冪函數(shù)f(x)(t3t1)x(73t2t2) (tZ)是偶函數(shù)且在(0，)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的值分

2、析關(guān)于冪函數(shù)yx (R，0)的奇偶性問(wèn)題，設(shè) (|p|、|q|互質(zhì))，當(dāng)q為偶數(shù)時(shí)，p必為奇數(shù)，yx是非奇非偶函數(shù)；當(dāng)q是奇數(shù)時(shí)，yx的奇偶性與p的值相對(duì)應(yīng)解f(x)是冪函數(shù)，t3t11，t1,1或0.當(dāng)t0時(shí)，f(x)x是奇函數(shù)；當(dāng)t1時(shí)，f(x)x是偶函數(shù)；當(dāng)t1時(shí)，f(x)x是偶函數(shù)，且和都大于0，在(0，)上為增函數(shù)故t1且f(x)x或t1且f(x)x.點(diǎn)評(píng)如果題中有參數(shù)出現(xiàn)，一定要注意對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論，尤其對(duì)題中的條件tZ給予足夠的重視例3、如圖是冪函數(shù)yxm與yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A-1n0m1Bn1,0m1 C1n1 Dn1解析在(0,1)內(nèi)取同一值x0，作直線(xiàn)xx0，

3、與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大”如圖，0m1，nx，求x的取值范圍錯(cuò)解由于x20，xR，則由x2x，可得xR.錯(cuò)因分析上述錯(cuò)解原因是沒(méi)有掌握冪函數(shù)的圖象特征，尤其是yx在1和01兩種情況下圖象的分布正解作出函數(shù)y=x2和y=的圖象(如右圖所示)，易得x1.例5、函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式分析解答本題可嚴(yán)格根據(jù)冪函數(shù)的定義形式列方程求出m，再由單調(diào)性確定m.解根據(jù)冪函數(shù)定義得m2m11，解得m2或m1，當(dāng)m2時(shí)，f(x)x3在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)，不符合要求故f(x)x3.點(diǎn)評(píng)冪函數(shù)

4、yx (R)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以?xún)绲牡讀為自變量，指數(shù)為常數(shù)(也可以為0)這是判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本例來(lái)說(shuō)，還要根據(jù)單調(diào)性驗(yàn)根，以免增根變式 已知y(m22m2)x2n3是冪函數(shù)，求m，n的值解由題意得，解得，所以m3，n.例6、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。海?），；（2），；（3），解析：（1）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增， ，（2）考查冪函數(shù)y的單調(diào)性，同理（3）先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪可知它是偶函數(shù)，又，點(diǎn)評(píng)：比較冪形式的兩個(gè)數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（

5、3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來(lái)比較大小例7、比較下列各組數(shù)的大小 (1) 3與；(2)8與.分析比較大小問(wèn)題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便利用單調(diào)性時(shí)，可用0與1去比較，這種方法叫“搭橋”法解(1)函數(shù)yx在(0，)上為減函數(shù)，又3.(2)8，函數(shù)yx在(0，)上為增函數(shù)，又，則，從而8，11,011，(0，所以(.例8、已知冪函數(shù)yx3m9 (mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿(mǎn)足(a1)(32a)的a的范圍解函數(shù)在(0，)上遞減，3m90，解得m3，又mN*，m1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，3m9為偶數(shù)，故m1，

6、有(a1)32a0或0a132a或a1032a，解得a或a0時(shí)，是增函數(shù)；冪函數(shù)yxn，當(dāng)n0，且a1)答案B解析根據(jù)函數(shù)圖象，選B.二、填空題1若冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(25)_.答案解析設(shè)f(x)x，則9，.f(25)25.2設(shè)冪函數(shù)yx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8,4)，則函數(shù)yx的值域是_答案0，)解析由48，得，yx0.3. 如圖所示是冪函數(shù)y=x在第一象限內(nèi)的圖象，已知取2，四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4的依次為.答案2，24若冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，則f(25)的值是_答案5解析設(shè)yx，點(diǎn)(2，)在yx的圖象上，2，f(x)x.故f(25)255.5冪函

7、數(shù)yx (R)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第_象限答案四6把下列各數(shù)2，3，0，按由小到大的排列順序?yàn)開(kāi)答案302.7已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)f(102a)，則a的取值范圍是_答案3a0)，由圖象知x(0，)時(shí)為減函數(shù)，又f(a1)f(102a)，得3ag(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)(2)當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=g(x)(3)當(dāng)-1x0或0x1時(shí)，f(x)g(x)4已知函數(shù)y(a23a2)xa25a5 (a為常數(shù))(1)a為何值時(shí)此函數(shù)為冪函數(shù)？(2)a為何值時(shí)此函數(shù)為正比例函數(shù)？(3)a為何值時(shí)此函數(shù)為反比例函數(shù)？解(1)由題意，得a23a21，即a23a10.解得a，即a時(shí)，此函數(shù)為冪函數(shù)；(2)由題意，得解得a4，即a4時(shí)，此函數(shù)為正比例函數(shù)；(3)由題意，得解得a3，即a3時(shí)，此函數(shù)為反比例函數(shù)5已知函數(shù)y（1）求函數(shù)的定義域、值域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析：這是復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，利用換元法令t152xx2，則y，（1）由152xx20得函數(shù)的定義域?yàn)?，3，t16（x1）20，16函數(shù)的值域?yàn)?，2（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，3且關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，3，對(duì)稱(chēng)軸為