江西省吉安縣高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.3.1基本不等式課件北師大版必修5

1、3.3.1 3.3.1 基本不等式基本不等式如果如果a,bR，那么那么a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=。我們知道我們知道(a-b)20,對于對于a,bR都成立，都成立，展開得：展開得：a2-2ab+b20；變形得：變形得：a2+b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=.于是我們得到如下結(jié)論：于是我們得到如下結(jié)論：重要不等式2 2 將重要不等式將重要不等式a2+b22ab的兩邊同時加上的兩邊同時加上a2+b2，又能將不等式，又能將不等式化成什么形式？新不等式什么時候取等號？化成什么形式？新不等式什么時候取等號？如果如果a,bR，那么那么a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

2、a=b時取時取“=。1 1 將上面結(jié)論中的將上面結(jié)論中的a,b分別用分別用 , , 代替，結(jié)論會變成怎樣？大代替，結(jié)論會變成怎樣？大前提還是不是前提還是不是a,bR？ab如果如果a0,b0，那么那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=。2abab基本不等式2(a2+b2）a2+2ab+b2=(a+b)2222()22abab2222baba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=。1.重要不等式重要不等式2.基本不等式基本不等式 說明：變式說明：變式導(dǎo)導(dǎo)222baababba; )(2, ) 1 (22”號時取“當(dāng)當(dāng)且僅那么如果baabbaRba; )(2, )2(”號時取“僅當(dāng)當(dāng)且那么是正數(shù)如果

3、baabbaba推廣推廣baabbaba1122222平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=。例例1 1例例2 2 設(shè)設(shè)a,b,c為任意實數(shù)為任意實數(shù),求證：求證：a2+b2+c2 ab+bc+ca . 2222222,2,2ababbcbccaca2222()222abcabbcca222abcabbcca證明 例例3 3 已知已知a,b,c均為正實數(shù)均為正實數(shù),且且a+b+c=1， 求證求證111(1)(1)(1)8abc, ,1,12112a b cR abcabcbcb cbcaaaaa aa 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即即 時取時取“=。bcaabc同理有：同理有：12121,1,acabbbcc 三式相乘得：三式相乘得：111(1)(1)(1)8abc當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時取時取“=。13abc證明 1. 設(shè)設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式均為正數(shù)，證明不等式：