第七講角動量耦合及光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)

1、1 第第 六六 講講兩兩 角角 動動 量量 的的 耦耦 合合 coupling of two angular momentums光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu) Fine structures of the optical spectrum2 原子中有多個電子，而每個電子又有原子中有多個電子，而每個電子又有軌道和自旋運(yùn)動，故角動量有多個，這些軌道和自旋運(yùn)動，故角動量有多個，這些角動量又有相應(yīng)的磁矩，所以有必要研究角動量又有相應(yīng)的磁矩，所以有必要研究角動量耦合問題。角動量耦合問題。兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums) 簡單情況是兩個角動量的耦合。對

2、于多簡單情況是兩個角動量的耦合。對于多個角動量則依次耦合。個角動量則依次耦合。 3兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums) 考慮任意兩個角動量算符考慮任意兩個角動量算符 和和 1J2J它們滿足一般對易關(guān)系它們滿足一般對易關(guān)系 111222iiJJJJJJ它們是相互獨(dú)立的它們是相互獨(dú)立的 1212,0,0JJJ Jzyx,一、總角動量一、總角動量定義定義 與與 的和為總角動量的和為總角動量 1J2JJ12J = J +J121212xxxyyyzzzJJJJJJJJJiJ JJ4,xyzyzxzxyJJi JJJi JJJi J221222,0,0

3、JJJJ2122,0,0zzJ JJ J0,0,22JJJJ, ,x y z 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums)2222zyxJJJJ21222122122)(JJJJJJJ5 由由 、 的本征值和本征矢，可以求出的本征值和本征矢，可以求出 本征值和本征值和本征矢。本征矢。 1J2JJ 設(shè)以設(shè)以 和和 分別表示分別表示 、 的共同本征的共同本征矢和矢和 、 的共同本征矢。的共同本征矢。11j m22j m21JzJ122JzJ2二、本征值和本征矢二、本征值和本征矢 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular mome

4、ntums)相應(yīng)的本征值方程為：相應(yīng)的本征值方程為：（1） 221111111111111(1)zJj mjjj mJj mmj m222222222222222(1)zJj mjjj mJj mmj m（2 2） 6 又因又因 、 、 、 也是相互對易的，則它們的共同也是相互對易的，則它們的共同本征矢也組成正交歸一完全系，設(shè)為：本征矢也組成正交歸一完全系，設(shè)為： 21J22JzJ2J12, ,j jj m221 21 21 21 22211 2111 22221 2221 2(1)(1)(1)zj j jmj jj j jmJj j jmmj j jmj j jmj jj j jmj j j

5、mjjj j jmJJJ（4） 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums) 因?yàn)樗惴驗(yàn)樗惴?、 、 、 相互對易，則它們的相互對易，則它們的共同本征矢組成正交歸一完全系：共同本征矢組成正交歸一完全系： 21JzJ122JzJ2, , ,j m j mjmj m11221122（3 3） 721212211221121mmjmjjmjmjmjmjjmjj耦合表象可按無耦合表象展開：耦合表象可按無耦合表象展開： 其中，展開其中，展開系數(shù)系數(shù) 稱稱為為CGCG耦合系數(shù)耦合系數(shù)（克來布希（克來布希- -高登高登系數(shù)系數(shù)） 112212j m j mj j

6、 j m 7.4 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums) 顯然，顯然， 是沒有耦合的表示，故稱為是沒有耦合的表示，故稱為無耦合表象。無耦合表象。2211mjmj1 2j j j m是有耦合的表示，故稱為是有耦合的表示，故稱為耦合表象。耦合表象。8由于由于 zzzJJJ21故故 或或 21mmm12mm m21 2122212221 2, , ,mj j jmj m m j mj m m j m j j jm（5 5） 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums)由上面的討論可知：由上面的討論可知：.

7、.當(dāng)求得了量子數(shù)當(dāng)求得了量子數(shù)j j 和和 后后, ,就能得到就能得到 和和 的本征值。的本征值。. .當(dāng)求得當(dāng)求得CGCG耦合系數(shù)后，由（耦合系數(shù)后，由（5 5）式可由）式可由 和和 的共同本征矢的共同本征矢 進(jìn)行線性迭加而得到進(jìn)行線性迭加而得到 和和 的共同本征矢的共同本征矢 。m2JzJ2211mjmjzJ12j j j m22J21J2J9當(dāng)當(dāng) 和和 為已知時，總量子數(shù)的取值為：為已知時，總量子數(shù)的取值為：1j2j12121212,1,2, |jjjjjjjjj 122121,21,21jjjjjjjj當(dāng)時有個取值當(dāng)時有個取值 的本征值為的本征值為 2J2) 1(jj三、量子數(shù)和本征值

8、三、量子數(shù)和本征值 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums)21mmm11, 2, 1, 0jm,有有 個取值個取值； 121j22, 2, 1, 0jm, ,有有 個取值。個取值。 221j 便有便有 個取值，但不完全獨(dú)立！個取值，但不完全獨(dú)立！12mm) 12)(12 (21jj10例：當(dāng)氫原子處于例：當(dāng)氫原子處于P P態(tài)時，本征值的可能值態(tài)時，本征值的可能值 1, 01m，212m31132222m 、11lj212Sj，3 12 2j 、，zJ的本征值為的本征值為3113,2222兩個角動量的耦合 (coupling of two ang

9、ular momentums)2J的本征值為的本征值為 ， 2415243 的本征值為的本征值為 。 zJm 的獨(dú)立值：的獨(dú)立值：,1,1,jjjj m11 當(dāng)給定當(dāng)給定 時，時， 有有 個取值，對應(yīng)有個取值，對應(yīng)有 個本征矢個本征矢 。 1m121j1j121j11,mj 當(dāng)給定當(dāng)給定 時，時， 有有 個取值，對應(yīng)有個取值，對應(yīng)有 個本征矢個本征矢 。2j2m221j 221j 22,j m四、四、CGCG耦合系數(shù)和耦合系數(shù)和 的本征矢的本征矢2zJJ，兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums) 同時給定同時給定 和和 時，時， 和和 的共同本征

10、矢的共同本征矢 共有共有 個，相應(yīng)地，耦合表象的本征矢個，相應(yīng)地，耦合表象的本征矢 也應(yīng)有也應(yīng)有 個，而且每一個都是個，而且每一個都是無耦合表象本征矢無耦合表象本征矢 的線性迭加的線性迭加1j2j21J22J2211mjmj) 12)(12 (21jj12j j j m) 12)(12 (21jj2211mjmj 由于耦合系數(shù)的明顯表達(dá)式復(fù)雜，一般查專用表，由于耦合系數(shù)的明顯表達(dá)式復(fù)雜，一般查專用表，如如克來布?？藖聿枷? -高登系數(shù)表高登系數(shù)表。 下表列出第二個角動量為電子自旋角動量下表列出第二個角動量為電子自旋角動量 時的幾個矢量耦合系數(shù)。時的幾個矢量耦合系數(shù)。 21()2j 12兩個角動

11、量的耦合 (coupling of two angular momentums)1221111022j mmmjj mjj212m212m 112j 112j 12111221jmj12111221jmj12111221jmj12111221jmj將這些系數(shù)代入將這些系數(shù)代入(5)(5)式可得式可得11221111111111111 1 11 1122,22212 2 2212 22jmjmjjmj mj mjj 13兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums)11221111111111111 1 11 1122,22212 2 2212 22jm

12、jmjjmj mj mjj （6 6） （6 6）式中，）式中， 只表述了只表述了 和和 兩個，而兩個，而 還有不同取值未表述還有不同取值未表述. . jmjj21211 jj112j j m注意注意 的數(shù)目不定，還得視的數(shù)目不定，還得視 而定，例如對而定，例如對氫原子氫原子P P態(tài)態(tài), , ，應(yīng)有，應(yīng)有6 6個本征矢個本征矢，其中其中4 4個是獨(dú)個是獨(dú)立的。立的。11lj12j j j m1j 對氫原子對氫原子，（6 6）式也可表示為具體表象形式）式也可表示為具體表象形式 用用 的本征函數(shù)的本征函數(shù) 和和 的本征函數(shù)的本征函數(shù) 表示：表示： zLL,2,ll mY ，2,zSS()smzs1

13、4,1,1122111, ,1,222 1llll ml l mllml mYl mYl 兩個角動量的耦合 (coupling of two angular momentums),1,1122111, ,1222 1lll l mll mllml mYl mYl lj 1lsmmmlsmmm改寫為改寫為 157.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu) Fine structures of the optical spectrum16 討論電子自旋與軌道相互作用對類氫原子能級和討論電子自旋與軌道相互作用對類氫原子能級和譜線的影響譜線的影響。)2220rUH（不考慮自旋與軌道相互作用時不考慮自旋

14、與軌道相互作用時對類氫原子對類氫原子 rZerUs2)(因 彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)20,zzHL L S( , , , )( , )( )lslsznlm mnll mmrsRr Y 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 1 1）未考慮核外內(nèi)層未考慮核外內(nèi)層電子對核的屏蔽電子對核的屏蔽無耦合表象無耦合表象基矢基矢而而sszmsmSm自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)12sm 0nHE能量本征值能量本征值 212nzEEn41213.602seEeV17sm有兩個取值，故有兩個取值，故 是是 簡并的能級簡并的能級 nE22n總角動量算符總角動量算符 SLJ 彼

15、此對易，則它們有共同的本征函數(shù)彼此對易，則它們有共同的本征函數(shù)（耦合表象中的基矢）：（耦合表象中的基矢）：220 ,zH L J J()( )()n,l,j,mznll jmzr,sRr u,s=lsslslmmmnlmmmzmjlnCsr),(, 將耦合表象的基矢將耦合表象的基矢 按無耦合表象按無耦合表象基矢基矢 展開展開nljmlsnlm m 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 2 2）18 電子自旋與軌道運(yùn)動的相互作用能比電子的動能電子自旋與軌道運(yùn)動的相互作用能比電子的動能和在核場中的勢能小得多，現(xiàn)表示為：和在核場中的勢能小得多，現(xiàn)表示為：2211( )2dUHL Sr L

16、 Scrdr HHH0考慮自旋與軌道運(yùn)動相互作用能的影響考慮自旋與軌道運(yùn)動相互作用能的影響SLSLSLJ2)(2222而而223()4S 由于由于 的存在，使的存在，使 和和 都與都與 不對易，故不不對易，故不能用能用 和和 來描述來描述( ( 和和 不是好量子數(shù)不是好量子數(shù)) )zLzSHlmsmHlmsm 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 3 3）4321222LJSL（1 1） 190()HHE（2 2） 都和都和 對易，但由于對易，但由于 的存在的存在, , 與與 不對易，故不能認(rèn)為不對易，故不能認(rèn)為 的本征函數(shù)的本征函數(shù) 就是就是 的本征函數(shù)，設(shè)的本征函數(shù)，設(shè) 的本征

17、函數(shù)為的本征函數(shù)為 ，本征方程為，本征方程為 H22,zJJLH)(rH0H, , ,n l j m0HH由于由于 的本征值是簡并的，可用簡并情況下的微擾理的本征值是簡并的，可用簡并情況下的微擾理論方法求方程（論方法求方程（2 2）的解。）的解。 0H 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 4 4）ljmnljmljmC令令（4） 由（由（2 2）式，則有：）式，則有： (1),()0l j m ljmnl lj jmmljmljmHEC （3 3） 20矩陣元：矩陣元： mjlnHmjlnHljmmj l, ,)(, 220( ) ( ), , ,nlR rr r dr l j

18、m L S l j m （4 4） 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 5 5）而：而： 22213,()24lj m L S ljml j mJLljm lljj mmj jl l 231124h222,03()11( ) ( )24ljm ljmnllljjmmHj jl lRrr r dr 令令 nl jnlHj jl lR r r r dr22031124（5 5） 21,()l j m ljmnljl lj jm mHH 故故 0)1 (ljmnnljCEH由此得能量的一級修正：由此得能量的一級修正： (1)(1), ,nn l jnl jEEH 7.5 7.5 光譜的

19、精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 6 6）(0)(1)(0)nl jnnnnl jEEEEH（6 6） ()()snlnlzedR r r r drR (r) rdr cdrr驏=- 桫蝌22222 20012積分：積分： 2242222230301122()(1)2ssnlzeezR drcrc an l ll（7） 2214 223223031(1)(1)()(1)424snl jz eHjl ln l llc a 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ 7 7）144 22(0)32 23031(1)(1)()(1)424snl jnz z eEEjl ln l llc a 當(dāng)當(dāng) 和

20、和 給定后，給定后， （除外（除外 ）, ,能量能量分裂為兩個能量值分裂為兩個能量值, ,由此產(chǎn)生了光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)由此產(chǎn)生了光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。12jl nl0l 故由此可得兩個態(tài)的能量分別為故由此可得兩個態(tài)的能量分別為 2(0)41, ,22(0)41, ,2()2(21)(1)()2(21)nn l j lnn l j lcznEEnllcznEEnll （8 8） 23兩能級差為兩能級差為 4211, , ,222(1)nln l ln l lcznEEEnl l 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ ）13712ces精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) 對于對于 的能級，自旋與軌道無

21、耦合，故能級不的能級，自旋與軌道無耦合，故能級不分裂，不移動。分裂，不移動。0l相應(yīng)兩個態(tài)函數(shù)為：相應(yīng)兩個態(tài)函數(shù)為： 對于對于 的能級，均分裂移動。的能級，均分裂移動。 1l()()()( )/znln,l,l,mlmr,slmlRr Y, +-驏 驏琪 =+ 桫桫1 21112221212()( )()/nll mlmlRr Y, +-驏 驏琪 +-+桫桫1 21122121224()()()()/znln,l,l,mlmr,slmlRr Y, -驏 驏琪 = -+桫桫1 21112221212()( )()/nll mlmlRr Y, +-驏 驏琪 +桫桫1 211221212 7.5 7.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（ ） 對于對于 的情況，的情況， 有兩個取值，能級均一有兩個取值，能級均一分為二。分為二。 1l21 lj 由于考慮了電子自旋與軌道運(yùn)動的相互作用，使由于考慮了電子自旋與軌道運(yùn)動的相互作用，使能級不僅與能級不僅與 有關(guān)，而且與有關(guān)，而且與j j 有關(guān)