競賽課件：曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解

1、12 曲線運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件曲線運(yùn)動(dòng)發(fā)生的條件合外力方向與速度方向不在一直線合外力方向與速度方向不在一直線FvFnFt切向力改變速度大小切向力改變速度大小ttvFmamt 法向力改變速度方向法向力改變速度方向2nnvFmam 求解曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方法求解曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方法物體運(yùn)動(dòng)情況分析物體運(yùn)動(dòng)情況分析物體受力情況分析物體受力情況分析3XY 如圖所示，滑塊如圖所示，滑塊A質(zhì)量為質(zhì)量為M，因繩子的牽引而沿水，因繩子的牽引而沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)，繩子的另一端纏在半徑為平導(dǎo)軌滑動(dòng)，繩子的另一端纏在半徑為r的鼓輪的鼓輪O上，鼓輪以等角上，鼓輪以等角速度速度轉(zhuǎn)動(dòng)不計(jì)導(dǎo)軌摩擦，求繩子的拉力轉(zhuǎn)動(dòng)不計(jì)導(dǎo)軌摩擦，求繩子

2、的拉力FT與距離與距離x之間的關(guān)之間的關(guān)系系 BxArO 分析滑塊A受力： AMgFNFTvvtvn重力重力Mg、導(dǎo)軌支持力導(dǎo)軌支持力FN，繩子拉力繩子拉力FT 分析滑塊A運(yùn)動(dòng)： A沿導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)可視做沿繩向繩與輪切沿導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)可視做沿繩向繩與輪切點(diǎn)點(diǎn)B的平動(dòng)及以切點(diǎn)的平動(dòng)及以切點(diǎn)B為中心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合為中心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成成 tvr tannvr 由牛頓第二定律: 2sinsinco:stTNvFFMXgMx A實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿水平實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿水平 sinTNMgFF 22tansinsinsincosTTrFMgFMgMx 由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系 2222tancosrxrxxr 42 2522TMrxxFr

3、 4BA 如圖所示，套管如圖所示，套管A質(zhì)量為質(zhì)量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動(dòng)繩子另一端繞過離桿距離為動(dòng)繩子另一端繞過離桿距離為L的滑輪的滑輪B而纏在鼓輪上當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其而纏在鼓輪上當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其邊緣上各點(diǎn)的速度大小為邊緣上各點(diǎn)的速度大小為v0求繩子拉力和距離求繩子拉力和距離x之間的關(guān)系之間的關(guān)系 XY分析滑塊A受力： MgFNFT重力重力Mg、繩子拉力繩子拉力FT、導(dǎo)軌支持力導(dǎo)軌支持力FN分析滑塊A運(yùn)動(dòng)： vAv0vt 滑塊沿導(dǎo)軌向上的運(yùn)滑塊沿導(dǎo)軌向上的運(yùn)動(dòng)速度動(dòng)速度vA可視作沿繩向滑輪可視作沿繩向滑輪B的法向速的法向速度度v0及以及以B為中心轉(zhuǎn)動(dòng)的切向

4、速度為中心轉(zhuǎn)動(dòng)的切向速度vt的合的合成！成！ 0tantvv xL由牛頓第二定律: 222sincos:tTNvFFMgMxXL A實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿豎直，在水平方向滿足實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿豎直，在水平方向滿足 sinTNFF 20222sincosTTLvxFFMgMxL 202222coscosTv LFMgMxxL 202221coscosTv LMgFgxxL 2 222031v LxLMgxx g 5 如圖所示，長度為如圖所示，長度為l的不可伸長的線系在豎直軸的頂端，在線的不可伸長的線系在豎直軸的頂端，在線的下端懸掛質(zhì)量為的下端懸掛質(zhì)量為m的一重物再在這重物上系同樣長度的另一根線，線的下的一重物再在這

5、重物上系同樣長度的另一根線，線的下端懸掛質(zhì)量也為端懸掛質(zhì)量也為m的另一個(gè)重物軸以恒定角速度的另一個(gè)重物軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)試證明第一根線與轉(zhuǎn)動(dòng)試證明第一根線與豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度 mgmg設(shè)第一根線上拉力為設(shè)第一根線上拉力為FT1，第二根線上拉力為，第二根線上拉力為FT2FT2FT1在豎直方向1cos2TFmg 2cosTFmg 在水平方向 2tansinsinmgml 212sinsinsinTTFFml 2tansinsinlg 22tantansinlg 2tantansin2lg 0 0 6 如圖所示，小物塊質(zhì)量為如圖所示，

6、小物塊質(zhì)量為m，在半徑為，在半徑為r的圓柱面上沿螺旋線的圓柱面上沿螺旋線形的滑槽滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的切向加速度大小為形的滑槽滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的切向加速度大小為at=gsin，式中，式中為螺旋線的切線與水為螺旋線的切線與水平面的夾角，求：由于小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩大平面的夾角，求：由于小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩大小小 rABCD小物塊切向加速度的水平分量為 ： gsinsincostxag 產(chǎn)生這個(gè)加速度的切向水平力大?。?sincosFmg 此力反作用力為圓柱面所受沿柱面且此力反作用力為圓柱面所受沿柱面且方向水平之力，其對軸產(chǎn)生的力矩即方向水平之力，其對軸產(chǎn)生的力矩即

7、為使柱面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩：為使柱面繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩： sincosMmgr sin22mgr 7vv 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r的圓木擱在兩個(gè)高度相同的支的圓木擱在兩個(gè)高度相同的支架上，右支架固定不動(dòng)，而左支架以速度架上，右支架固定不動(dòng)，而左支架以速度v從圓木下面向外滑求當(dāng)兩個(gè)支點(diǎn)從圓木下面向外滑求當(dāng)兩個(gè)支點(diǎn)距離距離 時(shí)，圓木對固定支架的壓力時(shí)，圓木對固定支架的壓力FN（兩支架開始彼此靠得很近，圓木與（兩支架開始彼此靠得很近，圓木與支架之間的摩擦不計(jì)）支架之間的摩擦不計(jì)） 小試身手題小試身手題8 82ABr BrOAr2AOB 由幾何關(guān)系知由幾何關(guān)系知分析圓木受力

8、 mgFNAFNB重力重力mg、支架支架A、B支持力支持力FNA、 FNB 分析圓木運(yùn)動(dòng)： 圓木質(zhì)心圓木質(zhì)心O繞繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)v圓木與圓木與B接觸接觸,故接觸點(diǎn)具有相同的法向速故接觸點(diǎn)具有相同的法向速度度 O對對A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度 22Ovv 22v圓木的運(yùn)動(dòng)方程圓木的運(yùn)動(dòng)方程222ONAvmgFmr 45 22vmr 2222NAvmgrF vOFN2222NFvmgr 22vgr 否則圓木否則圓木已與固定支架脫離已與固定支架脫離 8 如圖所示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為如圖所示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，繩長為

9、，繩長為L，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個(gè)以的小球，恰好也沿著一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的大圓在桌面上運(yùn)動(dòng)，小球和桌面之間點(diǎn)為圓心的大圓在桌面上運(yùn)動(dòng)，小球和桌面之間有摩擦，求：手對細(xì)繩做功的功率有摩擦，求：手對細(xì)繩做功的功率P；小球與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；小球與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù) VrvLf22RrL 小球圓運(yùn)動(dòng)的半徑設(shè)為小球圓運(yùn)動(dòng)的半徑設(shè)為RR22VrL 分析小球受力 T 繩拉力繩拉力T；桌面摩擦力；桌面摩擦力 f 小球圓周運(yùn)動(dòng)，在法向有小球圓周運(yùn)動(dòng)，在法向有222cosTmrL 手拉端速度 PTv 322rLmrL vr 小球

10、勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在切向有小球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在切向有sinfT 222R RLmL 9 有兩個(gè)相同的單擺，把一個(gè)拴在另一個(gè)的下面，使它們各在有兩個(gè)相同的單擺，把一個(gè)拴在另一個(gè)的下面，使它們各在一個(gè)水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩條擺線一個(gè)水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩條擺線(長長)與豎直線所成的夾角都很與豎直線所成的夾角都很小已知在運(yùn)動(dòng)過程中兩條擺線一直保持在同一平面內(nèi)，求此平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速小已知在運(yùn)動(dòng)過程中兩條擺線一直保持在同一平面內(nèi)，求此平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，以及兩質(zhì)點(diǎn)軌道半徑之比度，以及兩質(zhì)點(diǎn)軌道半徑之比 兩線兩球在豎直面內(nèi)的態(tài)勢可以有左、右圖示兩種可能兩線兩球在豎直面內(nèi)的態(tài)勢可以有左、右圖示兩種可能R

11、 mgF1F2F1mgF2R分析各球受力及運(yùn)動(dòng)軌跡 rr mg mg2212tansinsinmgmRFFmr 下下球球上上球球其其中中122coscosmgmgFF tan2tantanRr 在、小角度的條件下 sintanxxx12 21Rr 22gL 等號兩邊相除得 2 sinsinsinLL 由幾何關(guān)系得 2 2 2 gR 2 2 10水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度水平直徑以上各點(diǎn)的臨界速度 在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是指向圓心的情況，例如系在繩端的小球，指向圓心的情況，例如系在繩端的小球，過山車過山車線線繩繩v mgFT2sinTvFmgmR RsinRg 當(dāng)

12、當(dāng)FT =0時(shí)，時(shí)，v 臨界臨界= v軌軌道道m(xù)gFN 在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道因而可做完整的圓運(yùn)動(dòng)的條件是因而可做完整的圓運(yùn)動(dòng)的條件是 ：sinvgR 在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是在水平直徑以上各點(diǎn)彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱形橋背離圓心的情況，例如車過拱形橋軌軌道道vmgFN2sinNvmgFmR sinRg 當(dāng)當(dāng)FN =0時(shí)，時(shí)，v 臨界臨界= 在水平直徑以上各點(diǎn)在水平直徑以上各點(diǎn)不脫離軌道的條件是不脫離軌道的條件是 ：sinvgR 11機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2211222mgRmvmv 下下上上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的彈力差最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的彈力差2vFmg

13、mR 下下下下6mgFF 下下上上能到達(dá)最高點(diǎn)的最低點(diǎn)速度能到達(dá)最高點(diǎn)的最低點(diǎn)速度5vRg 下下恰能到達(dá)最高點(diǎn)，最低點(diǎn)加速度恰能到達(dá)最高點(diǎn)，最低點(diǎn)加速度5ag v上上mgFN上上v下下 mgFN下下2vmgFmR 上上上上2211222mgRmvmv 下下上上12豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)mgFNFfvmgFNvFfW0 非非13 如圖所示，如圖所示，一長為一長為a的細(xì)線系著一小球懸掛在的細(xì)線系著一小球懸掛在O點(diǎn)點(diǎn)靜止不動(dòng)若使小球獲得一個(gè)水平初速度靜止不動(dòng)若使小球獲得一個(gè)水平初速度 ，略去空氣，略去空氣阻力，證明：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過懸點(diǎn)阻力，證明：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過懸點(diǎn)O 0

14、23vag 小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過懸點(diǎn)小球運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)通過懸點(diǎn)O，是，是因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平因?yàn)榫€繩在水平直徑上方與水平成某一角度成某一角度時(shí)，繩恰不再張緊，時(shí)，繩恰不再張緊，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)Ovv0yx0 繩上張力為零時(shí)小球達(dá)臨界速度sinvag 該過程機(jī)械能守恒該過程機(jī)械能守恒: : 22011sin1 sin22mvmagmga 圖示圖示 23sin21 sinagagga sin33 h小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)y方向位移為方向位移為-h時(shí)歷時(shí)時(shí)歷時(shí)t,有有21cos2hvtgt 3/3ag2361332avtgt 232

15、 2 32 30gtagta 2 3tag 14這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為這段時(shí)間內(nèi)小球完成的水平位移為sinxvt 332 333aagg 6cos3aa Oyx063a 說明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過程中，說明小球做斜拋運(yùn)動(dòng)過程中，通過了坐標(biāo)為通過了坐標(biāo)為 63,33aa 的懸點(diǎn)的懸點(diǎn)O!33a 15 圖圖中，中，A是一帶有豎直立柱的木塊，總質(zhì)量為是一帶有豎直立柱的木塊，總質(zhì)量為M，位于水平，位于水平地面上地面上B是一質(zhì)量為是一質(zhì)量為m的小球，通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端現(xiàn)的小球，通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端現(xiàn)拉動(dòng)小球，使繩伸直并處于水平位置拉動(dòng)小球，使繩伸直并處于水平位置.然后讓小

16、球從靜止?fàn)顟B(tài)下擺如在小球然后讓小球從靜止?fàn)顟B(tài)下擺如在小球與立柱發(fā)生碰撞前，木塊與立柱發(fā)生碰撞前，木塊A始終未發(fā)生移動(dòng)，則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)始終未發(fā)生移動(dòng)，則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大？至少為多大？ BAmgv分析小球B下擺時(shí)受力： L2sinTvFmgmL 小球小球動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 小球小球機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 21sin2mgLmv 分析木塊A受力： AMgFNTFfmF 木塊木塊靜止須滿足靜止須滿足 cossinTfmTFFMgF cossinTTFMgF 23sin cos3sinmgMgmg 23 cossin1 cot3mMm 23tan1 cot3mMm 33

17、tancotmMmM 由基本不等式性質(zhì)： 3tancotMmM 當(dāng)當(dāng)tan3MMm m ax323mMM m 323mM Mm 則則FT16 如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量均勻的大球殼，正好靜止在如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量均勻的大球殼，正好靜止在桌邊上，球殼與桌子無摩擦，對球殼輕輕一推，使其滾下桌子，計(jì)桌邊上，球殼與桌子無摩擦，對球殼輕輕一推，使其滾下桌子，計(jì)算球殼不再接觸到桌子的瞬間，球殼中心的速率算球殼不再接觸到桌子的瞬間，球殼中心的速率 mgFNCO球殼靜止時(shí)，與桌邊接觸的一點(diǎn)O為其支點(diǎn)，球殼二力平衡! 輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼的質(zhì)心輕推球殼，即給球殼一微擾，球殼的質(zhì)心C將將以支點(diǎn)以支點(diǎn)O為軸，以

18、球半徑為軸，以球半徑R為半徑在豎直面內(nèi)從初為半徑在豎直面內(nèi)從初速度為零開始做圓周運(yùn)動(dòng)，其間重力勢能減少，動(dòng)速度為零開始做圓周運(yùn)動(dòng)，其間重力勢能減少，動(dòng)能增加；當(dāng)球殼質(zhì)心做圓運(yùn)動(dòng)所需向心力僅由重力能增加；當(dāng)球殼質(zhì)心做圓運(yùn)動(dòng)所需向心力僅由重力來提供時(shí)，球與桌支持點(diǎn)間無擠壓，即開始脫離桌來提供時(shí)，球與桌支持點(diǎn)間無擠壓，即開始脫離桌子子設(shè)球殼設(shè)球殼“不再接觸桌子的瞬時(shí)不再接觸桌子的瞬時(shí)”球心速度球心速度為為vmgv 2cosvmgmR 1 coskmgRE 球殼動(dòng)力學(xué)方程球殼動(dòng)力學(xué)方程球殼機(jī)械能守恒球殼機(jī)械能守恒 質(zhì)心對O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能212OEmv 球殼對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2111 cos23mgRmv

19、 22516vgRvgR 611vgR 172112 lim2nCi iniEmv 22112lim2sinsin22224nnimvRRiRinnRnR xy用微元法計(jì)算球殼對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能用微元法計(jì)算球殼對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能ECC2n i將球殼面分割成寬的一條條極細(xì)的環(huán)帶2Rn 第i條環(huán)帶的質(zhì)量22sin224immRRinnR 第i條環(huán)帶的速率sin2ivvRiRn 整個(gè)球殼對過C而垂直于豎直面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為2311limsin222nnimvinn 2111lim3sinsin322422nnimviinnn 2131 3sinsinsinsin12 2222 222lim 33822s

20、insin44nnnnnnnnnmvnnnn 211383mv 213mv 返回返回18 筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來的土石，盛在筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來的土石，盛在一個(gè)籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下如索道形狀為一個(gè)籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下如索道形狀為 的拋物線，且的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看作質(zhì)量為籮筐及它所盛的土石可以看作質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求籮筐自的質(zhì)點(diǎn)，求籮筐自x=2a處自由滑至拋物處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度，并求此時(shí)籮筐對鋼索的壓力線頂點(diǎn)時(shí)的速度，并求此時(shí)籮筐對鋼索的壓力. 24xay 在以豎直向上方向?yàn)樵谝载Q直向上方向?yàn)閥軸正方向軸正方向建立的坐

21、標(biāo)系中，鋼索呈頂點(diǎn)為建立的坐標(biāo)系中，鋼索呈頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、開口向上的拋物線坐標(biāo)原點(diǎn)、開口向上的拋物線0yxa2avvg由質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒由質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒 212mgamv 2vag 質(zhì)點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程FNmg2NvFmgm 其中拋物線頂點(diǎn)的曲率半徑由22vgvg 2NFmg 19 如圖所示，一輕繩跨越一固定水平光滑細(xì)桿，其兩端各系如圖所示，一輕繩跨越一固定水平光滑細(xì)桿，其兩端各系一小球，球一小球，球a置于地面，球置于地面，球b從水平位置由靜止向下擺動(dòng)，設(shè)兩球質(zhì)量相同求從水平位置由靜止向下擺動(dòng)，設(shè)兩球質(zhì)量相同求a球恰要離開地面時(shí)跨越細(xì)桿的兩繩之間的夾角球恰要離

22、開地面時(shí)跨越細(xì)桿的兩繩之間的夾角 balL設(shè)設(shè)a球恰要離地時(shí)兩繩夾角為球恰要離地時(shí)兩繩夾角為，此時(shí)，此時(shí)a球與地面無擠壓球與地面無擠壓,繩上張力恰與繩上張力恰與a球重力球重力相等相等 mg mgFTFT21cos2mvmgl b球機(jī)械能守恒球機(jī)械能守恒 b球動(dòng)力學(xué)方程球動(dòng)力學(xué)方程2cosTvFmgml mgcos2cosmgmgmg 3cos1 11cos3 20 如圖所示，長為如圖所示，長為l的輕桿上端有一個(gè)質(zhì)量為的輕桿上端有一個(gè)質(zhì)量為m的小重物，桿的小重物，桿用鉸鏈固接在用鉸鏈固接在A點(diǎn)，并處于豎直位置，同時(shí)與質(zhì)量為點(diǎn)，并處于豎直位置，同時(shí)與質(zhì)量為M的物體互相接觸由于的物體互相接觸由于微小

23、擾動(dòng)使系統(tǒng)發(fā)生運(yùn)動(dòng)試問質(zhì)量之比微小擾動(dòng)使系統(tǒng)發(fā)生運(yùn)動(dòng)試問質(zhì)量之比 M/m為多少情況下，桿在脫離物體時(shí)為多少情況下，桿在脫離物體時(shí)刻與水平面成角刻與水平面成角/6，這時(shí)物體的速度，這時(shí)物體的速度u為多少？為多少？ MmlA小重物與物體恰要脫離時(shí)兩者接小重物與物體恰要脫離時(shí)兩者接觸而無擠壓觸而無擠壓, 故物體的加速度為故物體的加速度為零零!小重物只受重力，小重物與物體水平速度相同 mg30 vu則則2vu 過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒2111 sin622mglmvMu 224vmglmvM 小重物小重物動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程2sin6vmgml 22glv 4mM 2glv 8ugl

24、21 如圖所示，質(zhì)量均為如圖所示，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球固定在長度為的兩個(gè)小球固定在長度為l的輕桿兩的輕桿兩端，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處突然發(fā)生微小的擾動(dòng)使桿無初端，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處突然發(fā)生微小的擾動(dòng)使桿無初速倒下，求當(dāng)桿與豎直方向成角速倒下，求當(dāng)桿與豎直方向成角時(shí)，時(shí)，A球?qū)Φ淖饔昧η驅(qū)Φ淖饔昧?BA當(dāng)當(dāng)A球?qū)ηo作用力時(shí)，球?qū)ηo作用力時(shí)，桿與豎直所成臨界角為桿與豎直所成臨界角為 2011 cos2mglmv 由由20cosvm gml 12cos3 當(dāng)桿與墻夾角 時(shí)A球?qū)o作用力球?qū)o作用力當(dāng)桿與墻夾角 時(shí) mgvFN過程中過程中B球球機(jī)械能守恒

25、機(jī)械能守恒 211cos2mglmv 此時(shí)此時(shí)B球球動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程2cosNvmgFml 3cos2NFmg NF A球?qū)Φ淖饔昧inNFF 3cos2 sinmg 22R 一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)的任意點(diǎn)P，在重，在重力作用下由靜止開始往下滑，從力作用下由靜止開始往下滑，從Q點(diǎn)離開球面，求點(diǎn)離開球面，求PQ兩點(diǎn)的高度兩點(diǎn)的高度差差h. 設(shè)球半徑為設(shè)球半徑為R RPQHmgv h 由機(jī)械能守恒:212mghmv Q點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為:2sinvmgmR 由幾何關(guān)系:sinHhR 3hH 2HRmghmgRR 若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初

26、速滑下，則可沿球面滑若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下下R/3的高度，釋放高度的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下越小，沿球面滑下的高度越短這是一個(gè)有趣又有用的模型的高度越短這是一個(gè)有趣又有用的模型 返回返回23xOmyR 質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的光滑勻質(zhì)半球，靜止在光滑水平面上，的光滑勻質(zhì)半球，靜止在光滑水平面上，在球頂有一質(zhì)量為在球頂有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止沿球面下滑，求的質(zhì)點(diǎn)，由靜止沿球面下滑，求m離開離開M以前的軌跡方程以前的軌跡方程和和m繞球心繞球心O的角速度的角速度 先確定先確定m沿球面下滑的軌跡：沿球面下滑的軌跡：xMM 在圖示坐標(biāo)系中，沿x 方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒 0

27、sinMMMxm Rx sinMRMxmm 則m的坐標(biāo)xysinsincosMMRxRxMmyR 221MmyxMRR 消去參數(shù)即得m在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程設(shè)對應(yīng)于設(shè)對應(yīng)于角角,m繞球心繞球心O的角速度為的角速度為,M速度為速度為VM則m的速度cossinxMyvRVvR MVR 由x 方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒 0MxMVmv 24 cosMxMmmVvRVMM cosMmRMmV cosxMRMmv sinyRv 由系統(tǒng)機(jī)械能守恒由系統(tǒng)機(jī)械能守恒 222111cos22MxymgRMVm vv 221cossing MmR Mm 222221 coscossinMgRRRMm 25ml相對做勻角速度

28、轉(zhuǎn)動(dòng)的非相對做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系靜止的物體慣性參考系靜止的物體小球受繩拉小球受繩拉力而勻速轉(zhuǎn)力而勻速轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)小球受繩拉力小球受繩拉力而靜止而靜止?TFinFma 20TTiFmFlF 在相對于慣性參考系在相對于慣性參考系具有向心加速度的參考系具有向心加速度的參考系中所引入的使牛頓定律仍中所引入的使牛頓定律仍能適用的力就是慣性離心能適用的力就是慣性離心力力! !牛頓運(yùn)動(dòng)定律仍可適用相對做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非相對做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系運(yùn)動(dòng)的物體慣性參考系運(yùn)動(dòng)的物體AOu r2mr 2mu 2r 2 u Aa FfFNinFma Fk科里奧利力是轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中引入的假想的科里奧利力是轉(zhuǎn)動(dòng)參考系

29、中引入的假想的慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度的真實(shí)力，方向相反物體在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的真實(shí)力，方向相反物體在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上沿任何方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，都將受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)沿任何方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，都將受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向垂直的科里奧利力方向垂直的科里奧利力 : :2kFmu 26 如圖所示，在以角速度如圖所示，在以角速度繞中心軸繞中心軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的太空實(shí)驗(yàn)室勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的太空實(shí)驗(yàn)室里，一長為里，一長為l的細(xì)線，一端固定在中心軸的細(xì)線，一端固定在中心軸O，另一端系一質(zhì)量為，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球的小球，小球相對實(shí)驗(yàn)室以速度相對實(shí)驗(yàn)室以速度v勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向與勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向與相

30、反，求細(xì)線上的拉力相反，求細(xì)線上的拉力FT 的大的大小小 Ol 取太空實(shí)驗(yàn)室為參考系取太空實(shí)驗(yàn)室為參考系,小球受小球受線繩拉力線繩拉力FT和慣性離心力和慣性離心力Fi和科和科里奧利力里奧利力Fk小球?qū)μ諏?shí)驗(yàn)室的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為小球?qū)μ諏?shí)驗(yàn)室的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為vvFTFiFk2TikvFFFml 由牛頓第二定律由牛頓第二定律其中2iFml 2kFmv 222TvFmlmvml 222TvmlmmvFl 27 如圖所示，一對繞固定水平軸如圖所示，一對繞固定水平軸O和和O同步轉(zhuǎn)動(dòng)的凸輪，使傳同步轉(zhuǎn)動(dòng)的凸輪，使傳送裝置的水平平板發(fā)生運(yùn)動(dòng)問凸輪以多大角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，放在平板上的零件送裝置的水平平板發(fā)生運(yùn)動(dòng)問凸輪以

31、多大角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，放在平板上的零件開始移動(dòng)？當(dāng)凸輪按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，零件將往什么方向移動(dòng)？零件與開始移動(dòng)？當(dāng)凸輪按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，零件將往什么方向移動(dòng)？零件與平板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為平板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為凸輪半徑為凸輪半徑為r OO 以具有加速度的以具有加速度的板為參考系，零板為參考系，零件處于平衡件處于平衡!分析零件受力：重力重力mg 板約束力板約束力（摩擦力與支持力合（摩擦力與支持力合力）及慣性力力）及慣性力mr2當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，板約束力方當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，板約束力方向與豎直成摩擦角向與豎直成摩擦角=tan-1 ，三，三力應(yīng)構(gòu)成閉合三角形如示！力應(yīng)構(gòu)成閉合三角形如示！mgm

32、r 2rtan-1 2min1gr 22sin1rmmg 零件開始滑動(dòng)的臨界值 28abcdtan-1 mr 2r若凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)、角速度大于若凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)、角速度大于min mgtan-1 矢量端點(diǎn)從a到b時(shí)，重力,約束力與慣性力不可能構(gòu)成閉合三角形,且約束力水平分量向右!以大虛線圓矢徑表示大于以大虛線圓矢徑表示大于2minmr 的慣性力，所受慣性力方向變的慣性力，所受慣性力方向變化如示化如示: 零件向右滑零件向右滑矢量端點(diǎn)從c到d時(shí)，重力,約束力與慣性力也不可能構(gòu)成閉合三角形,且約束力水平分量向左 !零件向左滑零件向左滑29 輪船以等速率輪船以等速率v沿赤道向東航行，試計(jì)算由此使沿赤道向

33、東航行，試計(jì)算由此使船上物體重量產(chǎn)生的相對誤差，地球自轉(zhuǎn)角速度為船上物體重量產(chǎn)生的相對誤差，地球自轉(zhuǎn)角速度為 設(shè)地球半徑為設(shè)地球半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，自轉(zhuǎn)角速度為，赤道上重力加速度為，赤道上重力加速度為g對地球參考系，船靜止在赤道上時(shí)貨物重即支持面支持力對地球參考系，船靜止在赤道上時(shí)貨物重即支持面支持力 2mgFFmR 支支引引2kFm v 科里奧利力當(dāng)船以速率當(dāng)船以速率v沿赤道向東航行時(shí)，貨物受：沿赤道向東航行時(shí)，貨物受：地心引力F引地面支持力F支慣性離心力 F i=mR2對地球參考系，船以對地球參考系，船以v沿赤道圓做勻速圓運(yùn)動(dòng)，有沿赤道圓做勻速圓運(yùn)動(dòng)，有222vFmRFmvmR 引引支支222vFmRFmmvR 引引支支相對誤差為2222vmmvvvRRmggR 2vg 30 半徑為半徑為R0.5 m的空心球繞本身的豎直直徑旋轉(zhuǎn)，如圖所的空心球繞本身的豎直直徑旋轉(zhuǎn)，如圖所示，角速度為示，角速度為5 rad/s在空心球內(nèi)高度為在空心球內(nèi)高度為R/2處有一小木塊同球一起旋轉(zhuǎn)，處有一小木塊同球一起旋轉(zhuǎn)，g取取10 m/s2 實(shí)現(xiàn)這一情況所需的最小摩擦系數(shù)為多少？實(shí)現(xiàn)這一情況所需的最小摩擦系數(shù)為多少？ 求求8 rad/s時(shí)實(shí)現(xiàn)這一情況的條件時(shí)實(shí)現(xiàn)這一情況的條件 2R以球?yàn)閰⒖枷?，小木塊靜止