函數單調性和凹凸性

1、函數單調性和凹凸性1第一頁，共10頁。證證應用拉格朗日中值定理應用拉格朗日中值定理)()(12xfxf0,0 )(f0 12 xx, )( ),( , 2121xxbaxx(1). 設設)(12xxf),(21xx),()( 21xfxf即即)(xfba,所以所以在在上單增上單增.定理定理3.3.1 (函數單調性的判定法函數單調性的判定法)設函數設函數 y=f(x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 在在 (a, b) 內可導內可導.)()(12xfxf)(xf 在某區(qū)間內在某區(qū)間內有限個點處為零有限個點處為零,若若則函數則函數)(xf在該區(qū)間上仍是單增在該區(qū)間上仍是單增(或單減或單減)的的.在

2、其余點處在其余點處恒為正恒為正(或負或負),說明說明在在),( ba(1).若在若在0)( xf內內單調單調 增加增加.,ba, 則則上上( )f x在在),( ba(2).若在若在0)( xf內內單調單調 減少減少.,ba, 則則上上( )f x2第二頁，共10頁。xycos10解解內在 )2 , 0( sin xxy例例1. 判定函數判定函數0,2 在在上的單調性上的單調性. sin xxy0,2 在在上單增上單增. 一個函數并不一定在其整個定義域內都是單調增加或一個函數并不一定在其整個定義域內都是單調增加或單調減少單調減少,而往往是在定義域內的某一部分區(qū)間上單增而往往是在定義域內的某一部

3、分區(qū)間上單增,在另一部分區(qū)間上單減在另一部分區(qū)間上單減,函數函數)(xf的單增區(qū)間的單增區(qū)間,單減區(qū)間統(tǒng)稱為單減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間單調區(qū)間.3第三頁，共10頁。5xxyoab1x2x3x4x)(xfy 0)()()(321xfxfxf)(4xf 不存在不存在,0)(5 xf確定函數單調區(qū)間的方法和步驟確定函數單調區(qū)間的方法和步驟:(1). 確定函數確定函數)(xfy 的定義域的定義域;(2). 求求),(xf 找使找使0)( xf的點的點(駐點駐點),及使及使)(xf 不存在的點不存在的點;(3). 以以(2)中所找點為分界點中所找點為分界點,將定義域分割成部分區(qū)間將定義域分割成部分區(qū)間, 判

4、斷在每一區(qū)間上導數的符號，由定理得出結論。判斷在每一區(qū)間上導數的符號，由定理得出結論。4第四頁，共10頁。解解 (1).定義域定義域 ,)2)(1(6xx 31292)(23xxxxf例例2.確定函數確定函數的單調區(qū)間的單調區(qū)間.0)( xf令令2 , 121xx, 得得)(xf (2).(3).以以2 , 121xx為分界點為分界點,將定義域分割將定義域分割,列表列表:x)x(f )x(f),(1 ),(21),(2 增增減減增增函數函數)(xf的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為: 1 ,(,(2,).單減區(qū)間為單減區(qū)間為:2 , 1 (121862xx5第五頁，共10頁。二、函數凸性的判別法二、函數

5、凸性的判別法定義定義3.3.1 (函數的凸性函數的凸性)22 2121)x(f)x(f)xx(f 22 2121)x(f)x(f)xx(f 若對任意若對任意I , 21xx)(xf設設在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，上連續(xù)， xyoxoy)2(21xxf1x2x2)()(21xfxf1x2x2)()(21xfxf)2(21xxf圖形下凸圖形下凸圖形上凸圖形上凸6第六頁，共10頁。直觀觀察直觀觀察)(xf )(xf 0)( xf0)( xf曲線下凸曲線下凸xyo曲線上凸曲線上凸xoy遞增遞增遞減遞減7第七頁，共10頁。定理定理3.3.2設函數設函數)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù),在在),(ba內具有二階導

6、數內具有二階導數,(1)若在若在),(ba內內0 )(xf，則，則)(xf在在,ba上曲線是上曲線是0 )(xf(2)若在若在),(ba內內，則，則)(xf在在,ba上曲線是上曲線是下凸的；下凸的；上凸的。上凸的。問題：確定函數在那些區(qū)間上圖形上凸的，那些區(qū)間上圖形是下凸的問題：確定函數在那些區(qū)間上圖形上凸的，那些區(qū)間上圖形是下凸的，即求函數的凸向區(qū)間。，即求函數的凸向區(qū)間。8第八頁，共10頁。解解23xy xy6 xy03xy 3xy 例例1.判斷曲線判斷曲線的凸向的凸向 , 0 y0 x時時,)0 ,( 曲線曲線 在在 內是上凸的內是上凸的. , 0 y0 x時時,), 0( 曲線曲線 在

7、在 內時是下凸的內時是下凸的.定義定義 曲線上曲線上上上凸弧與下凸弧的分界點凸弧與下凸弧的分界點,稱為稱為拐點拐點.如例如例1中中,點點)0 , 0(是曲線是曲線 3xy 的拐點的拐點.如如, )( 4xxf, 0)0( f但點但點)0 , 0(不是拐點不是拐點.1.若點若點)(,(00 xfx是拐點是拐點,則則. 0)(0 xf或或 不存在不存在)(0 xf 2.由由. 0)(0 xf所確定的點所確定的點)(,(00 xfx未必是拐點未必是拐點.或不存在或不存在注意注意9第九頁，共10頁。解解, 3132xy , 9232xxy y 不存在不存在.例例2. 求曲線求曲線 3xy 的拐點的拐點. 0 x時時, , 0 y0 x時時,)0 ,( 曲線曲線 在在 內是下凸的內是下凸的. , 0 y0 x時時,), 0( 曲線曲線 在在 內時是上凸的內時是上凸的.所以所以,曲線曲線 3xy 的拐點是的拐點是 (0,0).確定曲線的凸向區(qū)間及拐點的方法和步驟：確定曲線的凸向區(qū)間及拐點的方法和步驟：1.