第五版電路第八章

1、1第第8 8章章 相量法相量法 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)8.1正弦量正弦量8.2相量法的基礎(chǔ)相量法的基礎(chǔ)8.3電路定律的相量形式電路定律的相量形式8.422.2.正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3.電路定理的相量形式電路定理的相量形式1.1.正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)31.1.復(fù)數(shù)的表示形式復(fù)數(shù)的表示形式) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位FbReImao|F|bajFeFFj)sin(cos|jbaFj|jFeFFj|eFF 代數(shù)式代數(shù)式指數(shù)式指數(shù)式極坐標(biāo)式極坐標(biāo)式三角函數(shù)式三角函數(shù)式8.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)4幾種表示法的關(guān)系：幾種表示法的關(guān)系：ab baFarctan | 22或或si

2、n| cos| F bFa2.2.復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算 加減運(yùn)算加減運(yùn)算 采用代數(shù)式采用代數(shù)式FbReImao|F|baFj|jFeFF5則則 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2圖解法圖解法F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F26 乘除運(yùn)算乘除運(yùn)算 采用極坐標(biāo)式采用極坐標(biāo)式1122jj()11111j222221122| | | FFFeFeFFFeF|F |F |則則: :2121)( j21j2j121 2121FFeFFeFeFFF模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相減角相減若若12jj1122,FF e

3、FF e7例例1 ?2510475)226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原原式式569. 0 j47.1261. 248.12解解例例2?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2 .126j2 .180原式原式04.1462.203 .56211. 79 .2724.1916.70728. 62 .126j2 .180329. 6 j238. 22 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .1828 旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ej =cos +jsin =1FejFReIm0Fej旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子9j2sinj2cos ,22jej)2s

4、in(j)2cos(,22je1)sin(j)cos(,je +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。特殊特殊旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子ReIm0FFjFjF注意108.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量l瞬時(shí)值表達(dá)式瞬時(shí)值表達(dá)式i(t)=Imcos(w t+y)ti0Tl周期周期T 和頻率和頻率f頻率頻率f ：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。周期周期T ：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。單位：赫單位：赫( (茲茲) )Hz單位：秒單位：秒sTf1正弦量為周期函數(shù)正弦量為周期函數(shù) f(t)=f ( t+kT )波形波形11 幅值幅值 ( (振幅、最大值振

5、幅、最大值) )Im(2) (2) 角頻率角頻率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3) 初相位初相位yTf22w單位：?jiǎn)挝唬?rad/s ，弧度弧度/ /秒秒反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量變化幅度的大小。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。 反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，常用角度表示。反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+y) 12同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。一般規(guī)定一般規(guī)定：|y | 。y =0y =/2y =/2iowty注意13例例已知正弦電流波形如圖，已知正弦電

6、流波形如圖，w103rad/s，1.1.寫(xiě)出寫(xiě)出 i(t) 表達(dá)式；表達(dá)式；2.2.求最大值發(fā)生的時(shí)間求最大值發(fā)生的時(shí)間t1 1tio10050t1解解)10cos(100)(3yttiycos100500t3y由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè)由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè)3y)310cos(100)(3tti有有最最大大值值當(dāng)當(dāng) 310 13tms047. 110331t143.3.同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差設(shè)設(shè) u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)相位差相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i規(guī)定規(guī)定：

7、 |j | (180)等于初相位之差等于初相位之差lj 0， u超前超前i j 角角，或或i 滯后滯后 u j 角角, (u 比比 i 先先到達(dá)最大值到達(dá)最大值) )；15w tu, iu iyuyijol j 0， i 超前超前 u j 角，或角，或u 滯后滯后 i j 角角, i 比比 u 先先 到達(dá)最大值）。到達(dá)最大值）。16j 0， 同相同相j = (180o ) ，反相反相特殊相位關(guān)系特殊相位關(guān)系w tu iow tu iow tu io同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。j /2, u 領(lǐng)先領(lǐng)先 i /2 17例例計(jì)算下列兩正弦量的相位差。計(jì)

8、算下列兩正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201ttitti)2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201ttuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201ttitti解解045)2(43j43245j000135)105(30j)105100cos(10)(02tti不能比較相位差不能比較相位差21ww000120)150(30j)150100cos(3)(02tti兩個(gè)正弦量?jī)蓚€(gè)正弦

9、量進(jìn)行相位比進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足較時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足同頻率、同同頻率、同函數(shù)、同符函數(shù)、同符號(hào)，且在主號(hào)，且在主值范圍比較。值范圍比較。 結(jié)論184.4.周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效果了衡量其平均效果, ,工程上采用有效值來(lái)表示。工程上采用有效值來(lái)表示。l周期電流、電壓有效值定義周期電流、電壓有效值定義ttiRWTd)(20TRIW2物物理理意意義義R直流直流IR交流交流 i19TttiTI02defd)(1均方根值均方根值定義電壓有效值：定義電壓有效值：TttuTU02defd)(1l 正弦

10、電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值設(shè)設(shè) i(t)=Imcos(w t+y)2022m01cos ( ) dTIIttTwy20001 cos2( ) cos ( ) dd211 22TTTtttttTwywymm2m707. 0221 IITITIm( )cos( )2 cos( )i tItItwywyII2 m21同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：UUUU2 21mm或或若交流電壓有效值為若交流電壓有效值為 U=220V ， U=380V 其最大值為其最大值為 Um311V Um537V注意工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如工程上說(shuō)

11、的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。22 測(cè)量中，交流測(cè)量?jī)x表指示的電壓、電流讀測(cè)量中，交流測(cè)量?jī)x表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。數(shù)一般為有效值。 區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。符號(hào)。UUuIIi, ,mm238.3 相量法的基礎(chǔ)相量法的基礎(chǔ)1.1.問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出電路方程是微分方程：電路方程是微分方程：兩個(gè)正

12、弦量的相加：如兩個(gè)正弦量的相加：如KCL、KVL方程運(yùn)算：方程運(yùn)算：2CCC2dd( )dduuLCRCuu ttt) cos(2111ywtIi) cos(2222ywtIiRLC+-uCiLu+-24i1i1+i2 i3i2ww w角頻率角頻率I1 I2I3有效值有效值初相位初相位1y2y3yw tu, ii1 i2oi3結(jié)論 同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只需確定初相位和有效值。因此采用所以，只需確定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)變換的思想變換的思想25造一個(gè)復(fù)函數(shù)造一個(gè)復(fù)函數(shù)j()( )2tF tIewy對(duì)對(duì) F(t) 取實(shí)

13、部取實(shí)部Re ( )2 cos( )( )F tIti twy任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)。數(shù)。j( )2 cos( ) ( )2tiItF tIewywy2 cos( )j 2 sin( )ItItwywy無(wú)物理意義無(wú)物理意義是一個(gè)正弦量是一個(gè)正弦量 有物理意義有物理意義3.3.正弦量的相量表示正弦量的相量表示結(jié)論26F(t) 還可以寫(xiě)成還可以寫(xiě)成jjj( )22ttF tIeeIeyww復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)正弦量對(duì)正弦量對(duì)應(yīng)的相量應(yīng)的相量( )2 cos( ) i tItIIwyy 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相

14、量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位注意F(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、w，復(fù)常數(shù)包含了兩個(gè)要素：復(fù)常數(shù)包含了兩個(gè)要素：I , 。yy27( )2cos( ) u tUtUU w=+=&同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：已知已知例例1 1試用相量表示試用相量表示i, u . .oo141.4cos(31430 )A311.1cos(31460 )Vitut解解oo100 30 A, 22060 VIU= -&例例2試寫(xiě)出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。試寫(xiě)出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。解解A )15314cos(250ti 5

15、0 15 A, 50HzIf=o&已已知知28在復(fù)平面上用向量表示相量的圖在復(fù)平面上用向量表示相量的圖( )2 cos()i tItIIyy UUtUtu) cos(2)(wl 相量圖相量圖UI+1+jy294.4.相量法的應(yīng)用相量法的應(yīng)用 同頻率正弦量的加減同頻率正弦量的加減j 1111j 2222( )2cos( )Re( 2)( )2cos( )Re( 2)ttu tUtU eu tUtU ewwwywyjj1212jjj1212( ) ( )( )Re( 2)Re( 2) Re( 22)Re( 2()tttttu tu tu tU eU eU eU eUUewwwwwU21UU

16、U相量關(guān)系為：相量關(guān)系為：結(jié)論 同頻正弦量的加減運(yùn)算變?yōu)閷?duì)應(yīng)相量同頻正弦量的加減運(yùn)算變?yōu)閷?duì)應(yīng)相量的加減運(yùn)算。的加減運(yùn)算。30i1 i2 = i3321 III例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuV604 V 306o2o1UUV )9 .41314cos(264. 9)()()( o21ttututu60430621UUU46. 3 j23 j19. 546. 6 j19. 7V 9 .4164. 9o31借助相量圖計(jì)算借助相量圖計(jì)算+1+j301U602U9 .41U首尾相接首尾相接V604 V 306o2o1UU+1+j9 .41U602U

17、301U32 正弦量的微分、積分運(yùn)算正弦量的微分、積分運(yùn)算 ) cos(2iiIItIiyyw j2Re 2Redddd j jtteIe IttiwwwtteIte Iti j jj2Re d 2Redwww微分運(yùn)算微分運(yùn)算 積分運(yùn)算積分運(yùn)算2 jddiIItiyww2 jdiIItiyww33 ) cos(2)(itItiyw d1dd)(tiCtiLRitu用相量運(yùn)算：用相量運(yùn)算： jjCIILIRUww 把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題；把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題； 把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算； 可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路?？梢园阎绷麟娐返姆?/p>

18、析方法直接用于交流電路。相量法的優(yōu)點(diǎn)例例Ri(t)u(t)L+-C34 相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。線性電路。相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。 正弦量正弦量相量相量時(shí)域時(shí)域 頻域頻域正弦波形圖正弦波形圖相量圖相量圖注意不不適適用用線線性性線線性性w1w2非非線性線性w351 1. .基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 0)(ti同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和KVL可用相應(yīng)的相量

19、形式表示：可用相應(yīng)的相量形式表示： 流入某一結(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示流入某一結(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿(mǎn)足時(shí)仍滿(mǎn)足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿(mǎn)足相量表示時(shí)仍滿(mǎn)足KVL。0 2Re)( j21teIItiw 0I 0)(tu 0U表明8.4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式362 2. .電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式時(shí)域形式：時(shí)域形式：相量形式相量形式：R iiIIURIyy 相量模型相量模型 ( )2 cos()ii tItwyR ( )( )2cos()iutRi tRItwy有效值關(guān)系有效值關(guān)系相位關(guān)系相位關(guān)系

20、UR相量關(guān)系：相量關(guān)系：IRURuyUR=R IuiyyRuR(t)i(t)+-R+-RUI37瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率iupRR 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 iw touRpRURI 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w交變，始終大于零，表明電阻交變，始終大于零，表明電阻始終吸收功率始終吸收功率2R22 cos ()iUItyR1cos2()iU Ity同同相相位位RUIuiyy38時(shí)域形式：時(shí)域形式：相量形式：相量形式：) cos(2)( itItiwLd ( )( )2sin()d 2 cos()2iii tutLLIttLItwwywwy 相量模型相量模型相量關(guān)系：相量關(guān)系：LLjjUL IX Iw3

21、3. .電感元件電感元件VCR的相量形式的相量形式L 2iiIIULIywy 有效值關(guān)系有效值關(guān)系： U=w L I相位關(guān)系：相位關(guān)系： +90uiyyi(t)uL(t)L+-jw L+-LUI39感抗的性質(zhì)感抗的性質(zhì) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力； 感抗和頻率成正比。感抗和頻率成正比。wXL相量表達(dá)式相量表達(dá)式XL=wL=2fL，稱(chēng)為感抗，單位為稱(chēng)為感抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )BL=1/w L =1/2fL， 稱(chēng)為稱(chēng)為感納，單位為感納，單位為 S 感抗和感納感抗和感納Ljj, UX ILIwLL0, 0, ;, , XXww 開(kāi)路( (直直流流) )短短路路; ;L11jjj

22、IB UUULL wwww40瞬時(shí)瞬時(shí)功率功率LLLmmL cos()sin( ) sin2( )iiipu iUIttU Itwywywyw t iouLpL2 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電感只儲(chǔ)能不耗能。好互相抵消，表明電感只儲(chǔ)能不耗能。波形圖及相量圖波形圖及相量圖電壓超前電壓超前電流電流90900 0LUIiy41時(shí)域形式：時(shí)域形式：相量形式：相量形式： ( )2cos()uu tUtwyCd ( )( )2sin( )d 2cos( )2uuu titCCUttCUtwwywwy 相量模型相量模型iC(t)u(t)C+-

23、C I U+- -Cj1相量關(guān)系：相量關(guān)系：C1jjUIX IC w w4 4. .電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式 C 2ywyuuUUICU有效值關(guān)系：有效值關(guān)系：相位關(guān)系：相位關(guān)系： 90uiyy1UICw42XC=1/w C， 稱(chēng)為容抗，單位為稱(chēng)為容抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )B C = w C， 稱(chēng)為容納，單位為稱(chēng)為容納，單位為 S 容抗和頻率成反比容抗和頻率成反比 0， XC 直流開(kāi)路直流開(kāi)路( (隔直隔直) ) w ，XC0 高頻短路高頻短路wXC容抗與容納容抗與容納相量表達(dá)式相量表達(dá)式CC1jj jjUXIICIBUCUwwC1 jj UX IICw w 43瞬時(shí)

24、功率瞬時(shí)功率CCCC2cos()sin() sin2()uuupuiUIttUItyyyw t iCoupC 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w交變，有正有負(fù)，一周期交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消，內(nèi)剛好互相抵消，表明電容只儲(chǔ)能不耗能。表明電容只儲(chǔ)能不耗能。波形圖及相量圖波形圖及相量圖電流超前電流超前電壓電壓9002UCIuy44 j . 5CCCIUw例例1 試判斷下列表達(dá)式的正、誤。試判斷下列表達(dá)式的正、誤。Liu . 1w005 cos5 . 2tiwmm j . 3CUIwLLL . 4IUXLL j . 6ILUwtiCudd . 7UImUmmIUIUCwj1L45例例2)(:),5c

25、os(2120)( titt u求求已已知知解解00120ULjj4 5j20X C1jjj105 0.02X 相量模型相量模型Uj20-j101I2I3I+_15I+_15u4H0.02Fi46011112015j20j108j6j128j610 36.9 A A)9 .365cos(210)( 0tt i123LCjjUUUIIIIRXXUj20-j101I2I3I+_15I47例例360S 5 2cos 1015( )(),:( )i ttu t已已知知求求解解0155IC661jjj5100.2 10X V3022545251555 j51550000CRSUUUR,UICU相量模型相量模型SUiuS0.2F+_5+_5I-j5U48例例4? ,V78 ,V50 BCAC