概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)

1、2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室1統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 學(xué)學(xué)statistics李欣先李欣先 Email:2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室2 第第5章章 概率論概念縱覽 （a survey of probability concepts ） 第1節(jié) 什么是概率（ what is a probability） 第2節(jié) 概率求解方法（ approach to probability ） 第3節(jié) 幾個(gè)概率法則（ some rules of probability ） 第4節(jié) 樹形圖（tree diagrams ） 第5節(jié) 貝葉斯定理（Bayes theorem） 第

2、6節(jié) 計(jì)數(shù)定理（principles of counting）2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室3Managers often base their decisions on an analysis of uncertainties such as the following:1. What are the chances that sales will decrease if we increase prices?2. What is the likelihood a new assembly method will increase productivity?3. Ho

3、w likely is it that the project will be finished on time?4. What is the chance that a new investment will be profitable?2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室4第1節(jié) 什么是概率（ what is a probability）概率是對事件事件發(fā)生的可能性大小的度量，記為記為P(A)明天降水的概率是80%。這里的80%就是對降水這一事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)值度量你購買一只股票明天上漲的可能性是30%，這也是一個(gè)概率一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值 2022-3-1

4、9山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室5試試 驗(yàn)驗(yàn)(experiment)對試驗(yàn)對象進(jìn)行一次觀察或測量的過程對試驗(yàn)對象進(jìn)行一次觀察或測量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)從一副從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的紙牌的數(shù)字或花色數(shù)字或花色)試驗(yàn)的特點(diǎn)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確

5、定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室6事件事件(event)事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集任何樣本點(diǎn)集合合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母用大寫字母A，B，C，表示表示隨機(jī)事件(random event)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室7事件事件(event)簡單事件(simple event) ：不能被分解成其他事件組：不能被分解成其他事件組合的基本事件合的基本

6、事件拋一枚均勻硬幣，拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面”和和“出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面” 必然事件(certain event)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用用 表示表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossible event)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用的事件，用 表示表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于62022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室8樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間(sample Space)一個(gè)試驗(yàn)中所有結(jié)果的集合，用一個(gè)試驗(yàn)中所有結(jié)果的集合，用 表表示示例如：在例如

7、：在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，樣本空間表擲一顆骰子的試驗(yàn)中，樣本空間表示為：示為： 1,2,3,4,5,6在投擲硬幣的試驗(yàn)中，在投擲硬幣的試驗(yàn)中， 正面，反面正面，反面樣本點(diǎn)( sample point)樣本空間中每一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果樣本空間中每一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果用符號用符號 表示表示2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室9第2節(jié) 概率求解方法（ approach to probability ）The classical method of assigning probabilities is appropriate when all the experimental outcom

8、es are equally likely.【例】【例】擲骰子的例子，偶數(shù)面朝上的概率擲骰子的例子，偶數(shù)面朝上的概率是多少是多少?2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室10The relative frequency method of assigning probabilities is appropriate when data are available to estimate the proportion of the time the experimental outcome will occur if the experiment is repeated a lar

9、ge number of times.2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室11The subjective method of assigning probabilities is most appropriate when one cannot realistically assume that the experimental outcomes are equally likely and when little relevant data are available.2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室12互斥事件及其概率互斥事件及其概率(mutual

10、ly exclusive events) 在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)就不能發(fā)生，就不能發(fā)生，則稱事件則稱事件A與事件與事件B是是互斥事件,(沒有公共樣本點(diǎn)沒有公共樣本點(diǎn))A2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室13互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例題分析例題分析)【例】在一所城市中隨機(jī)抽取在一所城市中隨機(jī)抽取600個(gè)家庭，用個(gè)家庭，用以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：義如下事件： A：600個(gè)家庭中恰好有個(gè)家庭中恰好有265個(gè)家庭擁有電個(gè)家庭擁有電腦腦 B：恰好有：恰好有1

11、00個(gè)家庭擁有電腦個(gè)家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你的理由你的理由 (1) A與與B (2) A與與C (3) B與與 C2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室14互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例題分析例題分析)解：(1) 事件事件A與與B是互斥事件。因?yàn)槟阌^察是互斥事件。因?yàn)槟阌^察 到恰好有到恰好有265個(gè)家庭擁有電腦，就個(gè)家庭擁有電腦，就 不可能恰好有不可能恰好有100個(gè)家庭擁有電腦個(gè)家庭擁有電腦 (2) 事件事件A與與C不是互斥事件。因?yàn)閺埲皇腔コ馐录?。因?yàn)閺?/p>

12、三 也許正是這也許正是這265個(gè)家庭之一，因而事個(gè)家庭之一，因而事 件與有可能同時(shí)發(fā)生件與有可能同時(shí)發(fā)生 (3) 事件事件B與與C不是互斥事件。理由同不是互斥事件。理由同(2)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室15互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例題分析例題分析)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室16互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例題分析例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是是1/2，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時(shí)，上面的，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時(shí)，上面的4個(gè)簡個(gè)簡單事件中每一事件發(fā)生的相對頻數(shù)單事件

13、中每一事件發(fā)生的相對頻數(shù)(概率概率)將近似將近似等于等于1/4。因?yàn)閮H當(dāng)。因?yàn)閮H當(dāng)H1T2或或T1H2發(fā)生時(shí)，才會(huì)恰發(fā)生時(shí)，才會(huì)恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或或T1H2又為互斥事件，兩個(gè)事件中一個(gè)事件發(fā)生又為互斥事件，兩個(gè)事件中一個(gè)事件發(fā)生或者另一個(gè)事件發(fā)生的概率便是或者另一個(gè)事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于率等于H1T2或或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個(gè)事件發(fā)生的概率之和件中每個(gè)事件發(fā)生的概率之和 2022-

14、3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室17互斥事件的加法規(guī)則互斥事件的加法規(guī)則(addition law) 加法規(guī)則若兩個(gè)事件若兩個(gè)事件A與與B互斥，則事件互斥，則事件A發(fā)生或事件發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件各自的概率發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件各自的概率之和，即之和，即 P(AB) =P(A)+P(B)事件事件A1，A2，An兩兩互斥，則有兩兩互斥，則有 P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室18互斥事件的加法規(guī)則互斥事件的加法規(guī)則 (例題分析例題分析) 1616161616161)6()5()4()3()

15、2() 1 ()654321 (PPPPPPP或或或或或2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室19概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)(小結(jié)小結(jié))非負(fù)性非負(fù)性對任意事件對任意事件A，有，有 P 1規(guī)范性規(guī)范性一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于0與與1之間的值，即之間的值，即對于任意事件對于任意事件 A，有有0 P 1必然事件的概率為必然事件的概率為1；不可能事件的概率為；不可能事件的概率為0。即。即P ( )=1； P( )=0可加性可加性若若A與與B互斥，則互斥，則P(AB) =P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，An，有，有 P(A1A2

16、An)= P(A1)+P(A2)+P(An)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室20事件的補(bǔ)及其概率事件的補(bǔ)及其概率 事件的補(bǔ)(complement) 事件事件A A不發(fā)生的事件，稱為補(bǔ)事件不發(fā)生的事件，稱為補(bǔ)事件A A的補(bǔ)事件的補(bǔ)事件( (或稱逆事件或稱逆事件) )，記為，記為 A 。它是樣本空間中所有它是樣本空間中所有不屬于事件不屬于事件A的樣本點(diǎn)的集合的樣本點(diǎn)的集合2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室21廣義加法公式廣義加法公式(general rule of addition)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室22廣義加法公式廣義

17、加法公式(事件的并或和事件的并或和) B2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室23廣義加法公式廣義加法公式(事件的交或積事件的交或積) A2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室24廣義加法公式廣義加法公式(例題分析例題分析) 解：設(shè)設(shè) A = =員工離職是因?yàn)閷べY不滿意員工離職是因?yàn)閷べY不滿意 B = =員工離職是因?yàn)閷ぷ鞑粷M意員工離職是因?yàn)閷ぷ鞑粷M意 依題意有：依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AB)= P(A)+ P(B)+ P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.552022-3-19山東輕院皮革教研

18、室山東輕院皮革教研室25條件概率與事件的獨(dú)立性條件概率與事件的獨(dú)立性假設(shè)一個(gè)盒子里有假設(shè)一個(gè)盒子里有10卷膠卷，且卷膠卷，且3卷是次卷是次品。從盒子拿出一卷，接著拿出第二卷，品。從盒子拿出一卷，接著拿出第二卷，則第二卷是次品的概率是？則第二卷是次品的概率是？2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室26條件概率條件概率(conditional probability) 在事件在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱發(fā)生的概率，稱為已知事件為已知事件B時(shí)事件時(shí)事件A的條件概率，記為的條件概率，記為P(A|B) 2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教

19、研室27條件概率條件概率(例題分析例題分析)解：設(shè)設(shè) A =顧客購買食品，顧客購買食品， B =顧客購買其他商品顧客購買其他商品 依題意有：依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35 4375.080.035.0)()()(APABPABP5833.060.035.0)()()(BPABPBAP2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室28條件概率條件概率(例題分析例題分析)【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購買了同一種計(jì)算機(jī)配一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示件，質(zhì)量狀況如下表所示 從這從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查

20、，求個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求 (1) 取出的一個(gè)為正品的概率取出的一個(gè)為正品的概率 (2) 取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率 (3) 取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率 (4) 已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件 正品數(shù)次品數(shù)合計(jì)供應(yīng)商甲 84690供應(yīng)商乙 1028110合計(jì)186142002022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室29條件概率條件概率(例題分析例題分析)解：設(shè)設(shè) A = 取出的一個(gè)為正品取出的一個(gè)為正品 B = 取出的一個(gè)為

21、供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件 (1) (2) (3) (4)93. 0200186)(AP45. 020090)(BP42. 020084)(ABP9333. 045. 042. 0)()()(BPABPBAP2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室30As an illustration of the application of conditional probability, consider the situation of the promotion status of male and female officers of a major metr

22、opolitan police force in the eastern United States. The police force consists of 1200 officers, 960 men and 240 women. Over the past two years, 324 officers on the police force received promotions. The specific breakdown of promotions for male and female officers is shown in Table 4.4.2022-3-19山東輕院皮

23、革教研室山東輕院皮革教研室31After reviewing the promotion record, a committee of female officers raised a discrimination case on the basis that 288 male officers had received promotions but only 36 female officers had received promotions. The police administration argued that the relatively low number of promoti

24、ons for female officers was due not to discrimination, but to the fact that relatively few females are members of the police force. Let us show how conditional probability could be used to analyze the discrimination charge.2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室32menwomentotalpromoted28836 324Not promoted672204

25、8762022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室33menwomentotalpromoted0.240.030.27Not promoted0.560.170.732022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室34乘法公式乘法公式(multiplicative law)用來計(jì)算兩事件交的概率用來計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若為兩個(gè)事件，若P(B)0，則，則 P(AB)=P(B)P(A|B) 或或 P(AB)=P(A)P(B|A)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室35乘法公式乘法公式(例題分析例題分

26、析)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室36獨(dú)立事件與乘法公式獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析例題分析)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室37獨(dú)立事件與乘法公式獨(dú)立事件與乘法公式(independent events)若若P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B) ，則稱事件，則稱事件A與與B事件獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件事件獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件 若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即即 P(AB)= P(A) P(B)若事件若事件A1,A2,An相互獨(dú)

27、立，則相互獨(dú)立，則 P(A1, A2, , An)= P(A1) P(A2) P(An) 2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室38獨(dú)立事件與乘法公式獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析例題分析)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室39獨(dú)立事件與乘法公式獨(dú)立事件與乘法公式(例題分析例題分析)2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室40全概公式與逆概公式全概公式與逆概公式2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室41全概公式全概公式 全概公式niiiniiBAPBPABPAP11)()()()(2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教

28、研室42全概公式全概公式(例題分析例題分析)nnnnnBAPBPBAPBPAP111101)()()()()(2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室43逆概公式逆概公式 逆概公式(貝葉斯公式 )njBAPBPBAPBPABPniiijjj, 1,)()()()()(12022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室44逆概公式逆概公式(例題分析例題分析)8 . 04121121121)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室45第4節(jié) 樹形圖（tree diagrams ）A tree diagr

29、am is a graphical representation that helps in visualizing a multiple-stepexperiment.2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室462022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室472022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室48第6節(jié) 計(jì)數(shù)定理（principles of counting）Combinations A useful counting rule allows one to count the number of experimental outcomes when

30、 the experiment involves selecting n objects from a (usually larger) set of N objects. It is called the counting rule for combinations.2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室49COUNTING RULE FOR COMBINATIONSThe number of combinations of N objects taken n at a time isWhere N! =N(N -1)(N -2) . . . (2)(1) n!=n(n-1)(n-2) . . . (2)(1) and, by definition, 0! =1!nNNCnNn2022-3-19山東輕院皮革教研室山東輕院皮革教研室50Permutations A third counting rule