高中數(shù)學(人教版)對弧長曲線積分課件

1、第一講第一講 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一一 、對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對弧長

2、的曲線積分的定義（二）對弧長的曲線積分的定義一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對弧長的曲線積分的定義（二）對弧長的曲線積分的定義曲線形構件的質(zhì)量曲線形構件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割: :121, nMMMiiiisM ),( 求和求和: : niiiisM1),( 取極限取極限: : niiiisM10),(lim 取近似取近似: :線密度線密度 ),(yx 設有一曲線形構件設有一曲線形構件占有占有xoy面內(nèi)一段曲線弧面內(nèi)一段曲線弧L曲線形構件的質(zhì)量曲線形構件的質(zhì)量?12,nsss一、一、 對弧長的曲線積分的

3、概念對弧長的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對弧長的曲線積分的定義（二）對弧長的曲線積分的定義一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對弧長的曲線積分的定義（二）對弧長的曲線積分的定義定義定義并作和并作和,),(1 niiiisf ),(yxf設設 為為 面內(nèi)的一條光滑曲線弧面內(nèi)的一條光滑曲線弧, ,函數(shù)函數(shù)在在 上有界上有界. .LxoyL, ,is 設第設第i 個小段的長度為個小段的長度為在在L 上任意插入一點列上任意插入一點列把把L分成分成n個小段個小段. . 121, nMMM作乘積作乘積), 2 , 1(),(nisfiii 又又為第為

4、第i 個小段上任意取定個小段上任意取定),(ii 的一點的一點, , 如果當各小弧段的長度的最大值如果當各小弧段的長度的最大值 時時, ,這和的極限總存在這和的極限總存在, ,即即01( , )dlim(,).niiiLif x ysfs 函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y) )在曲線弧在曲線弧L上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分, ,( , )d .Lf x ys 其中其中f( (x, ,y) )叫做叫做被積函數(shù)被積函數(shù), ,L叫做叫做積分弧段積分弧段. .0 且與曲線弧且與曲線弧L的分法及點的分法及點 的取法無關，那么稱此極限為的取法無關，那么稱此極限為),(ii

5、 記作記作.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 曲線形構件的質(zhì)量曲線形構件的質(zhì)量: :.d ),( LsyxM l注注(1)(2) 函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y) )在光滑曲線弧在光滑曲線弧L上連續(xù)時上連續(xù)時, ,( , )dLf x ys存在存在函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y, ,z) )在空間曲線弧在空間曲線弧上對弧長的曲線積分上對弧長的曲線積分函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y) )在閉曲線在閉曲線L上對弧長的曲線積分記為上對弧長的曲線積分記為.d ),( Lsyxf對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的

6、曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用12( , )d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ysddd( , )( , )( , )( , ).( , )( , )( , )( , ).LLLf x yg x ysf x ysg x ys線性性質(zhì)線性性質(zhì)可加性可

7、加性不等式不等式在在L上上),(),(yxgyxf ( , )d( , )dLLf x ysg x ys ( , )d( , ) dLLf x ysf x ys 特別地特別地物理意義物理意義dLss 與方向無關與方向無關( , )d( , )dLLf x ysf x ys 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、一、 對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念、對弧

8、長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用 ),(),(tytx )( t設設f(x,y) )在曲線弧在曲線弧L上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù), ,L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為定理定理若若上具有一階連續(xù)導數(shù)上具有一階連續(xù)導數(shù), ,且且)(),(tt , , 0)()(22 tt 在在則曲線積分則曲線積分syxfLd ),( 且且存在存在, ,)( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt )( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt l注

9、注(1) 對弧長的曲線積分的計算歸結為計算一個對弧長的曲線積分的計算歸結為計算一個定積分定積分! !(2) 化為定積分中的三個變化化為定積分中的三個變化在上述公式中在上述公式中, ,下限下限一定小于上限一定小于上限.L, f(x,y) ( ),( )fttds22( )( )dttt (3)口訣口訣: :變量參數(shù)化、一小二起下變量參數(shù)化、一小二起下. .(4)特例特例(1)L：0( )()yxxxX (2)L：0( )()xyyyY 推廣推廣空間曲線弧空間曲線弧：( ),( ),( )()xtytztt)(d)(1)(,d),(020XxxxxxfsyxfLXx )(d)(1),(d),(02

10、0YyyyyyfsyxfLYy )(d)()()()(),(),(d),(222 ttyttttfszyxfL)( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt 對弧長的曲線積分解題思路對弧長的曲線積分解題思路明確明確L的方程的方程化為定積分化為定積分明確明確選擇選擇參數(shù)方程參數(shù)方程( )yx ( )xy ( , )dLf x ys 三變、一注意三變、一注意( , )f x y積分弧段積分弧段L被積函數(shù)被積函數(shù)( ( ),( )ftt弧長元素弧長元素ds一點注意一點注意,22( )( )dttt 下限一定小于上限下限一定小于上限 22( ),( )( )( )dftt

11、ttt 計算定積分計算定積分確定確定參數(shù)范圍參數(shù)范圍對弧長的曲線積分解題思路對弧長的曲線積分解題思路明確明確L的方程的方程化為定積分化為定積分計算定積分計算定積分對弧長的曲線積分解題模板對弧長的曲線積分解題模板L:明確明確選擇選擇確定確定t參數(shù)范圍參數(shù)范圍必寫必寫!建議事先求出建議事先求出,可視情省略可視情省略( , )d( ( ),( )dLf x ysfttt 由由 得得L的方程為的方程為:L的方程為的方程為:ds=xyoB11xyod ,Ly s2yx(0,0)O(1,1)B計算計算其中其中L是拋物線是拋物線上點上點與與之間的一段弧之間的一段弧.u例例1 1ABu例例2 2,e22dsL

12、yx 其中其中L 為圓周為圓周直線直線 及及x軸在第一象限軸在第一象限,222ayx 內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界.計算計算xy u例例3 3dxyz s( , , )( , , )A 1 0 2( , ,)( , ,)B 2 11計算計算其中其中為連接為連接與與的直線段的直線段.2al注注可視情將可視情將L的方程代入被積函數(shù)的方程代入被積函數(shù)!利用對稱性簡化對弧長的曲線積分的計算利用對稱性簡化對弧長的曲線積分的計算L關于關于x軸對稱軸對稱( ,)( , )f xyf x y 0( ,)( , )f xyf x y12( , )dLf x ys ( ,)xy( , )x y

13、1LxoyL關于關于y軸對稱軸對稱類似類似L關于關于y=x對稱對稱( , )dLf x ys 利用對稱性簡化對弧長的曲線積分的計算利用對稱性簡化對弧長的曲線積分的計算L關于關于x軸對稱軸對稱012( , )dLf x ys L關于關于y軸對稱軸對稱類似類似L關于關于y=x對稱對稱( , )dLf x ys ( , )x yxoy( , )y x( , )d( , )dLLf x ysf y xs u例例4 4 計算計算其中其中L為為,d)(32 Lsyx.222Ryx ( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x y對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念一、對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算2 、對弧長的曲線積分的應用、對弧長的曲線積分的應用對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念一、對弧長的曲線積分的概念、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的性質(zhì)、對弧長的曲線積分的計算、對弧長的曲線積分的計算