固體物理(2011) - 第4章 能帶論 5 能帶電子的態(tài)密度

1、1. 能態(tài)密度函數(shù)能態(tài)密度函數(shù) 固體中電子的能量由一固體中電子的能量由一 些準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)形成的些準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)形成的 能帶能帶 能量在能量在EE+ E之間的之間的 能態(tài)數(shù)目能態(tài)數(shù)目 Z能態(tài)密度函數(shù)能態(tài)密度函數(shù)0( )limEZN EE E在在k空間，根據(jù)空間，根據(jù) E(k) = Constant 構(gòu)成的面為等能面構(gòu)成的面為等能面3)2(VdSdkVZ3)2(由由E和和E+ E圍成的體積為圍成的體積為 V，狀態(tài)在，狀態(tài)在k空間是均勻分布的空間是均勻分布的 動(dòng)量標(biāo)度下的能態(tài)密度動(dòng)量標(biāo)度下的能態(tài)密度EE+ E之間的能態(tài)數(shù)目之間的能態(tài)數(shù)目?jī)蓚€(gè)等能面間垂直距離兩個(gè)等能面間垂直距離EEdkk狀態(tài)密度狀態(tài)密度

2、dk能態(tài)密度能態(tài)密度EEdkkdSdkVZ3)2(EEdSVZk3)2(3( )2(2 )kVdSN EEEdSVENk3)2()(考慮到電子的自旋，能態(tài)密度考慮到電子的自旋，能態(tài)密度EEdkk1) 自由電子的能態(tài)密度自由電子的能態(tài)密度mkkE2)(22dkdEEkmk2電子的能量電子的能量在球面上在球面上k空間空間, 等能面是半徑等能面是半徑 的球面的球面22/kmE能態(tài)密度能態(tài)密度EdSVENk34)(3/22222()(2 )VmE2) 近自由電子的能態(tài)密度近自由電子的能態(tài)密度 晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)對(duì)能量的影響表現(xiàn)在布里淵區(qū)附近晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)對(duì)能量的影響表現(xiàn)在布里淵區(qū)附近等能面的變化等能面

3、的變化二維正方格子二維正方格子第一布里淵區(qū)的等能面第一布里淵區(qū)的等能面 波矢接近布里淵區(qū)的波矢接近布里淵區(qū)的A點(diǎn)，點(diǎn)， 能量受到周期性的微擾而能量受到周期性的微擾而 下降，等能面向邊界凸現(xiàn)下降，等能面向邊界凸現(xiàn) 在在A點(diǎn)到點(diǎn)到C點(diǎn)之間，等能面不再是完整的閉合面，點(diǎn)之間，等能面不再是完整的閉合面， 而是分割在各個(gè)頂點(diǎn)附近的曲面而是分割在各個(gè)頂點(diǎn)附近的曲面 能態(tài)密度的變化能態(tài)密度的變化 隨著隨著k接近布里淵區(qū)，等能面不斷向邊界凸現(xiàn)，兩個(gè)等接近布里淵區(qū)，等能面不斷向邊界凸現(xiàn)，兩個(gè)等 能面之間的體積不斷增大，能態(tài)密度將顯著增大能面之間的體積不斷增大，能態(tài)密度將顯著增大在在A點(diǎn)到點(diǎn)到C點(diǎn)之間，等能面發(fā)生

4、殘缺，達(dá)到點(diǎn)之間，等能面發(fā)生殘缺，達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，等能面縮點(diǎn)時(shí)，等能面縮成一個(gè)點(diǎn)成一個(gè)點(diǎn) 能態(tài)密度不斷減小直到為零能態(tài)密度不斷減小直到為零EZENlim)(第二布里淵區(qū)能態(tài)密度第二布里淵區(qū)能態(tài)密度 能量能量E越過第一布里淵區(qū)的越過第一布里淵區(qū)的A點(diǎn)，從點(diǎn)，從B點(diǎn)開始能態(tài)密度點(diǎn)開始能態(tài)密度由零迅速增大由零迅速增大能帶重疊能帶重疊能帶不重疊能帶不重疊3) 緊束縛模型的電子能態(tài)密度緊束縛模型的電子能態(tài)密度 簡(jiǎn)單立方格子的簡(jiǎn)單立方格子的s帶帶 等能面為球面等能面為球面k = 0 附近附近)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxs)(2)(222*2minzyxkkkmEkE 隨著隨著E的

5、增大，等能面與的增大，等能面與 近自由電子的情況類似近自由電子的情況類似32221( )8(sinsinsin)xyzVdSN EaJk ak ak a等能面能態(tài)密度能態(tài)密度)sinsin(sin22221akakakaJEzyxk)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxsEdSVENk34)(X點(diǎn)點(diǎn)k = ( /a, 0, 0)的能量的能量102JEEX出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn)出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn) 等能面與布里淵區(qū)相交等能面與布里淵區(qū)相交帶底帶底106JEE102JEE和和)sinsin(sin22221akakakaJEzyxk102JEEX0EE 2. 費(fèi)米面費(fèi)米面(3d為

6、例為例) 固體中有固體中有N個(gè)自由電子，按照泡利原理它們基態(tài)是由個(gè)自由電子，按照泡利原理它們基態(tài)是由N 個(gè)電子由低到高填充的個(gè)電子由低到高填充的N個(gè)量子態(tài)個(gè)量子態(tài)mkkE2)(223334)2(2FkVN3/13/1)()83(2VNkF3/1)83(2nkF自由電子的能級(jí)自由電子的能級(jí)N個(gè)電子在個(gè)電子在k空間填充一個(gè)半徑為空間填充一個(gè)半徑為kF的球，球內(nèi)包含的球，球內(nèi)包含N個(gè)狀態(tài)數(shù)個(gè)狀態(tài)數(shù)球的半徑球的半徑1d, 2d ? 費(fèi)米波矢、費(fèi)米動(dòng)量、費(fèi)米速度和費(fèi)米溫度費(fèi)米波矢、費(fèi)米動(dòng)量、費(fèi)米速度和費(fèi)米溫度 費(fèi)米能量費(fèi)米能量222FFkEm費(fèi)米球半徑費(fèi)米球半徑2FFmEk 費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米動(dòng)量2FFpmE

7、費(fèi)米速度費(fèi)米速度FFkpmpvFF費(fèi)米溫度費(fèi)米溫度BFFkET 自由電子球半徑自由電子球半徑rs3341srnNV3/1)43(nrs1.92srsmarmpvsFF/10/20. 460ma-10010529. 0222FFkEm20)/(1 .51areVEsF343srn3/1)83(2nkF: 1.515FEeVeV23310/ncm62/0ars 晶體中的電子晶體中的電子 滿帶滿帶 電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)空帶空帶 沒有任何電子占據(jù)（填充）的能帶沒有任何電子占據(jù)（填充）的能帶導(dǎo)帶導(dǎo)帶 一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)沒有被電子占滿一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)沒有被電子

8、占滿 即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶價(jià)帶價(jià)帶 導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶，或最上面的一個(gè)滿帶導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶，或最上面的一個(gè)滿帶禁帶禁帶 兩個(gè)能帶之間，不允許存在的能級(jí)寬度，或帶隙兩個(gè)能帶之間，不允許存在的能級(jí)寬度，或帶隙 單電子的能級(jí)由于周期性勢(shì)場(chǎng)的影響而形成一系列的單電子的能級(jí)由于周期性勢(shì)場(chǎng)的影響而形成一系列的準(zhǔn)連續(xù)的能帶，準(zhǔn)連續(xù)的能帶，N個(gè)電子填充這些能帶中最低的個(gè)電子填充這些能帶中最低的N個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)半導(dǎo)體和絕緣體半導(dǎo)體和絕緣體 電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶，導(dǎo)帶中沒電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶，導(dǎo)帶中沒 有電子有電子 半導(dǎo)體帶隙寬度較小

9、半導(dǎo)體帶隙寬度較小 1 eV 絕緣體帶隙寬度較寬絕緣體帶隙寬度較寬 10 eV金屬金屬 電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶，還部分填充電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶，還部分填充 了其它能帶形成導(dǎo)帶了其它能帶形成導(dǎo)帶 電子填充的最高能級(jí)為費(fèi)密能級(jí)，位于一個(gè)或幾個(gè)能電子填充的最高能級(jí)為費(fèi)密能級(jí)，位于一個(gè)或幾個(gè)能 帶范圍內(nèi)帶范圍內(nèi) 在不同能帶中形成一個(gè)占有電子與不占有電子區(qū)域在不同能帶中形成一個(gè)占有電子與不占有電子區(qū)域 的分解面的分解面 面的集合稱為面的集合稱為費(fèi)密面費(fèi)密面堿金屬堿金屬 具有體心立方格子，每個(gè)原胞內(nèi)有一個(gè)原子，具有體心立方格子，每個(gè)原胞內(nèi)有一個(gè)原子，由由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，各滿層電子

10、的能級(jí)相應(yīng)地分成個(gè)原子構(gòu)成的晶體，各滿層電子的能級(jí)相應(yīng)地分成2N個(gè)個(gè)量子態(tài)的能帶，內(nèi)層電子剛好填滿了相應(yīng)的能帶量子態(tài)的能帶，內(nèi)層電子剛好填滿了相應(yīng)的能帶n2的能級(jí)的能級(jí) 原子的量子態(tài)數(shù)為原子的量子態(tài)數(shù)為8，電子填充數(shù)為，電子填充數(shù)為8個(gè)個(gè) 形成晶體后相應(yīng)的能帶形成晶體后相應(yīng)的能帶2s（1個(gè)）、個(gè)）、2p（3個(gè)），共個(gè)），共4 個(gè)能帶，每個(gè)能帶所容許的量子態(tài)個(gè)能帶，每個(gè)能帶所容許的量子態(tài)2N，共有，共有8N個(gè)量子個(gè)量子 態(tài)，可以填充態(tài)，可以填充8N個(gè)電子個(gè)電子 ns態(tài)所對(duì)應(yīng)的能帶可以填充態(tài)所對(duì)應(yīng)的能帶可以填充2N電子，電子，N個(gè)原子只有個(gè)原子只有N 個(gè)自由電子，只填充了半個(gè)能帶而形成個(gè)自由電子，

11、只填充了半個(gè)能帶而形成導(dǎo)帶導(dǎo)帶 堿金屬中的堿金屬中的N個(gè)價(jià)電子只填充了半個(gè)布里淵區(qū)，費(fèi)密球個(gè)價(jià)電子只填充了半個(gè)布里淵區(qū)，費(fèi)密球 與布里淵區(qū)邊界不相交，費(fèi)米面接近球面與布里淵區(qū)邊界不相交，費(fèi)米面接近球面 二價(jià)堿土金屬二價(jià)堿土金屬 第一布里淵區(qū)中的狀第一布里淵區(qū)中的狀 態(tài)尚未填滿，第二布態(tài)尚未填滿，第二布 里淵區(qū)已填充電子，里淵區(qū)已填充電子， 此時(shí)的費(fèi)米面由兩部此時(shí)的費(fèi)米面由兩部 分構(gòu)成分構(gòu)成 堿土金屬為金屬導(dǎo)體堿土金屬為金屬導(dǎo)體最外層最外層2個(gè)個(gè)s態(tài)電子，似乎剛好填充滿和態(tài)電子，似乎剛好填充滿和s相應(yīng)的能帶。由于與相應(yīng)的能帶。由于與s對(duì)應(yīng)的能帶和上面的能帶發(fā)生重疊，對(duì)應(yīng)的能帶和上面的能帶發(fā)生重疊

12、，2N個(gè)尚未填充滿個(gè)尚未填充滿s態(tài)能帶，態(tài)能帶，就開始填充上面的能帶，形成兩個(gè)能帶都是部分填充就開始填充上面的能帶，形成兩個(gè)能帶都是部分填充金剛石結(jié)構(gòu)的金剛石結(jié)構(gòu)的IVB族元素族元素C、Si和和Ge電子的填充電子的填充 IVB原子外層有原子外層有4個(gè)價(jià)電子，形成晶體后成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)個(gè)價(jià)電子，形成晶體后成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)4個(gè)個(gè)能帶在下面，反鍵態(tài)對(duì)應(yīng)能帶在下面，反鍵態(tài)對(duì)應(yīng)4個(gè)能帶在上面。每個(gè)能帶可容納個(gè)能帶在上面。每個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子，成鍵態(tài)的個(gè)電子，成鍵態(tài)的4個(gè)能帶剛好可以容納個(gè)能帶剛好可以容納8N電子電子 金剛石結(jié)構(gòu)晶體金剛石結(jié)構(gòu)晶體中每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，中每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，共共8個(gè)價(jià)電子。晶體中個(gè)

13、價(jià)電子。晶體中的的8N個(gè)價(jià)電子全部填充個(gè)價(jià)電子全部填充在成鍵態(tài)的在成鍵態(tài)的4個(gè)能帶中個(gè)能帶中形成形成滿帶滿帶，反鍵態(tài)則是，反鍵態(tài)則是空帶空帶, 金剛石為絕緣體金剛石為絕緣體 Si和和Ge為半導(dǎo)體為半導(dǎo)體 能態(tài)密度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果能態(tài)密度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果陰極射線可將原子內(nèi)層電子激發(fā)，產(chǎn)生空的內(nèi)層能級(jí)，當(dāng)外陰極射線可將原子內(nèi)層電子激發(fā)，產(chǎn)生空的內(nèi)層能級(jí)，當(dāng)外層電子層電子(導(dǎo)帶中的電子導(dǎo)帶中的電子)躍遷填充內(nèi)層能級(jí)時(shí)發(fā)射躍遷填充內(nèi)層能級(jí)時(shí)發(fā)射X射線光子射線光子用陰極射線將用陰極射線將Na原子的內(nèi)原子的內(nèi)層電子激發(fā)產(chǎn)生諸如層電子激發(fā)產(chǎn)生諸如1s、2s和和2p等空的內(nèi)層能級(jí)等空的內(nèi)層能級(jí) K: 電子到電子到1s能級(jí)

14、的躍遷能級(jí)的躍遷 LI:電子到電子到2s能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷 LII:電子到電子到2p能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷 LIII:電子到電子到3s能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷 導(dǎo)帶中電子能量從帶底能量到最高能量導(dǎo)帶中電子能量從帶底能量到最高能量E0，各種能量，各種能量 的電子均可發(fā)生躍遷產(chǎn)生不同能量的的電子均可發(fā)生躍遷產(chǎn)生不同能量的X光子光子 發(fā)射出發(fā)射出X光子能量形成一個(gè)連續(xù)能量譜光子能量形成一個(gè)連續(xù)能量譜 發(fā)射的發(fā)射的X光子能量可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得光子能量可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得X光子發(fā)射強(qiáng)度決定于光子發(fā)射強(qiáng)度決定于（能態(tài)密度）（能態(tài)密度）（發(fā)射幾率）（發(fā)射幾率） 根據(jù)不同固體的根據(jù)不同固體的X光子光子 發(fā)射譜可以獲知發(fā)射譜可以獲知能態(tài)密能態(tài)密 度度的信息的信息金屬金屬Na、Mg、Al和非金屬金剛石、硅的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和非金屬金剛石、硅的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 在低能量區(qū)域在低能量區(qū)域Na、Mg、Al和金剛石、硅的和金剛石、硅的X光子發(fā)射能量逐漸上升的光子發(fā)射能量逐漸上升的 反映了電子的能量從帶底逐漸增大，其能態(tài)密度逐漸反映了電子的能量從帶底逐漸增大，其能態(tài)密度逐漸 增大的規(guī)律增大的規(guī)律 在高能量的一端在高能量的一端金屬金屬N