南京航空航天大學工程力學課件7

1、8 81 1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應力和變形薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應力和變形8 82 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形8 83 3 強度條件及剛度條件強度條件及剛度條件8 84 4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應變能8 85 5 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)第八章第八章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)復習：復習： 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形一、橫截面上的應力一、橫截面上的應力TTxpTIM等直圓桿受扭時等直圓桿受扭時 剪應力的計算公式剪應力的計算公式 當當 時，有時，有rpTrIrMmax 令令TpWrI 則則TTWMmax 稱為稱為抗扭截面抗扭截面模量模量，常用單位為，常用

2、單位為 或或 。 3m3mmTW適用范圍：適用范圍： （1 1）實心或空心圓截面等直桿；）實心或空心圓截面等直桿； （2 2）桿件在線性彈性范圍內(nèi)受扭。）桿件在線性彈性范圍內(nèi)受扭。三、變形三、變形 扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率為扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率為pTGIMdxdTT 則相距為則相距為L L的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角為的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角為dxGIMdLpTL0 若在長度若在長度L L范圍內(nèi)扭矩為常量，且等直圓桿，則上式范圍內(nèi)扭矩為常量，且等直圓桿，則上式可化為可化為pTGILM 抗扭剛度抗扭剛度pGI單位：弧度（單位：弧度（radrad) )8-3 8-3 強度條件及剛度條件強度條件及剛度條件一

3、、強度條件一、強度條件 受扭圓桿中最大的工作剪應力受扭圓桿中最大的工作剪應力 不超過材料的容不超過材料的容許剪應力許剪應力 ，即，即max max TTWMmax 對于對于等截面等截面桿，最大剪應力點（危險點）必在最大扭桿，最大剪應力點（危險點）必在最大扭矩矩 所在橫截面的邊緣處，故強度條件可寫為所在橫截面的邊緣處，故強度條件可寫為maxTM式中的式中的 可由圓桿扭轉(zhuǎn)試驗測得，而且在靜荷載作用下，可由圓桿扭轉(zhuǎn)試驗測得，而且在靜荷載作用下，同一種材料容許剪應力的值與容許拉應力的值之間存在一同一種材料容許剪應力的值與容許拉應力的值之間存在一定的關(guān)系。例如對于塑性材料，定的關(guān)系。例如對于塑性材料，

4、。 )6.05.0( 應用強度條件就可對受扭圓桿進行應用強度條件就可對受扭圓桿進行校核強度、選擇截校核強度、選擇截面尺寸面尺寸及及確定容許荷載確定容許荷載的強度計算。的強度計算。解：解： （1 1）計算抗扭截面模量）計算抗扭截面模量944.09085Dd)1(1643DWT)(10947. 235m)944.01(161090493例例1 1：圖示為一由無縫鋼管制成的汽車傳動軸：圖示為一由無縫鋼管制成的汽車傳動軸ABAB，外直徑，外直徑D=90mmD=90mm，內(nèi)直徑，內(nèi)直徑d=85mmd=85mm，材料為，材料為4545鋼，使用時的最大扭矩鋼，使用時的最大扭矩為為 。如材料的容許剪應力。如材

5、料的容許剪應力 ，試校核試校核ABAB軸的強度。軸的強度。mkNMT 5 . 1max MPa60 （2 2）計算軸的最大剪應力）計算軸的最大剪應力TTWMmaxmax5310947. 2105 . 1Pa61051MPa51 可見，可見，ABAB軸滿足強度條件。軸滿足強度條件。例例2 2：如將例：如將例1 1中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同。試確定軸的直徑，并比較實心軸和空心軸心軸強度相同。試確定軸的直徑，并比較實心軸和空心軸的重量。的重量。解：解： （1 1）確定實心軸直徑）確定實心軸直徑1DTTWMmaxmaxMPaD5116105

6、.1313為什么要使用空心軸呢？為什么要使用空心軸呢？)(0531.0105116105.13631mD （2 2）比較兩軸重量）比較兩軸重量 在長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比即等在長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比即等于橫截面面積之比。于橫截面面積之比。2122212214)(4DdDDdDAA26220531. 010)8590(31. 0由此可見，在強度相同的條件下，空心軸的重量只為實心由此可見，在強度相同的條件下，空心軸的重量只為實心軸的軸的31%31%，大大地減輕了軸的重量，并節(jié)約了材料。，大大地減輕了軸的重量，并節(jié)約了材料。 這是因為橫截面上的剪應力沿半徑線性分布，

7、圓心附這是因為橫截面上的剪應力沿半徑線性分布，圓心附近的剪應力很小，材料沒有充分發(fā)揮作用。若把軸心附近近的剪應力很小，材料沒有充分發(fā)揮作用。若把軸心附近的材料向邊緣移置，使其成為空心軸，的材料向邊緣移置，使其成為空心軸， 就會增大就會增大 和和 ，從而提高軸的強度。，從而提高軸的強度。pITW為何夠？為何夠？例例3 3：圖示為一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪。已知：圖示為一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪。已知軸直徑分別為軸直徑分別為 ，輪，輪3 3 輸入的功率輸入的功率為為 ，輪，輪1 1和輪和輪2 2輸出的功率分別為輸出的功率分別為 。軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為。軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為 。材料。材料

8、的容許剪應力的容許剪應力 。試校核軸的強度。試校核軸的強度。mmdmmd70,4021kWNK303,131kWNKkWNK172min200rn MPa60解：解： （1 1）計算外力偶矩）計算外力偶矩1T2T3TnNTK 1155.92001355.9)(621.0mkN nNTK 2255.92001755.9)(812.0mkN nNTK 3355.92003055.9)(433.1mkN （2 2）由截面法計算各段軸的扭矩）由截面法計算各段軸的扭矩1T2T3T1TMMCDACmkN 621.0321)(TTTMDBmkN 433.1 （3 3）計算抗扭截面模量）計算抗扭截面模量 因因

9、CDCD段的抗扭截面模量大于段的抗扭截面模量大于ACAC段的，故段的，故CDCD段內(nèi)橫截面段內(nèi)橫截面上的剪應力比上的剪應力比ACAC段的小。因此，只需計算段的小。因此，只需計算ACAC和和DBDB兩段內(nèi)橫兩段內(nèi)橫截面上的剪應力截面上的剪應力, ,并進行比較即得到最大剪應力。并進行比較即得到最大剪應力。 （4 4）計算最大工作剪應力）計算最大工作剪應力1610401693311dWT1610701693322dWT3510257.1m3510735.6m1TACACWMMPa4 .4910257. 110621. 0532TDBDBWMMPa3 .2110735. 610433. 153ACma

10、xMPa4 .49 因此軸滿足強度條件。因此軸滿足強度條件。 對于變截面桿（如階梯軸等），因抗扭截面模量對于變截面桿（如階梯軸等），因抗扭截面模量 不是常量，最大剪應力并不一定發(fā)生在最大扭矩不是常量，最大剪應力并不一定發(fā)生在最大扭矩 所在的橫截面上，所以需要綜合考慮扭矩所在的橫截面上，所以需要綜合考慮扭矩 和抗扭截面和抗扭截面模量模量 ， 才能尋求最大剪應力。才能尋求最大剪應力。TWmaxTMTMTW二、剛度條件二、剛度條件 max 180maxpTGIM 受扭圓桿中扭轉(zhuǎn)角沿桿長變化率受扭圓桿中扭轉(zhuǎn)角沿桿長變化率 的最大值的最大值 不超過某一規(guī)定的容許值不超過某一規(guī)定的容許值 ，即，即)(dx

11、dmax 對于對于等截面等截面桿，根據(jù)桿，根據(jù) 的計算公式和的計算公式和 的常用單的常用單位，剛度條件可寫為位，剛度條件可寫為 max 對于精密機器的軸，對于精密機器的軸， ，對于一般的傳動軸，對于一般的傳動軸， 。 m2 m)30.015.0(式中的式中的 為為單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，常用單位為度每，常用單位為度每米米 。 )(m例例4 4：試校核例：試校核例1 1中中ABAB軸的剛度。已知材料的剪切彈性模軸的剛度。已知材料的剪切彈性模量量 ，單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角 。 m2MPaG4108 （1 1）例）例1 1中已求得中已求得抗扭截面模量抗扭

12、截面模量)1(1643DWT)(10947. 235m例例1 1：圖示為一由無縫鋼管制成的汽車傳動軸：圖示為一由無縫鋼管制成的汽車傳動軸ABAB，外直徑，外直徑D=90mmD=90mm，內(nèi)直徑，內(nèi)直徑d=85mmd=85mm，材料為，材料為4545鋼，使用時的最大扭矩鋼，使用時的最大扭矩為為 。如材料的容許剪應力。如材料的容許剪應力 ，試校核試校核ABAB軸的強度。軸的強度。mkNMT 5 . 1max MPa60解：解： （2 2）計算極慣性矩）計算極慣性矩2pTDIW2109010947.2354610326. 1m （3 3）計算）計算max180maxmaxpTGIM18010326.

13、 1108105 . 16103)(81.0m 因此，因此，ABAB軸也滿足剛度條件。軸也滿足剛度條件。DIYDIY：圖示為一傳動軸，其轉(zhuǎn)速為每分鐘：圖示為一傳動軸，其轉(zhuǎn)速為每分鐘300300轉(zhuǎn)，主動輪轉(zhuǎn)，主動輪A A的的輸入功率輸入功率 ，三個從動輪，三個從動輪B B、C C和和D D輸出的功輸出的功率分別為率分別為 。該軸是用。該軸是用4545號鋼制成的空心圓截面桿，其內(nèi)外直徑之比為號鋼制成的空心圓截面桿，其內(nèi)外直徑之比為 。 已知：已知： 。試按。試按強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。 mMPaGMPa3 . 0,108,404kWNK5001kWNkWNN

14、KKK200,15043221解：解： （1 1）計算外力偶矩）計算外力偶矩nNTK 1155.930050055.9mkN 9 .15nNTTK 23255.930015055.9mkN 78.4nNTK 4455.930020055.9mkN 37.6 （2 2）計算各段軸的扭矩）計算各段軸的扭矩2TMTImkN 78. 4)(32TTMTIImkN 56. 94TMTIIImkN 37. 6mkNMMTIIT56.9max （3 3）計算）計算 和和maxmax)1(3244DIp)21(1 3244D512154D)1(1643DWT)21(1 1643D256153DTTWMmaxm

15、ax33152561056. 9D3410193. 5D180maxmaxpTGIM4510439. 7D42103151081805121056. 9D （4 4）選擇軸的直徑）選擇軸的直徑強度條件：強度條件： max 3410193.5D364104010193. 5m109.0mm109剛度條件：剛度條件： max 4510439.7D453 . 010439. 7m126.0mm126 因此，空心軸的外直徑取因此，空心軸的外直徑取D=126mmD=126mm或略大，內(nèi)直徑取或略大，內(nèi)直徑取d=63mmd=63mm或略小。在此例中，或略小。在此例中，控制橫截面尺寸的是剛度條件。控制橫截面

16、尺寸的是剛度條件。8-4 8-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應變能一、應變能的計算公式一、應變能的計算公式 當桿在線彈性范圍內(nèi)工作時，扭轉(zhuǎn)角當桿在線彈性范圍內(nèi)工作時，扭轉(zhuǎn)角 與外力偶矩與外力偶矩 T T成線性關(guān)系。外力偶所作的功為成線性關(guān)系。外力偶所作的功為TW21由扭轉(zhuǎn)角的計算公式由扭轉(zhuǎn)角的計算公式ppTGITLGILM由能量守恒原理，由能量守恒原理，等直圓桿受等直圓桿受扭時的應變能扭時的應變能為為pGILTU2222LGIUp或或說明：說明：上面公式只適用于扭矩沿桿長為常量，即外力偶僅上面公式只適用于扭矩沿桿長為常量，即外力偶僅作用于桿端時的情況。作用于桿端時的情況。 當外

17、力偶不只作用于桿端，扭矩沿桿長階梯分布時，當外力偶不只作用于桿端，扭矩沿桿長階梯分布時，則整個桿內(nèi)的應變能應為各段桿內(nèi)的應變能之和，即則整個桿內(nèi)的應變能應為各段桿內(nèi)的應變能之和，即piTiGILMU22pppaGIGIGILTU821162)(21pppbGIGIGILTU3026 .01002122ppcGILTGILTTU2)(2)(2211212pppGIGIGI1424 .01626 .036mL6 . 01mL4.02mL6 .01mL4 .022T1TbacUUU？例例5 5：圖示為一端固定的圓截面桿，直徑為：圖示為一端固定的圓截面桿，直徑為d d，承受集度為，承受集度為t t的均

18、布外力偶作用。試求桿內(nèi)積蓄的應變能。的均布外力偶作用。試求桿內(nèi)積蓄的應變能。解：解： （1 1）求橫截面扭矩）求橫截面扭矩 由截面法可求得離左端為由截面法可求得離左端為x x處橫截面上的扭矩處橫截面上的扭矩txxMT)(可見，扭矩隨截面位置線性變化?？梢姡ぞ仉S截面位置線性變化。 （2 2）求微段內(nèi)的應變能）求微段內(nèi)的應變能 在微段內(nèi)，可近似認為扭矩為常量，則在微段內(nèi)，可近似認為扭矩為常量，則dxGIxMdUpT2)(2dxGIxtp222 （3 3）求整個桿內(nèi)的應變能）求整個桿內(nèi)的應變能dxxGItdUULLp2022pGILt632pGILtL2)(312t二、圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變

19、形二、圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形dR R彈簧圈的平均半徑彈簧圈的平均半徑n n彈簧的有效圈數(shù)彈簧的有效圈數(shù)d d簧桿的橫截面直徑簧桿的橫截面直徑 螺旋角螺旋角當當 時，稱為密圈螺旋彈簧。此時可忽略時，稱為密圈螺旋彈簧。此時可忽略 的影響，的影響，近似認為簧桿橫截面與彈簧軸線近似認為簧桿橫截面與彈簧軸線ABAB（也即與軸力（也即與軸力P P）在同）在同一平面內(nèi)。一平面內(nèi)。5QTM1 1、簧桿橫截面上的應力、簧桿橫截面上的應力 截取簧桿的任一橫截面，并取上面部分為研究對象。截取簧桿的任一橫截面，并取上面部分為研究對象。由平衡條件可知，簧桿橫截面上的內(nèi)力由平衡條件可知，簧桿橫截面上的內(nèi)力有一剪力

20、和一扭矩，且有一剪力和一扭矩，且,PQ PRMT 與剪力對應的剪應力與剪力對應的剪應力 假設剪應力沿橫截面均勻分布假設剪應力沿橫截面均勻分布，則有，則有2244dPdQC, 與扭矩對應的剪應力與扭矩對應的剪應力 當當 之比很小時，可忽略簧桿曲之比很小時，可忽略簧桿曲率的影響，將簧桿視為直桿受扭，剪應率的影響，將簧桿視為直桿受扭，剪應力沿橫截面的半徑線性分布。力沿橫截面的半徑線性分布。RdC, ,max最大剪應力為最大剪應力為33max1616dPRdPRWMTT 簧桿橫截面上任一點處總的剪應力，應簧桿橫截面上任一點處總的剪應力，應是剪切和扭轉(zhuǎn)兩種剪應力的是剪切和扭轉(zhuǎn)兩種剪應力的矢量和矢量和。

21、在簧圈在簧圈內(nèi)側(cè)點內(nèi)側(cè)點C C處，總的剪應力達處，總的剪應力達到最大值，且有到最大值，且有maxmax 32164dPRdP)14(163RddPR當當 時，可忽略剪切而只考慮扭轉(zhuǎn)的影響，則最大剪時，可忽略剪切而只考慮扭轉(zhuǎn)的影響，則最大剪應力為應力為 Rd 3max16dPR 但是，當?shù)?，當d d與與R R之比并不很小時，則不僅要考慮剪切的之比并不很小時，則不僅要考慮剪切的影響，而且還要考慮簧桿曲率對扭轉(zhuǎn)剪應力的影響。此時，影響，而且還要考慮簧桿曲率對扭轉(zhuǎn)剪應力的影響。此時，最大剪應力的計算公式可表示為最大剪應力的計算公式可表示為 3max16dPRK式中式中K K為修正系數(shù)，根據(jù)彈性力學，

22、有為修正系數(shù)，根據(jù)彈性力學，有3424CCKdRC2簧桿的強度條件為簧桿的強度條件為 max2 2、彈簧的變形、彈簧的變形PW21 若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)變形的影響，則應變能為若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)變形的影響，則應變能為 在軸向外力在軸向外力P P作用下，彈簧的變形為作用下，彈簧的變形為 。當彈簧在線。當彈簧在線彈性范圍內(nèi)工作時，軸向外力所作的功為彈性范圍內(nèi)工作時，軸向外力所作的功為pTGILMU223222)(42dGRnPR43232GdnRP由能量守恒原理，可得由能量守恒原理，可得PGdnRPU43642nRGdc3464cP彈簧剛度彈簧剛度4d 從公式可看出，從公式可看出， 與與 成反比，如希望彈

23、簧有較好成反比，如希望彈簧有較好的緩沖和減震作用，即要求它有較大的變形，則應使簧桿的緩沖和減震作用，即要求它有較大的變形，則應使簧桿直徑直徑d d盡可能小一些。但在此情況下，相應的盡可能小一些。但在此情況下，相應的 也就增也就增大，這就要求彈簧材料具有較高的容許剪應力。此外，加大，這就要求彈簧材料具有較高的容許剪應力。此外，加大簧圈半徑大簧圈半徑R R和增加圈數(shù)和增加圈數(shù)n n也可以取得增大變形也可以取得增大變形 的效果。的效果。max例例7 7：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑D=300mmD=300mm，簧桿橫截，簧桿橫截面的直徑面的直徑d=30mmd=30mm，

24、有效圈數(shù)，有效圈數(shù)n=10n=10，受拉力，受拉力P=2kNP=2kN的作用。的作用。材料的剪切彈性模量材料的剪切彈性模量 。試求簧桿內(nèi)的最大剪。試求簧桿內(nèi)的最大剪應力和彈簧的變形。應力和彈簧的變形。MPaG4108解：解： （1 1）求最大剪應力）求最大剪應力maxdDC 10303003424CCK3742135. 1mmDR15023max16dPRK933310301015010216135. 1MPa2 .64 （2 2）求彈簧的變形）求彈簧的變形4364GdnPR124109331030108101015010264mm67.66小結(jié)小結(jié) 強度條件及剛度條件強度條件及剛度條件一、強

25、度條件一、強度條件 受扭圓桿中最大的工作剪應力受扭圓桿中最大的工作剪應力 不超過材料的容不超過材料的容許剪應力許剪應力 ，即，即max max TTWMmax 對于對于等截面等截面桿，最大剪應力點（危險點）必在最大扭桿，最大剪應力點（危險點）必在最大扭矩矩 所在橫截面的邊緣處，故強度條件可寫為所在橫截面的邊緣處，故強度條件可寫為maxTM二、剛度條件二、剛度條件 max 180maxpTGIM 受扭圓桿中扭轉(zhuǎn)角沿桿長變化率受扭圓桿中扭轉(zhuǎn)角沿桿長變化率 的最大值的最大值 不超過某一規(guī)定的容許值不超過某一規(guī)定的容許值 ，即，即)(dxdmax 對于對于等截面等截面桿，根據(jù)桿，根據(jù) 的計算公式和的計

26、算公式和 的常用單的常用單位，剛度條件可寫為位，剛度條件可寫為 max 作作 業(yè)：業(yè)：P144146 88 813 815 817（A） 例例8 8：一個簧圈半徑較大的密圈圓柱彈簧，內(nèi)套一個半徑：一個簧圈半徑較大的密圈圓柱彈簧，內(nèi)套一個半徑較小的彈簧。外圈彈簧的平均半徑較小的彈簧。外圈彈簧的平均半徑 ，簧桿橫截，簧桿橫截面直徑面直徑 ，有效圈數(shù)，有效圈數(shù) ；內(nèi)圈彈簧，；內(nèi)圈彈簧， 。兩彈簧材料相同，。兩彈簧材料相同， 。若。若兩個彈簧未受力時高度相等，試求共同承受壓力兩個彈簧未受力時高度相等，試求共同承受壓力P=6kNP=6kN時時每一彈簧所受的力。每一彈簧所受的力。MPaG4108mmR10

27、01mmd30151n,502mmR 10,1522nmmd解：解： （1 1）設兩個彈簧所受的壓力分別為）設兩個彈簧所受的壓力分別為 和和 ，由平衡條，由平衡條件可得件可得1P2PPPP21 （3 3）由彈簧變形計算公式建立補充方程）由彈簧變形計算公式建立補充方程 （2 2）變形條件）變形條件故為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。2141131164GdnRP42232264GdnRP214PP kNPkNP2.18.421 （4 4）解聯(lián)立方程得）解聯(lián)立方程得8-5 8-5 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿和圓截面桿扭轉(zhuǎn)的區(qū)別一、非圓截面桿和圓截面桿扭轉(zhuǎn)的區(qū)別1 1、區(qū)別、區(qū)別 圓截面桿：圓截面桿： 橫截面仍保持為平面橫截面仍保持為平面非圓截面桿：非圓截面桿： 橫截面發(fā)生翹曲橫截面發(fā)生翹曲2 2、非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)類型、非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)類型 約束扭轉(zhuǎn)：約束扭轉(zhuǎn)：橫截面翹曲受到牽制的扭轉(zhuǎn)。橫截面翹曲受到牽制的扭轉(zhuǎn)。 自由扭轉(zhuǎn)：自由扭轉(zhuǎn)：圓桿扭轉(zhuǎn)時應力和變形的計算公圓桿扭轉(zhuǎn)時應力和變形的計算公式對于非圓截面桿均不適用式對于非圓截面桿均不適用。 橫截面上除剪應力外還有正應力。橫截面上除剪應力外還有正應力。橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)。橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)。 橫截面上只有剪應力而無正應力。橫截面上只有剪應力