立體幾何(一).

1、立體幾何（一）立體幾何在學(xué)習(xí)的過程中是在鍛煉人的空間想象能力，是以公理、定理、定義為依據(jù)定型的來研究圖形（點(diǎn)、線、面）之間的位置關(guān)系。研究的過程是一種轉(zhuǎn)化的過程，是利用公理、定理、定義把空間之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面之間的位置關(guān)系，從而利用平面幾何的知識(shí)來解決問題。重要的是：空間平面。一、線面的位置關(guān)系1四個(gè)公理 ：（ 1）公理 l：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。作用：證明直線在平面內(nèi)。（ 2）公理 2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線。作用：證明點(diǎn)在直線上。（ 3）公理 3：經(jīng)過不在同一

2、條直線上三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。（確定一個(gè)平面）作用：如何確定一個(gè)平面。推論 1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論 3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。（ 4）公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。2線面的位置關(guān)系：（ 1）直線與直線的位置關(guān)系：（ 2）直線與平面的位置關(guān)系：（ 3）平面與平面的位置關(guān)系：對(duì)于定理，首先要記憶準(zhǔn)確，其次要明確它的作用，即用此定理能夠解決什么問題。例 1已知：三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)，求證：這三條直線共面。證明：如圖， ab=A，直線 a，b 確定一個(gè)平面bc=B， Bb， B，同理

3、， C直線 BC（公理一），即： c，直線 a，b， c 共面于平面。，（公理三的推論），例 2已知： ABC 的三條邊的延長線與平面交于P、Q、 R 三點(diǎn)，求證： P、 Q、 R 三點(diǎn)共線。證明：如圖，直線BA 的延長線與平面交于P 點(diǎn)，點(diǎn) P且 P面 ABC ，點(diǎn) P 是平面與平面 ABC 的公共點(diǎn)，同理點(diǎn) Q、R 也是平面與平面 ABC 的公共點(diǎn)，P、Q、 R 三點(diǎn)共線于平面與平面 ABC 的公共直線。二、有關(guān)線面平行問題1直線與直線平行：（ 1）平行于同一條直線的兩條直線平行；（ 2）如果一條直線與一個(gè)平面平行， 經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線與交線平行；（ 3）如果兩

4、條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行；（ 4）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；2直線與平面平行：（ 1）如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行；（ 2）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；3平面與平面平行：（ 1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；（2）如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行。在平行的定義與定理中體現(xiàn)了新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，線線平行 線面平行 面面平行，我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)也應(yīng)該遵循這個(gè)思路。例若三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，則這三條交線平行或共點(diǎn)。

5、證明：如圖， a， =b，直線 a， b 共面于平面，直線 a，b 的位置關(guān)系為平行或相交，（ 1）當(dāng) ab 時(shí)，又=c， a c，這三條交線平行；（ 2）當(dāng) ab=O時(shí)，Oa，=a， O，Ob， =b， O，點(diǎn)O 在平面，的公共點(diǎn)，=c，點(diǎn)O 在直線c 上，這三條交線共點(diǎn)。三、有關(guān)線面垂直問題1直線與直線垂直：（ 1）如果兩條平行線中的一條垂直于第三條直線， 那么另一條直線也垂直于第三條直線；（ 2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線；（ 3）三垂線定理： 如果平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直；三垂線定理的逆定理：

6、如果平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也與這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直；2直線與平面垂直：（ 1）如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么這條直線與這個(gè)平面垂直；（ 2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面， 那么另一條也垂直于這個(gè)平面；（ 3）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么它也垂直于另一個(gè)；（ 4）兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于交線，那么這條直線垂直于另一個(gè)平面；3平面與平面垂直：（ 1）如果兩個(gè)平面相交所成的二面角為直二面角，那么么這兩個(gè)平面垂直；（ 2）如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直；注意：垂直不是位置關(guān)系中的

7、一種，它只是相交中的一種特殊情況，垂直中最重要的是線線垂直，因此三垂線定理及其逆定理是我們解決問題中最常用的定理，它還應(yīng)用于成角與距離問題。例已知： ABCD 為矩形， PA底面 ABCD ，M 、 N 分別為 PC、 AB 的中點(diǎn)，求證： MN AB 。證法一：連接AC，取 AC 中點(diǎn) O，連接 MO、NO，M 、N 分別為 PC、AB 的中點(diǎn)， MO PA， NOBC，PA底面 ABCD ， MO底面 ABCD ，NO 為 MN 在平面 ABCD 上的射影，ABCD 為矩形， BCAB ， NOAB ，MN AB 。證法二：連接PC、MA 、 MB ， PA底面 ABCD ，BCAB ，

8、PBBC， PBC 為直角三角形，同理， PAC 也為直角三角形， MA=MB ， N 為 AB 的中點(diǎn)， MN AB 。證法三：（利用向量的方法）（BCAB ，）， MN AB 。四、有關(guān)線面成角問題1異面直線所成的角：經(jīng)過空間任意一點(diǎn)，分別引兩條異面直線a、 b 的平行線、，、所成的銳角（或直角）叫做異面直線a、b 所成的角。（ 0° 90）°2直線與平面所成的角：（ 1）平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做斜線與平面所成的角；（ 2）當(dāng)線面垂直時(shí)，垂線與平面所成的角為直角；（ 3）線面平行或線在面內(nèi)，規(guī)定線面角為零角。直線與平面所成的角：0°。90&

9、#176;3平面與平面所成的角：（ 1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。（ 2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（0° ）180°成角問題再次體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化，面面角（二面角）、線面角、異面直線所成的角都要通過轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化成為線線角（相交直線出現(xiàn)的角），從而在三角形（經(jīng)常是直角三角形）中解決問題。例已知：四棱錐P-ABCD 的底面為直角梯形， AB DC， DAB=90° ，PA底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=AB=1 ，M 是 PB 的中點(diǎn)。（

10、）證明：面PAD 面 PCD；（）求 AC 與 PB 所成的角；（）求面 AMC 與面 BMC 所成二面角的大小。證法一：（）證明： PA面 ABCD ，CDAD ，由三垂線定理得：CDPD。因而， CD 與面 PAD 內(nèi)兩條相交直線 AD ，PD 都垂直，CD面 PAD ，又 CD 面 PCD，面 PAD 面 PCD。（）解：過點(diǎn)B 作 BE CA，且 BE=CA ，則 PBE 是AC與PB 所成的角。連結(jié) AE ，可知 AC=CB=BE=AE=所以四邊形 ACBE 為正方形。由，又PA面AB=2 ，ABCD 得 PEB=90°在 RtPEB 中BE=，PB=， AC 與 PB 所

11、成的角為。（）解：作AN CM ，垂足為 N ，連結(jié) BN 。在 RtPAB 中， AM=MB ，又 AC=CB ， AMC BMC ， BN CM ，故 ANB 為所求二面角的平面角， CBAC ，由三垂線定理，得 CB PC，在 RtPCB 中， CM=MB ，所以 CM=AM ，在等腰三角形AMC 中， AB=2 ，故所求的二面角為。方法二：因?yàn)?PAPD，PAAB ，AD AB ，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) AD 長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M（0，1，）。（）證明：因，故，所以 AP

12、DC，由題設(shè)知 AD DC，且 AP 與 AD 是平面 PAD 內(nèi)的兩條相交直線，由此得 DC面 PAD。又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD 面 PCD。（）解：因，故，所以。（）解：在MC 上取一點(diǎn) N(x,y,z) ，則存在，使，要使 AN MC ，只需，即，解得，可知當(dāng)時(shí)， N 點(diǎn)坐標(biāo)為，能使。此時(shí)，有由，得 AN MC ，BN MC ，所以 ANB 為所求二面角的平面角。，。，故所求的二面角為。五有關(guān)線面距離問題1點(diǎn)與點(diǎn)的距離：直線段的長；2點(diǎn)與直線的距離：點(diǎn)與垂足間的距離；3點(diǎn)與平面的距離：垂線段的長；4直線與直線的距離： （1）平行：一直線上任意一點(diǎn)到另一直線的距離； （2）

13、異面：公垂線段的長；5直線與平面的距離：直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離；6平面與平面的距離：平面上任意一點(diǎn)到平面的距離；距離問題最重要的是點(diǎn)、面距離，它可以通過找到垂足，利用點(diǎn)點(diǎn)距求出；更常用的是利用等積（體積）法求出。其他的距離（線線、線面、面面）都可以通過轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，轉(zhuǎn)化的前提要證明平行的存在。例如圖所示的多面體是由底面為ABCD 的長方體被截面AEC1F 所截面而得到的，其中 AB=4 ，BC=2，CC1=3，BE=1。（）求 BF 的長；（）求點(diǎn) C 到平面 AEC 1F 的距離。解法 1：（）過 E 作 EHBC 交 CC1于 H ，則 CH=BE=1 ， EHAD ，且 EH=AD ，又AF EC111， FAD= C EH， RtADF RtEHC ，DF=C1，。H=2（）延長 C1E 與 CB 交于 G，連 AG ，則平面 AEC1F 與平面 ABCD 相交于AG，過 C 作 CM AG ，垂足為 M，連 C1M ，由三垂線定理可知AG C1M ，由于 AG面 C1MC ，且 AG 面 AEC 1F，所以平面 AEC1F面 C1MC。在 Rt C1CM 中，作 CQMC 1，垂足為 Q，則 CQ 的長即為 C 到平面 AEC 1F的距離，由可得， BG=1 ，從而，由 GAB= MCG ，得，。解法 2：（）建立如圖