立體幾何問題的題型與方法.

1、第二輪復(fù)習(xí)教案專題六立體幾何問題的題型與方法【考點(diǎn)審視】高考試卷中立體幾何把考查的立足點(diǎn)放在空間圖形上 , 突出對空間觀念和空間想象能力的考查 . 立體幾何的基礎(chǔ)是對點(diǎn)、 線、面的各種位置關(guān)系的討論和研究 , 進(jìn)而討論幾何體。因此高考命題時(shí)，突出空間圖形的特點(diǎn)，側(cè)重于直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系的考查，以便審核考生立體幾何的知識(shí)水平和能力。多面體和棱柱、棱錐、正多面體、球是空間直線與平面問題的延續(xù)和深化。要熟練掌握概念、性質(zhì)以及它們的體積公式，同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解，會(huì)

2、運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。本章主要考查平面的性質(zhì)、空間兩直線、直線和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系以及空間角和距離、面積及體積?？荚囈螅ǎ┱莆掌矫娴幕拘再|(zhì)，會(huì)用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形。能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。（）掌握兩條直線平行與垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握兩條直線所成的角和距離的概念。（ 3）掌握直線和平面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握直線和平面所成的角、距離的概念。了解三垂線定理及其逆定理。（ 4）掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩平面間的距離的概念。（ 5）會(huì)用反證法證明簡單的問

3、題。了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。（ 6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖。（ 7）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖。（ 8）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。立體幾何問題的題型與方法- 1 -第二輪復(fù)習(xí)教案（ 9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式?！疽呻y點(diǎn)拔】1、立體幾何高考命題及考查重點(diǎn)、難點(diǎn)穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定、線面間的角與距離的計(jì)算作為考查的重點(diǎn)，尤其是以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，更是年年反復(fù)進(jìn)行考查，在難度上也始終以中等偏難為主。2、高考

4、直接考查線面位置關(guān)系，以多面體為載體考查線面間位置關(guān)系是今后命題的一種趨勢。3、求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視。4、由于近年考題常立足于棱柱、 棱錐和正方體， 因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意多面體的依托作用，熟練多面體性質(zhì)的應(yīng)用，才能發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，利用隱含條件，達(dá)到快速準(zhǔn)確解題的目的。5、 立體幾何的證明與計(jì)算的書寫格式要求非常嚴(yán)格，因此在平時(shí)的訓(xùn)練中要多加注意書寫的格式的嚴(yán)密性?！窘虒W(xué)過程】一基礎(chǔ)知識(shí)詳析1有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計(jì)算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首

5、先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律充分利用線線平行(垂直 )、線面平行 (垂直 )、面面平行 (垂直 )相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力2 判定兩個(gè)平面平行的方法：（ 1）根據(jù)定義證明兩平面沒有公共點(diǎn)；（ 2）判定定理證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面；（ 3）證明兩平面同垂直于一條直線。3兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：由定義知： “兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。由定義推得： “兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理： “如果兩個(gè)平行平面

6、同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行” 。一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。以上性質(zhì)、在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過程中均可立體幾何問題的題型與方法- 2 -第二輪復(fù)習(xí)教案直接作為性質(zhì)定理引用。4空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決空間的角， 是對由點(diǎn)、 直線、 平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)

7、行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角 (0， ，直線與平面所成的角 0,，二面角的大小，可用它們的平面角來22度量，其平面角 (0， 對于空間角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角 l 的平面角（記作）通

8、常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 過棱 l 上任一點(diǎn) O 作棱 l 的垂面 ，設(shè) OA， OB，則 AOB ( 圖 1) ；(3)利用三垂線定理或逆定理，過一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn) A，分別作另一個(gè)平面的垂線AB( 垂足為 B), 或棱 l 的垂線 AC( 垂足為 C) ，連結(jié) AC，則 ACB或 ACB ( 圖2) ；(4)設(shè) A 為平面外任一點(diǎn)， AB，垂足為B，AC ，垂足為C，則 BAC 或 BAC (圖 3)；(5)利用面積射影定理，設(shè)平面內(nèi)的平面圖形F 的面積為 S， F 在平面 內(nèi)的射影圖形的面積為 S，則 cos S'.SA AAOABCCABBBBCC圖 2圖 3圖

9、 15. 空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的） 、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離求距離的一般方法和步驟是：一作作出表示距離的線段；二證證明它就是所要求的距離；三算計(jì)算其值此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離6棱柱的概念和性質(zhì)理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵，要明確“棱柱直棱柱正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對棱柱

10、的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以立體幾何問題的題型與方法- 3 -第二輪復(fù)習(xí)教案求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長方體的對角線長定理是一個(gè)重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。多面體與旋轉(zhuǎn)體的問題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與直線、平面、簡單幾何體第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，

11、比如面積與體積的度量等從這個(gè)角度來看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn)多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積問題是直線、平面、簡單幾何體課程當(dāng)中相對獨(dú)立的課題體積和面積、長度一樣，都是度量問題常用“分割與補(bǔ)形” ，算出了這些幾何體的體積7歐拉公式 : 如果簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù) F，棱數(shù) E，那么 V+F-E 2.計(jì)算棱數(shù)E 常見方法：(1)E V+F-2 ；(2)E 各面多邊形邊數(shù)和的一半；(3)E 頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半。8經(jīng)緯度及球面距離根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個(gè)線面角的度數(shù)，設(shè)球 O 的地軸為 NS，圓 O 是 0°緯線，半圓NA

12、S 是 0°經(jīng)線，若某地 P是在東經(jīng)120°，北緯 40°，我們可以作出過P 的經(jīng)線 NPS 交赤道于 B ，過 P 的緯線圈圓O1 交 NAS 于 A，那么則應(yīng)有： AO 1P=120° (二面角的平面角) ， POB=40 °（線面角）。兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長，因此，求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。例如，可以循著如下的程序求A 、 P 兩點(diǎn)的球面距離。線段 AP 的長 AOP 的弧度數(shù)大圓劣弧 AP 的長9球的表面積及體積公式S 球表 =4 R2V 球 = 4 R33球的體積公式可以這樣

13、來考慮：我們把球面分成若干個(gè)邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三角形的頂點(diǎn)，得到若干個(gè)小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個(gè)數(shù)無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時(shí)，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時(shí)小三棱錐底面面積的和就變成球面面積, 小三棱錐高變成球半徑 . 由于第 n 個(gè)小三棱錐的體積 1nn, hn 為小三棱錐高） ，所以 V球1S球面·R1 ·4R2·R3S hn（S 為該小三棱錐的底面積334 3 R .3在應(yīng)用球體積公式時(shí)要注意公式中給出的是球半徑 R，而在實(shí)際問題中常

14、給出球的外徑（直徑） .球與其它幾何體的切接問題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。立體幾何問題的題型與方法- 4 -第二輪復(fù)習(xí)教案10主要題型：以棱柱、棱錐為載體，考查線面平行、垂直，夾角與距離等問題。利用歐拉公式求解多面體頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)。求球的體積、表面積和球面距離。解題方法：求球面距離一般作出相應(yīng)的大圓，轉(zhuǎn)化為平面圖形求解。11注意事項(xiàng)須明確直線、平面、簡單幾何體中所述的兩個(gè)平面是指兩個(gè)不重合的平面。與“直線與直線平行” 、“直線與平面平行”的概念一樣“平面與平面平行”是指“二平面沒有公共點(diǎn)” 。由此可知，空間兩個(gè)幾何元素

15、（點(diǎn)、直線、平面稱為空間三個(gè)幾何元素）間“沒有公共點(diǎn)”時(shí)，它們間的關(guān)系均稱為“互相平行” 。要善于運(yùn)用平面與平面平行的定義所給定的兩平面平行的最基本的判定方法和性質(zhì)。注意兩個(gè)平行平面的畫法直觀地反映兩平面沒有公共點(diǎn)， 將表示兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行。兩個(gè)平面平行的寫法與線、線平行，線、面平行的寫法一議，即將“平面 平行于平面 ”，記為“ ”?？臻g兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有“兩平面平行”和“兩平面相交”兩種關(guān)系。在明確“兩個(gè)平行平面的公垂線” 、“兩個(gè)平行平面的公垂線段” 、“兩個(gè)平行平面的距離”的概念后，應(yīng)該注意到，兩平行平面間的公垂線段有無數(shù)條，但其長度都相等是唯一確定的值，且兩平

16、行平面間的公垂線段，是夾在兩平行平面間的所有線段中最短的線段，此外還須注意到，兩平行平面間的距離可能化為“其中一個(gè)平面內(nèi)的直線到另一個(gè)平面的距離”又可轉(zhuǎn)化為“其中一個(gè)面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線面角找射影，面面S射角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時(shí)二面角大小出通過cos=來求。S原有七種距離，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般

17、化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來求。二范例分析例 1、 已知水平平面內(nèi)的兩條相交直線 a, b 所成的角為，如果將角的平分線l 繞著其頂點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到離開水平位值的l 處，且與兩條直線a,b都成角，則與的大小關(guān)系是（）2A.2或B.>或<222C.>D.<22a,b 所成的角為 70 00 已知異面直線,則過空間一定點(diǎn)O,與兩條異面直線a,b 都成 60角的直線有()條 .A. 1B. 2C. 3D. 4立體幾何問題的題型與方法- 5 -第二輪復(fù)習(xí)教案異面直線 a,b 所成的角為, 空間中有一定點(diǎn)O,過點(diǎn) O有 3 條直線與 a,

18、b所成角都是 600, 則的取值可能是().A. 30000D. 900B. 50C. 60 一個(gè)凸多面體有 8個(gè)頂點(diǎn)，如果它是棱錐，那么它有條棱，個(gè)面；如果它是棱柱，那么它有條棱個(gè)面 .分析與解答 : 如圖 1 所示 , 易知直線 l 上點(diǎn)在平面上的射影是上的點(diǎn)B, 過點(diǎn) B 作 BCb,則 ACb.在 Rt OBC 和 Rt OAC 中， tg= AC ,tg=BC .顯然， AC>BC,OC2OC tan > tan,又 、（ 0，) ，.故選 C.2222a 如圖 2 所示，過空間一點(diǎn)O 分別作 a a,b b,BO則所求直線即為過點(diǎn)O 且與 a ,b 都成 60 0 角的

19、直線。Ab=110 0 ，550 將兩對對頂角的平分線繞C2圖aO 點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，總能得到與a ,b都成600 角的直線。故過點(diǎn) O 與 a,b 都成 60 0 角的直線有4 條，110070 0 .從而選D.O 過點(diǎn) O 分別作 a a,b b,則過點(diǎn) O 有三條直線與ba,b 所成角都為60 0 ，等價(jià)于過點(diǎn)O 有三條直線與圖 2a ,b 所 成 角 都 為 600，如圖 3示，如果300, 或500 ,a15001300則或，過 O 點(diǎn)只有兩條直線與a ,bO都成60 0 角。如果=90 0 ，則900，那么過點(diǎn)O 有四b條直線與 a , b 所成角都為 60 0 。如果=60

20、 0 ，則1200 ，圖 3此時(shí)過點(diǎn) O 有三條直線與 a ,b所成角都為 60 0 。其中一條正是角的平分線 . 如果它是棱錐，則是七棱錐，有14 條棱， 8 個(gè)面如果它是棱柱，則是四棱柱，有12 條棱， 6個(gè)面 .說明：本組新題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位直關(guān)系，考查空間想象和轉(zhuǎn)化能力，以及周密的分析問題和解決問題例2、如圖1，設(shè)ABC-A1B1C1是直三棱柱，F(xiàn)是A1B1的中點(diǎn)，且立體幾何問題的題型與方法- 6 -第二輪復(fù)習(xí)教案(1) 求證： AF A 1 C；(2) 求二面角 C-AF-B 的大小分析： 先來看第1 問，我們“倒過來”分析如果已經(jīng)證得AF A1

21、C，則注意到因?yàn)锳B=2AA =2a， ABC-A B C 是直三棱柱，從而若設(shè)E 是 AB的中點(diǎn)，就有A E AF，即 AF11111平面 A1 CE那么，如果我們能夠先證明AF平面 A1 CE，則就可以證得AFA1 C，而這由CE平面 AA1 B1 B 立得再來看第2 問為計(jì)算二面角C-AF-B 的大小，我們需要找到二面角C-AF-B 的平面角由前面的分析知， CE平面 AA1 B1 B，而 AF A1 E，所以，若設(shè) G是 AF 與 A1 E 的中點(diǎn)，則 CGE即為二面角 C-AF-B 的平面角， 再計(jì)算 CGE各邊的長度即可求出所求二面角的大小解： (1) 如圖 2，設(shè) E 是 AB

22、的中點(diǎn)，連接 CE， EA1 由 ABC-A1 B1 C1 是直三棱柱，知 AA1 平面 ABC，而 CE平面 ABC，所以 CE AA1 ， AB=2AA =2a， AA =a， AA AE，知 AA FE 是正方形，從而AF A E而 A E 是111111A1 C 在平面 AA1 FE 上的射影，故AF A1 C；(2) 設(shè) G是 AB1 與 A1E的中點(diǎn)，連接 CG因?yàn)?CE平面 AA1 B1 B，AF A1 E，由三垂線定理， CGAF，所以 CGE就是二面角 C-AF-B 的平面角 AA1 FE是正方形， AA1 =a， EG1 EA12 a ， CG2a21 a26 a ，222

23、2tanCGE=6 a，從而 二面角的大小為。CG23C-AF-B60，CGE 60EG2 a2說明： 假設(shè)欲證之結(jié)論成立， “倒著”分析的方法是非常有效的方法，往往能夠幫助我們迅速地找到解題的思路 直線、平面、簡單幾何體關(guān)于平行與垂直的問題都可以使用這種分析方法但需要注意的是，證明的過程必須是“正方向”的，防止在證明過程中用到欲證之結(jié)論，從而形成“循環(huán)論證”的邏輯錯(cuò)誤立體幾何問題的題型與方法- 7 -第二輪復(fù)習(xí)教案例 3、 一條長為2 的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面、 之間， AB與成 45o 角，與成 30 角，過 A、 B 兩點(diǎn)分別作兩平面交線的垂線AC、 BD，求平面ABD與平面ABC所

24、成的二面角的大小DA21CDF 2以 CD 為軸，將平A以 AB 為軸，將平45oHEDCo面 BCD 旋轉(zhuǎn)至與F 30面 ABD 旋轉(zhuǎn)至與平面 ACD 共面B平面 ABC 共面 211E 1 45oA30oB1FCB圖 1圖 2圖 3解法、 過 D 點(diǎn)作 DEAB 于 E，過 E 作 EFAB 交 BC 于 F(圖 1) ，連結(jié) DF ，則DEF 即為二面角 D AB C 的平面角為計(jì)算 DEF 各邊的長，我們不妨畫出兩個(gè)有關(guān)的移出圖在圖2 中，可計(jì)算得 DE1， EF 1 ，BFBE0 2 在移出圖3 中，3cos303 cos B BD 2 ,BC3在 BDF 中，由余弦定理：DF2 B

25、D 2 BF 2 2BDBFcos B( 2 )2( 2 )2 222223333（注：其實(shí)，由于AB DE， AB EF，AB平面 DEF ，AB DF 又 AC平面， ACDFDF 平面 ABC， DF BC ，即 DF 是RtBDC 斜邊 BC 上的高，于是由BCDFCDBD 可直接求得 DF 的長）在 DEF 中，由余弦定理：DE 2EF 2DF 21(1)223cos DEF 33.2DE EF132 13DEF arccos3 . 此即平面 ABD 與平面 ABC 所成的二面角的大小3解法、 過 D 點(diǎn)作 DEAB 于 E，過 C 作 CH AB 于 H，則 HE 是二異面直線CH

26、 和DE 的公垂線段， CD 即二異面直線上兩點(diǎn)C、D 間的距離運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式，得：CD 2 DE 2CH2 EH 2 2DE CHcos(*)o 90o， 亦（注：這里的是平面 ABD 與平面 ABC 所成的二面角的大小，當(dāng)0即異面直線 CH 與 DE 所成的角；當(dāng)90o 180o，異面直線所成的角為180o. ） CDDE1，CH 3 ，HE 1 ，22從而算得 cos 3 ， arccos3 .33立體幾何問題的題型與方法- 8 -第二輪復(fù)習(xí)教案說明： (1) 解空間圖形的計(jì)算問題，首先要解決定位問題（其中最基本的是確定點(diǎn)在直線、點(diǎn)在平面上的射影） ，其次才是定量問題畫空

27、間圖形的“平面移出圖”是解決定位難的有效方法，必須熟練掌握(2)解法具有普遍意義，特別是公式(*) ，?？蛇_(dá)到簡化運(yùn)算的目的例 4、如圖 1，直三棱柱ABC A1 B1 C1 的各條棱長都相等，D 為棱 BC上的一點(diǎn)，在截面ADC 中，若 ADC 90 ，11求二面角D AC1 C 的大小解： 由已知，直三棱柱的側(cè)面均為正方形， ADC 190o，即 AD C1D 又 CC1平面 ABC， AD CC1. AD 側(cè)面 BC1， AD BC， D 為 BC 的中點(diǎn)過 C 作 CE C1D 于 E，平面 ADC1側(cè)面 BC1， CE平面 ADC1取 AC1 的中點(diǎn) F ，連結(jié) CF，則 CFAC

28、1連結(jié) EF ，則 EF AC1( 三垂線定理 ) EFC 是二面角 D AC1 C 的平面角在 Rt EFC 中， sin EFC CE . BC CC1 aCFA1B1C1FA圖 7ECDB圖 1易求得CE a，CF2 a .52 sin EFC10， EFC arcsin 10 .55 二面角 D AC1 C 的大小為 arcsin10 .5例 5、已知 PA矩形 ABCD所在平面， M、N 分別是 AB、 PC的中點(diǎn) .（ 1）求證： MNAB；（ 2）設(shè)平面PDC與平面 ABCD所成的二面角為銳角，問能否確定使直線MN是異面直線 AB與 PC的公垂線？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明

29、理由.解：（1） PA矩形 ABCD ， BC AB ， PBBC， PAAC ，即 PBC 和 PAC 都是以 PC 為斜邊的直角三角形，AN1PC BN ，又 M 為 AB 的中點(diǎn)，2 MN AB.（ 2） AD CD， PD CD. PDA 為所求二面角的平面角，即PDA= .設(shè) AB= a， PA=b， AD=d ，則PM21 2，ba4CMd 21 a2 設(shè) PM=CM 則由 N 為 PC 的中點(diǎn)，4 MN PC 由（ 1）可知 MN AB ， MN 為PC 與 AB 的公垂線，這時(shí)PA=AD ， =45°。例 6、 四棱錐 P ABCD 的底面是邊長為a 的正方形， PB

30、面 ABCD.立體幾何問題的題型與方法- 9 -第二輪復(fù)習(xí)教案（ 1）若面 PAD 與面 ABCD 所成的二面角為 60°，求這個(gè)四棱錐的體積；（ 2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面 PAD 與面 PCD 所成的二面角恒大于 90° 解 :（ 1）正方形 ABCD 是四棱錐 P ABCD 的底面 , 其面積為 a 2 , 從而只要算出四棱錐的高就行了 .PB面 ABCD, BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影 .又 DA AB ， PA DA ， PAB 是面 PAD 與面 ABCD 所成的二面角的平面角， PAB=60 ° .而 PB 是四棱錐P ABCD

31、的高， PB=AB · tan60° =3 a,V錐13aa23a 3.33（ 2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD 與 PCD 恒為全等三角形 .作 AE DP，垂足為 E，連結(jié) EC，則 ADE CDE，AECE , CED90 , 故 CEA 是面 PAD 與面 PCD 所成的二面角的平面角 .設(shè) AC 與 DB 相交于點(diǎn) O，連結(jié) EO，則 EO AC ，2 aOAAEADa.2在 AEC中, cosAECAE 2EC 2(2 OA)2( AE2OA)( AE2OA)2AEECAE20.故平面 PAD 與平面 PCD 所成的二面角恒大于90° .說明：

32、本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力,具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎 , 特征鮮明的好題 .例 7、如圖，直三棱柱 ABC-A 1B1C1 的底面 ABC 為等腰直角三角形， ACB=90 0，AC=1 ，C 點(diǎn)到 AB 1的距離為CE=3 ，D 為 AB 的中點(diǎn) .2（ 1）求證： AB 1平面 CED ；（ 2）求異面直線 AB 1 與 CD 之間的距離；（ 3）求二面角 B1 AC B 的平面角 .解 : （ 1） D 是 AB 中點(diǎn)， ABC 為等腰直角三角形， ABC=90 0， CD AB 又 AA 1平面 ABC ， CD AA 1. CD 平

33、面 A 1B1BA CDAB 1，又 CE AB 1， AB 1平面 CDE ；（ 2）由 CD 平面 A 1B 1BA CD DE AB 1平面 CDEDE AB 1, DE 是異面直線 AB 1 與 CD 的公垂線段 CE=3， AC=1 , CD=2. DE(CE)2(CD )222（ 3）連結(jié) B 1C，易證 B 1C AC ，又 BC AC , B1CB 是二面角 B 1 AC B 的平面角 .C1A1B1ECADB1；2立體幾何問題的題型與方法-10-第二輪復(fù)習(xí)教案在 Rt CEA 中， CE=32， BC=AC=1, B1AC=60 0 AB112 ， BB1(AB1)2( AB

34、)22 ,cos602BB12, B1CB arctg 2 . tg B1CBBC說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提 , 當(dāng)然 , 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石 .例 8、 如圖，在三棱錐 S ABC 中， SA平面 ABC ， AB AC 1， SA 2，D 為BC 的中點(diǎn) .（ 1）判斷 AD與 SB能否垂直，并說明理由；（ 2）若三棱錐 S ABC 的體積為3 ，且BAC 為鈍角，求二面角 S BC A6的平面角的正切值；（ 3）在（）的條件下， 求點(diǎn) A 到平面 SBC的距離 . 解：（1）因?yàn)?SB 在底面 ABC 上的射影 AB 與 AD 不垂直，否則與

35、AB=AC 且 D 為 BC 的中點(diǎn)矛盾，所以 AD 與SB 不垂直；（ 2）設(shè)BAC，則 V1123312sin26解得 sin3 ，所以600 （舍），1200 .2SA 平面 ABC，AB =AC，D 為 BC 的中點(diǎn)ADBC,SD BC ，則 SDA是二面角 SBCA 的平面角 .SA4 ,在 Rt SDA中， tan SDAAD故二面角的正切值為；（ 3）由（ 2）知， BC平面 SDA ，所以平面 SBC平面 SDA ，過點(diǎn) A 作 AESD，則AE 平面 SBC，于是點(diǎn) A 到平面 SBC 的距離為 AE,從而 AE AD sin217217SDA即 A 到平面 SBC 的距離為

36、.1717例 9、如圖 a l 是 120°的二面角， A，B兩點(diǎn)在棱上， AB =2， D 在內(nèi)，三角形 ABD 是等腰直角三角形，DAB= 90 °， C 在內(nèi)，ABC 是等腰直角三角形ACB= 900 .（ I）求三棱錐 DABC 的體積；（ 2）求二面角 DACB 的大??；（ 3）求異面直線 AB、CD 所成的角 .立體幾何問題的題型與方法-11-第二輪復(fù)習(xí)教案解: (1) 過 D 向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng) OA 并延長至 E.AB AD ,OA為DA 在平面上的射影 ,ABOADAE 為二面角 al 的平面角 .DAE 120 ,DAO60 .ADAB2,DO

37、3.ABC 是等腰直角三角形， 斜邊 AB =2.S ABC1,又 D到平面的距離 DO=3.VDABC3 .3（2）過 O 在內(nèi)作 OM AC ,交 AC 的反向延長線于M,連結(jié) DM .則 ACDM . DMO為二面角 D ACB 的平面角 . 又在 DOA 中， OA=2 cos60°=1. 且OAMCAE45, OM2 .tanDMO6.DMOarctan 6.2（ 3）在平在內(nèi)，過C 作 AB 的平行線交 AE 于 F， DCF 為異面直線 AB、 CD 所成的角 .AB AF,CFAFCFDF , 又CAF45 ,即ACF 為等腰直角三角形，又AF 等于 C 到 AB 的

38、距離，即 ABC 斜邊上的高 ,AFCF1.DF 2AD 2AF 22 AD AF cos120 7. tanDCFDF7.tan DCF7.CF異面直線 AB,CD 所成的角為 arctan7.例 10、在平面幾何中有如下特性：從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離之比為定值。 類比上述性質(zhì)，請敘述在立體幾何中相應(yīng)地特性，并畫出圖形。不必證明。類比性質(zhì)敘述如下：圖解：立體幾何中相應(yīng)地性質(zhì)：從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的的距離P B之比為定值。從二面角的棱上一點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面AO立體幾何問題的題型與方法A-12-MDNBC第二輪復(fù)習(xí)

39、教案的距離之比為定值。在空間，從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離之比為定值。在空間，射線 OD 上任意一點(diǎn) P 到射線 OA 、 OB 、 OC 的距離之比不變。在空間，射線 OD 上任意一點(diǎn) P 到平面 AOB 、 BOC 、 COA 的距離之比不變。說明：（ 2）（ 5）還可以有其他的答案。例 11、已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過底面中心O1 且平行于母線AB 的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為 p 的拋物線 .（ 1）求圓錐的母線與底面所成的角；（ 2）求圓錐的全面積解 : （ 1）設(shè)圓錐的底面半徑為 R，母線長為 l ，由題意得： l

40、 2 R ,即 cos ACO1R1 ,l2600.所以母線和底面所成的角為（ 2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON ，其中 O 為截面與AC 的交點(diǎn)，則 OO1 /AB 且 OO1 AB.12在截面 MON 內(nèi)，以 OO 1 所在有向直線為y 軸， O 為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=2py ，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ R， R），代入方程得R2= 2p（ R），得 R=2p ， l=2R=4p.圓錐的全面積為RlR 28 p24 p212 p 2 .說明： 將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意 , 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向 . 類似請思考如下問題 :一圓柱被一平面所截，截口是一

41、個(gè)橢圓已知橢圓的長軸長為 5，短軸長為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母線長為 1，則該幾何體的體積等于例 12、在直角梯形 ABCD中， A=D=90°， AB CD，SD平面 ABCD， AB=AD=a，S D= 2a ，在線段 SA上取一點(diǎn) E（不含端點(diǎn)）使 EC=AC，截面 CDE與 SB 交于點(diǎn) F。（ 1）求證：四邊形 EFCD為直角梯形；（ 2）求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值；（ 3）設(shè) SB的中點(diǎn)為 M，當(dāng) CD 的值是多少時(shí)，能使DMCSAB為直角三角形？請給出證明 .EF解：（ 1） CD AB，AB平面 SAB CD平面 SABM面 EFCD面 SAB=EF，CDEF D 900,C