天津公路安全生產(chǎn)法律法規(guī)

1、第三章第三章 空間力系空間力系 空間匯交力系空間匯交力系 力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩 空間力偶系空間力偶系 空間力系的簡(jiǎn)化空間力系的簡(jiǎn)化 空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系的平衡條件和平衡方程 物體的重心物體的重心3.1 空間匯交力系yxzFFxFyFzikj若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角，則用直接投影法cos(, )cos(, )cos(, )xyzFFFFFFF iF jF k3.1.1 力在直角坐標(biāo)軸的投影yxzFFxFyFzFxyjg當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時(shí)，可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個(gè)力投影到x 、y軸上，

2、這叫間接投影法。sincossinsincosxyzFFFFFFgjgjg3.1.1 力在直角坐標(biāo)軸的投影1. 合成將平面匯交力系合成結(jié)果推廣得：R12ni FFFFF合力的大小和方向?yàn)椋?22R()()()xyzFFFF RRRRRRcos(, ),cos(, ),cos(, )yxzFFFFFFFiFjFk3.1.2 空間匯交力系的合成與平衡RxyzFFF Fijk或2. 平衡空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。R0i FF以解析式表示為：3.1.2 空間匯交力系的合成與平衡000 xyzFFF空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影

3、的代數(shù)和分別等于零。ABCDEPABCDEPDTCTSxyz例1 重為P的物體用桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承，如圖。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm， 45，不計(jì)桿重；求繩索的拉力和桿所受的力。解：以鉸A為研究對(duì)象，受力如圖。0sinsin:0DCTTX0sincoscos:0STTYDC0cos:0PSZ由幾何關(guān)系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC5593.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩3.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空間力對(duì)點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可

4、用一個(gè)矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大?。恢赶虮硎玖卦谄渥饔妹鎯?nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法則)；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。3.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑，則()O MFrF以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFrF =ijkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik3.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為()()()OxzyOyxzOz

5、yxyFzFzFxFxFyF MFMFMFxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F對(duì)z 軸的矩定義為：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)的矩。3.2.2 力對(duì)軸的矩xyzOFFxyhBAab符號(hào)規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)則取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，它對(duì)于軸的矩不變。力對(duì)軸之矩實(shí)例力對(duì)軸之矩實(shí)例FzFxFy3.2.3 力對(duì)軸的矩的

6、解析表達(dá)式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF設(shè)力F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，則同理可得其它兩式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式得：即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。3.2.4 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過(guò)該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解：222coscosxFaFFabcj

7、222cos sinyFbFFabcj222sinzFcFFabc ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFjbcaFxy22222cosababc22cosaabj如圖所示，長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為a、b、c，力F沿BD，求力F對(duì)AC之矩。解：()()CACACM FMF22()cosCFbaFaab MF22222()() cosCACFabcMababc FMFFbcaABCD 力偶由一個(gè)平面平行移至剛體另一個(gè)平行平面不影響它對(duì)剛體的作用效果。3.3空間力偶3.3.1 空間力偶的性質(zhì)AFFRRBOF2A1F1

8、B1F2F1 由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取決于力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：選定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指向按右手螺旋法則表示力偶的轉(zhuǎn)向； M的作用線與力偶作用面的法線方位相同。如圖所示。 M稱為力偶矩矢。力偶矩矢為一自由矢量。 空間力偶的等效條件是：兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等。FMF3.3.2 力偶的矢量表示3.3.3 空間力偶等效定理力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：12ni MMMMM3.3.4 空間力偶系的合成根據(jù)合矢量投影定理：,xxyyzzMMMM

9、MM 于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：222()()()xyzMMMM cos(, ),cos(, ),cos(, )yxzMMMMMMM iM jM k3.3.4 空間力偶系的合成 空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：0 iMM因?yàn)椋?22()()()xyzMMMM 所以：000 xyzMMM上式即為空間力偶系的平衡方程。3.3.5 空間力偶系的平衡例2. 曲桿ABCD, ABC=BCD=90, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?解：根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì),畫(huà)出構(gòu)件的受力圖見(jiàn)圖示。約束反力ZA

10、和ZD形成一力偶, XA與XD形成一力偶。故該力系為一空間力偶系。123bcmmmaa可解得:yxamZaZmMAAy22 , 0 :0amXaXmMAAz33 , 0 :0 , 0 :01cXbZmMAAx 空間力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。()(1,2, )iiiOiin FFMMF3.4 空間力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢與主矩FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz3.4.1 空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化空間匯交力系可合成一合力FR：Rii FFF力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。3.4.1 空間力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化MOF

11、ROxyz空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢MO：力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩矢的矢量和稱為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。()OOi MMF 結(jié)論：空間力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一力和一力偶，這個(gè)力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心O；這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。3.4.1 空間力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO 0 1) 空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶的情形FR0，MO0簡(jiǎn)化結(jié)果為一

12、個(gè)與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。此時(shí)力偶矩矢與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān)。 FR 0，MO 0這時(shí)得一與原力系等效的合力，合力的作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2) 空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力的情形 這時(shí)亦得一與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用線離簡(jiǎn)化中心O的距離為3.3.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析ROdFM FR 0，MO0 ，且FR MOMOFROFRFRFROOdFROOFR 0，MO0 ，且FR MO此時(shí)無(wú)法進(jìn)一步合成，這就是簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。FR與

13、MO同方向時(shí)，稱為右手螺旋； FR與MO反向時(shí)，稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。MOFROOFR3) 空間任意力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析FR 0，MO0 ，同時(shí)兩者既不平行，又不垂直，此時(shí)可將MO分解為兩個(gè)分力偶MO和MO，它們分別垂直于FR和平行于FR，則MO和FR可用作用于點(diǎn)O的力FR來(lái)代替，最終得一通過(guò)點(diǎn)O 的力螺旋。MOFROMOFROMOFROOMO3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析4) 空間任意力系簡(jiǎn)化為平衡的情形當(dāng)空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)出現(xiàn) 主矢FR0，主矩MO 0 ，這是空間任意力系平衡的情形。3.5

14、 空間任意力系的平衡方程3.5.1 空間任意力系的平衡方程FR0，MO 0 =0,0,0()0,()0,()0 xyzxyzFFFMMMFFF空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對(duì)三個(gè)軸的矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。3.5 空間任意力系的平衡方程3.5.2 空間約束類型例3 一等邊三角形板邊長(zhǎng)為a , 用六根桿支承成水平位置如圖所示.若在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束反力。ABC16425330o30o30oABCM解:取等邊三角形板為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S

15、5S66()033022BBMMaSFaMS346433()0,022CCMMaSFaMS344533()0022AAMMaSFaMS34514()03310222BCMa SaSFaMS32125331()00222ACMa SaSFaMS32236331()00222ABMa SaSFaMS323ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6 xm3m2m3m2ABCD60604545GHyzP例4 扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在A點(diǎn)用球鉸約束，A、H、G三點(diǎn)位于 xy平面內(nèi)，G、H兩點(diǎn)的位置對(duì)稱于y軸，臂桿的D端吊懸的重物重P=20kN；求兩

16、繩的拉力和支座A的約束反力。 解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。 列平衡方程： ABCD60604545GHyzPAXAYAZGTHT045sin60cos45sin60cos:0GHATTXX045cos60cos45cos60cos:0GHATTYY060sin60sin:0PTTZZGHA05545cos60cos545cos60cos:0)(PTTFmGHx0545sin60cos545sin60cos:0)(GHyTTFm聯(lián)立求解得：kNTTHG3 .280AXkNYA20kNZA693-19解:S5S4S6S3S2S1F500mm1000mmD C

17、BADC B A ()0DDmF02S()0BBmF04S()0CCmF06S()0BCmF()0ABmF05005001FSFS10100010005FSFS5()0ADmF050050053SSFS 3 xyzABCDE3030G題3-18 均質(zhì)長(zhǎng)方形板ABCD重G=200N，用球形鉸鏈A和碟形鉸鏈B固定在墻上，并用繩EC維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ030sin:0)(21ABGABZABTFmBx030sin:0)(21ADTADGFmy0:0)(ABXFmBz 解：以板為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。xyzABCDE

18、3030GAXAYAZTBXBZ030sin30cos:0TXXXBA030cos:02TYYA030sin:0GTZZZBA解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100 例7 用六根桿支撐正方形板ABCD如圖所示，水平力 沿水平方向作用在A點(diǎn)，不計(jì)板的自重，求各桿的內(nèi)力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 解：以板為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。PSSPY2045cos:044PSSaSaSFmAA2045cos45cos:0)(42241PSSaSaSFmDD2045cos45cos:0)(45541PSSaSaSFmA

19、D434322045cos:0)(PSaSaSFmDC656045cos:0)(PPPPPPSSSSSSSZ1245361045cos45cos45cos:0aPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz3.6.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過(guò)的一個(gè)點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無(wú)關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。3.6 重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr,iiiiiiCCCiiiF xF yF zxyzFFF 重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無(wú)數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空

20、間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心。3.6.2 重心,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP 對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：ddd,VVVCCCx Vy Vz VxyzVVVddd,SSSCCCx Sx Sx SxyzSSSddd,lllCCCx ly lz lxyzlll3.6.2 重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。3.6.3 確定物體重心的方法1 簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心如果均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡(jiǎn)單形狀物體的重心可從工程手冊(cè)上查到。 2）圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面積，重心位置查表可得；故所求弓形體物塊的重心的坐