矩陣的運算-文檔資料

1、設(shè)設(shè) A, B, C 為同型矩陣為同型矩陣, 則則 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (); (3) A + O = O + A = A, (4) A + ( -A ) = O .其中其中 O 是與是與 A 同型矩陣同型矩陣; 設(shè)設(shè),A730152,B935423.3459C (1) 問三個矩陣中哪些能進行加法運算問三個矩陣中哪些能進行加法運算, 并求并求其和其和, 哪些不能進行加法運算哪些不能進行加法運算, 說明原因說明原因; (2) 求求 C 的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣.例例例例設(shè)設(shè),A730152,B935423.3

2、459C(1) 問三個矩陣中哪些能進行加法運算問三個矩陣中哪些能進行加法運算, 并求并求其和其和, 哪些不能進行加法運算哪些不能進行加法運算, 說明原因說明原因;(2) 求求 C 的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣.(1) A 與與 B 能進行加法運算能進行加法運算; 陣陣, A 和和 B 都是都是 32 矩陣矩陣, C 是是 22 矩陣矩陣.B 與與 C 不能進行加法運算不能進行加法運算, 因為它們不是同型矩因為它們不是同型矩而而 A 與與 C,解解解解mnmmnnnmijkakakakakakakakakaka212222111211）（, 設(shè)設(shè) A, B 為同類型矩陣為同類型矩陣, k, l 為常數(shù)，則為

3、常數(shù)，則(1) 1A = A;(2) k(lA) = (kl) A;(3) k(A + B) = kA + kB;(4) (k + l)A = kA + lA. 矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算線性運算. 設(shè)設(shè),B,A22121203且且 B,XA32求矩陣求矩陣 X .例例例例設(shè)設(shè),B,A22121203且且在在BAX23B,XA 32求矩陣求矩陣 X .兩端同加上兩端同加上,32BXAA2得得221212032)(,0618解解解解引例引例引例引例 1 1 線性變換的乘積線性變換的乘積線性變換的乘積線性變換的乘積設(shè)有三組變量設(shè)有三組變量

4、x1, x2, x3, x4、 y1, y2, y3 、 z1, z2 ，它們之間的關(guān)系分別為它們之間的關(guān)系分別為) 1 (.,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax設(shè)某地區(qū)有甲、乙、丙三個工廠設(shè)某地區(qū)有甲、乙、丙三個工廠, 每個工廠都每個工廠都產(chǎn)產(chǎn) 品品工工 廠廠甲甲乙乙丙丙20 30 10 4515 10 70 2020 15 35 25產(chǎn)量產(chǎn)量(單位單位: 個個) 如下表所示如下表所示:生產(chǎn)、生產(chǎn)、 4 種產(chǎn)品種產(chǎn)品.已知每個工廠的年已知每個工廠的年引例引例引例引例 2 2 總收入與總利潤總

5、收入與總利潤總收入與總利潤總收入與總利潤 pkkjik,ba1, 利用下列模型計算兩個矩陣的乘積利用下列模型計算兩個矩陣的乘積.矩陣乘積模型之矩陣乘積模型之矩陣乘積模型之矩陣乘積模型之: : A A2 2 3 3 B B3 3 3 3雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程矩陣乘積模型之矩陣乘積模型之矩陣乘積模型之矩陣乘積模型之: : A A3 3 3 3 B B3 3 3 3 雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計

6、算過程雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程雙擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程矩陣乘法模型之矩陣乘法模型之矩陣乘法模型之矩陣乘法模型之：A A2 2 2 2 B B2 2 2 2 單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程 利用下列模型驗證單位矩陣的性質(zhì)利用下列模型驗證單位矩陣的性質(zhì).單單位位矩矩陣陣的的性性質(zhì)質(zhì)單單位位矩矩陣陣的的性性質(zhì)質(zhì): : E E3 3 3 3 A A3 3 3 3 雙雙擊擊乘乘積積矩矩陣陣的的某某一一元元素素，可可得得該

7、該元元素素的的計計算算過過程程雙雙擊擊乘乘積積矩矩陣陣的的某某一一元元素素，可可得得該該元元素素的的計計算算過過程程單單位位矩矩陣陣的的性性質(zhì)質(zhì)單單位位矩矩陣陣的的性性質(zhì)質(zhì): : A A2 2 3 3 E E3 3 3 3雙雙擊擊乘乘積積矩矩陣陣的的某某一一元元素素，可可得得該該元元素素的的計計算算過過程程雙雙擊擊乘乘積積矩矩陣陣的的某某一一元元素素，可可得得該該元元素素的的計計算算過過程程,431102311014,20121301BA 已知已知求求 AB.,431102311014,20121301BA例例例例 4 4已知已知求求 AB.因為因為 A 是是 24 矩陣矩陣, B 是是 43

8、 矩陣矩陣, A定義有定義有其乘積其乘積 AB = C 是一個是一個 23 矩陣矩陣, 由矩陣乘積的由矩陣乘積的的列數(shù)等于的列數(shù)等于 B 的行數(shù)的行數(shù), 所以矩陣所以矩陣 A 與與 B 可以相乘可以相乘,解解解解 求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.例例例例 5 5求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.解解解解63422142AB21426342BA,1683216.0000由定義有由定義有矩陣乘法模型之矩陣乘法模型之矩陣乘法模型之矩陣乘法模型之：A A2 2 2 2 B B2 2 2 2 單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程單

9、擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程單擊乘積矩陣的某一元素，可得該元素的計算過程 定義了矩陣的乘法運算后定義了矩陣的乘法運算后, 對于線性方程組對于線性方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbb則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式:關(guān)于矩陣的乘法運算關(guān)于矩陣的乘法運算, 需要注意以下幾點需要注意以下幾點: 左乘左乘 B”或或“B 右乘右乘 A”.作乘法

10、時作乘法時,應(yīng)指明它們相乘的次序應(yīng)指明它們相乘的次序. 如如 AB 讀作讀作“A中中AB和和BA 雖然都有定義雖然都有定義, 但但 AB BA.所以所以, 在在使使AB與與BA 都有定義都有定義, 它們也不一定相等它們也不一定相等. 的矩陣的矩陣A 和和 B , AB 有定義有定義, 但但 BA 就沒有定義就沒有定義. 即即 AB 有定義有定義, BA不一定有定義不一定有定義.中中,431102311014,20121301BA例例例例 4 4已知已知求求 AB.因為因為 A 是是 24 矩陣矩陣, B 是是 43 矩陣矩陣, A定義有定義有其乘積其乘積 AB = C 是一個是一個 23 矩陣

11、矩陣, 由矩陣乘積的由矩陣乘積的的列數(shù)等于的列數(shù)等于 B 的行數(shù)的行數(shù), 所以矩陣所以矩陣 A 與與 B 可以相乘可以相乘,解解解解如如例例例例 5 5求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.解解解解由定義有由定義有63422142AB21426342BA,1683216.0000如如 ,OB,CBABC,B,A1122540211113211但但 A C .例如例如. .例如例如 本節(jié)本節(jié)中中 A 0, B 0, 但但 BA = 0.例例例例 5 5求矩陣求矩陣63422142B,A的乘積的乘積 AB 及及 BA.解解解解由定義有由定義有63422142AB2142

12、6342BA,1683216.0000 (1) OkmAmp=Okp , AmpOpn=Omn ; (2) 設(shè)設(shè) A 是是 m n 矩陣矩陣, Em 是是 m 階的單位矩階的單位矩 (5) k(AB) = (kA)B = A(kB). (B + C)A = BA + CA;(3) (AB)C = A(BC);(4) A(B + C) = AB + AC, EmA = A, AEn = A ;陣陣, En 是是 n 階的單位矩陣階的單位矩陣, 則則 如果如果 A 是是 n 階矩陣階矩陣, 那么那么, AA 有意義有意義, AmAAA個也有意義也有意義, 因此有下述定義因此有下述定義: AmmAA

13、AA個另外還規(guī)定，另外還規(guī)定， 0 = E. 設(shè)設(shè) A 為方陣為方陣, k, l 為正整數(shù)為正整數(shù), 則則階方陣階方陣 A 與與 B , 一般來說一般來說 (AB)k AkBk .又因矩陣乘法一般不滿足交換律又因矩陣乘法一般不滿足交換律, 所以對于兩個所以對于兩個 n AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 設(shè)設(shè),11A計算計算 A2, A3, An (n3).例例例例設(shè)設(shè),11A計算計算 A2, A3, An(n3).設(shè)設(shè)A A = = E + B,E + B,其中其中 E 為三階單位方陣為三階單位方陣,000100010B這一步很關(guān)鍵這一步很關(guān)鍵這一步很關(guān)鍵這一步很關(guān)鍵也很

14、巧妙也很巧妙也很巧妙也很巧妙! !解解解解 證明證明.cossinsincosnnnnncossinsincos例例例例 6 6證明證明.cossinsincosnnnnncossinsincos證明證明證明證明用用數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)當(dāng) n = 1 時，等式顯然時，等式顯然成立成立. 設(shè)設(shè) n = k 時時成立，即設(shè)成立，即設(shè).cossinsincoskkkkkcossinsincos要要證證 n = k + 1 時成立時成立.此時有此時有.08122351TA 例如矩陣?yán)缇仃?1258231A的轉(zhuǎn)置矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣為, .矩陣的轉(zhuǎn)置模型矩陣的轉(zhuǎn)置模型矩陣的轉(zhuǎn)置模型矩陣的轉(zhuǎn)置模型A

15、= 設(shè)設(shè) A，B，C，A1，A2，Ak 是矩陣，且是矩陣，且 (A1A2Ak)T = AkTA2TA1T ;(1) (AT)T = A ;(2) (B + C)T = BT + CT ;(3) (kA)T = kAT;(4) (AB)T = BTAT ; 則則它們的行數(shù)與列數(shù)使相應(yīng)的運算有定義，它們的行數(shù)與列數(shù)使相應(yīng)的運算有定義， k 是數(shù)，是數(shù)， (5) 若若 A 為為 n 階矩陣階矩陣, 則則 (Am)T = (AT)m ,A 為反對稱矩陣的充要條件是為反對稱矩陣的充要條件是 AT = - A . (6) A 為對稱矩陣的充要條件是為對稱矩陣的充要條件是 AT = A;m 為正整數(shù)為正整數(shù)

16、;,1skkijkjibac則則A = (aij)ms,B = (bij)sn, 我們只證明我們只證明 (4) 的第一式的第一式. 設(shè)設(shè)記記 AB = C = (cij)mn, BTAT= D = (dij)nm. 證證證證明明明明,baabdskkijkskjkkiij11而而 BT的第的第 i 行為行為 (b1i, , bsi) , AT的第的第 j 列為列為(aj1, , ajs)T, 因此因此,1skkijkjibac則則A = (aij)ms,B = (bij)sn, 我們只證明我們只證明 (4) 的第一式的第一式. 設(shè)設(shè)記記 AB = C = (cij)mn, BTAT= D =

17、(dij)nm. 證證證證明明明明,baabdskkijkskjkkiij11而而 BT的第的第 i 行為行為 (b1i, , bsi) , AT的第的第 j 列為列為(aj1, , ajs)T, 因此因此,B,A102324171231102 已知已知求求 (AB)T .102324171231102AB,B,A102324171231102例例例例 7 7已知已知求求 (AB)T.解法解法解法解法 1 1先乘積后轉(zhuǎn)置先乘積后轉(zhuǎn)置先乘積后轉(zhuǎn)置先乘積后轉(zhuǎn)置所以所以.AB1031314170)(T,1013173140因為因為,B,A102324171231102例例例例 7 7已知已知求求 (

18、AB)T.解法解法解法解法 2 2先轉(zhuǎn)置后乘積先轉(zhuǎn)置后乘積先轉(zhuǎn)置后乘積先轉(zhuǎn)置后乘積213012131027241.1031314170(AB)T= BTAT 設(shè)設(shè) A 為為 n1 矩陣矩陣, 且且 ATA = 1, En 為為 n階單位矩陣階單位矩陣, B = En - 2AAT , 證明證明: B 為對稱矩陣為對稱矩陣,且且 B2 = En .例例例例 8 8設(shè)設(shè) A 為為 n1 矩陣矩陣, 且且 ATA = 1, En為為 n階單位矩陣階單位矩陣, B = En- 2AAT, 證明證明: B 為對稱矩陣為對稱矩陣,且且 B2 = En.由于由于BT= (En- 2AAT)T= En- (2

19、AAT)T= En- 2(AT)TAT= En- 2AAT= B,因而矩陣因而矩陣 B 為對稱矩陣為對稱矩陣. B2= (En-2AAT)(En- 2AAT)= En-2AAT-2AAT+ 4AATAAT= En-2AAT-2AAT+ 4A(ATA)AT= En.證明證明證明證明又又證畢證畢證畢證畢 , 方陣與行列式是兩個不同的概念方陣與行列式是兩個不同的概念方陣與行列式是兩個不同的概念方陣與行列式是兩個不同的概念, , n n 階階階階方陣是方陣是方陣是方陣是 n n2 2個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表, , 而而而而 n n

20、 階行階行階行階行列式則是這些數(shù)列式則是這些數(shù)列式則是這些數(shù)列式則是這些數(shù) ( ( 也就是數(shù)表也就是數(shù)表也就是數(shù)表也就是數(shù)表 A A ) ) 按一定的運算法按一定的運算法按一定的運算法按一定的運算法則所確定的一個數(shù)則所確定的一個數(shù)則所確定的一個數(shù)則所確定的一個數(shù). .注意注意注意注意設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 為數(shù)為數(shù), 則有則有(1) |AT| = |A| ;(2) | A| = n |A| ;(3) |AB| = |A| |B| .證明證明證明證明(1)|AT| = |A| ;(2)| A| = n|A| ;(3)|AB| = |A| |B| .只只證（證（3）. 設(shè)設(shè) A = ( aij)， B = ( bij).記記 2n 階行列式階行列式,1111111111BEOAbbbbaaOaaDnnnnnnnn注意注意注意注意(2) (2) 說明一個數(shù)乘以方陣所得方陣的行列式等說明一個數(shù)乘以方陣所得方陣的行列式等說明一個數(shù)乘以方陣所得方陣的行列式等說明一個數(shù)乘以方陣所得方陣的行列式等于這個數(shù)的于這個數(shù)的于這個數(shù)的于這個數(shù)的 n n 次冪乘以該方陣的行列式次冪乘以該方陣的行列式次冪乘以該方陣的行列式次冪乘以該方陣的行列式, ,這個數(shù)不這個數(shù)不這個數(shù)不這個數(shù)不能直接提出來能直接提出來能直接提出來能直接提出來, , 同學(xué)們一定要注意這一點同學(xué)們一定要注意這一點同學(xué)們