13+拉普拉斯變換

1、1第十三章第十三章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換13-1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：介紹拉普拉斯變換在線性電路中的應(yīng)用。涉及：涉及：拉普拉斯變換(拉氏變換)的定義、用部分分式法(分解定理)求拉氏反變換、拉氏變換與電路分析有關(guān)的一些性質(zhì)、運(yùn)算電路概念、應(yīng)用拉氏變換分析線性電路。拉普拉斯變換是一種積分變換法通過積分變換可以將時(shí)域函數(shù)變?yōu)轭l域函數(shù)，從而把時(shí)域的微分方程化為頻域的代數(shù)方程。經(jīng)過拉普拉斯反變換又可以將計(jì)算結(jié)果返回時(shí)域。所以用拉普拉斯變換法求解高階復(fù)雜動(dòng)態(tài)電路是有效而重要的方法之一。2對于定義在0，)區(qū)間的函數(shù) f(t)，其拉普拉斯變換式F(s)dtetf

2、sFst0)()(拉普拉斯變換的定義：式中，s=+j， F(s)稱為 f(t)的象函數(shù)， f(t) 稱為 F(s)的原函數(shù)在數(shù)學(xué)理論中，若對于所有t 滿足條件：ctMetf)(則 f(t)的拉氏變換F(s)總是存在。本書涉及的f(t)均滿足上述條件拉普拉斯反變換的定義：dsesFjtfjcjcst)(21)(式中，M , c為正的有限常數(shù)用 表示對中括號中的時(shí)域函數(shù)作拉氏變換用 表示對中括號中的復(fù)變函數(shù)作拉氏反變換例如：F(s)= f(t)=dtetfst0)(13求下列函數(shù)的象函數(shù)F(s)單位階躍函數(shù)單位沖激函數(shù)指數(shù)函數(shù)例：例：13-1413-2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)與分析線

3、性電路有關(guān)的一些性質(zhì)1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)設(shè)： f1(t)=F1(s)， f2(t)=F2(s)則： A1 f1(t)+ A2 f2(t)=A1F1(s)+ A2F2(s)證：A1 f1(t)+ A2 f2(t)=dtetfAtfAst)()(22101)()()()(sFAsFAdtetfAdtetfAstst22110220115例：例：13-2若：)1 ()()2()sin()() 1 (ateKtfttf以上函數(shù)的定義域均為0，求其象函數(shù)。62、微分性質(zhì)、微分性質(zhì)若： f (t)=F (s) 則： f (t)=sF (s)-f(0-)系：的象函數(shù)之間有如下關(guān)的象函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)函數(shù)dttd

4、ftftf)()( )(證：設(shè)e-st=u， f(t)dt=dv，則：0000)()0()()()()( dtetfsfedtfetfdtetfststststvduuvdvu利用只要s的實(shí)部足夠大，當(dāng)t 時(shí)，e-stf(t) 0，所以F(s)存在，微分性質(zhì)得證。7例：例：13-3)()()2()cos()() 1 (ttfttf應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)83、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)系：的象函數(shù)之間有如下關(guān)的象函數(shù)與其積分函數(shù)tdftf0)()(若： f (t)=F (s) 則：ssFdft)()(0只要s的實(shí)部足夠大，當(dāng)t 及t=0-時(shí)，等式右邊第一項(xiàng)均為0，所以積分性質(zhì)得證。)(1)(1)

5、(000sFsdtetfssedfststt證：令 ， dv = e-stdt，則：00000)()()(dtsetfsedfdtedfststtsttvduuvdvu利用dttfu)(stesvdvtfdu1)(，9例：例：13-4利用積分性質(zhì)求函數(shù) f(t)=t 的象函數(shù)104、延遲性質(zhì)、延遲性質(zhì)函數(shù) f(t)的象函數(shù)與其延遲函數(shù) f(t-t0)的象函數(shù)之間的關(guān)系為：若： f (t)=F (s) 則：)()(00sFettfst其中：當(dāng)tt0時(shí)，f(t-t0)=0證：令 =t-t0則：0)(0defesst所以延遲性質(zhì)得證。defdtettfttftsst0)(0000)()()(11例：

6、例：13-5求圖示矩形脈沖的象函數(shù)12常用拉普拉斯變換表1313-3 拉普拉斯反變換的部分分式展開拉普拉斯反變換的部分分式展開拉普拉斯反變換可以將頻域響應(yīng)返回至?xí)r域響應(yīng)。拉普拉斯反變換的定義：1dsesFjtfsFjcjcst)(21)()(式中，c為正的有限常數(shù)拉普拉斯反變換的計(jì)算較復(fù)雜，一般多采用部分分式展開的方法間接求得。nnnmmmbsbsbasasasDsNsF110110)()()(設(shè)F(s)可以表示為如下的有理分式，m 和n 為正整數(shù)，且 n m 。當(dāng)n =m ，則：)()()(0sDsNAsF其中A為常數(shù)，為真分式)()(0sDsN14當(dāng)n m ， F(s)為真分式，可以根據(jù)以

7、下幾種情況展開為部分分式nnnmmmbsbsbasasasDsNsF110110)()()(1、D(s)=0 有n個(gè)單根，其中n個(gè)單根分別為：p1、 p2、 pn、nnpsKpsKpsKsF2211)(則：ipsiisFpsK)()(待定系數(shù)：ipsisDsNK)( )(或：i =1、2、 、n15例：例：13-6)(10712F(s)23tfssss的原函數(shù)求：162、D(s)=0 具有共軛復(fù)根p1=+j ，p2 =-j2211)(psKpsKsF則：jsjssDsNsFjsK)( )()()(1待定系數(shù)：jsjssDsNsFjsK)( )()()(2tjjtjjtjtjeeKeeKeKeK

8、tf)(1)(1)(2)(111)(，則有：，設(shè)111211jjeKKeKK)cos(211)()(111teKeeeKttjtjt17例：例：13-7)(523F(s)2tfsss的原函數(shù)求：183、D(s)=0 具有q階重根p1 ， 其余為單根p2、 p3、)()()()(2211121)1(111psKpsKpsKpsKsFqqq則：1)()(111psqsFpsK其中：1)()(112psqsFpsdsdK1)()(2112213psqsFpsdsdK1)()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqK 22)( )()()(22pspssDsNsFpsK19例：例：13-8)(

9、)(tfss的原函數(shù)求：2311F(s)2013-4 運(yùn)算電路運(yùn)算電路對電路定律的時(shí)域形式取拉氏變換，可以得到其運(yùn)算形式基爾霍夫定律的時(shí)域形式：對于任一結(jié)點(diǎn)，i (t)=0；對于任一回路，u (t)=0由拉氏變換的線性性質(zhì)，基爾霍夫定律的運(yùn)算形式：對于任一結(jié)點(diǎn)，I (s)=0對于任一回路，U (s)=01、電阻的運(yùn)算電路Ri(t)+ u(t) -Ri(t)+ u(t) -時(shí)域電路u(t) =R i(t) 由線性性質(zhì)，運(yùn)算電路U(s) =R I(s) 212、電感的運(yùn)算電路對于時(shí)域電路dttdiLtu)()(由微分性質(zhì)，得運(yùn)算電路)()()(0LissLIsU(a)其中：sL 為電感的運(yùn)算阻抗，

10、i(0-) 為電感中的初始電流(b)附加電壓源電感運(yùn)算關(guān)系又可以表示為：sisUsLsI)()()(011/sL為電感的運(yùn)算導(dǎo)納，對應(yīng)圖（c）運(yùn)算電路(c)附加電流源223、電容的運(yùn)算電路對于時(shí)域電路)0()(1)(0udttiCtut由積分性質(zhì)，得運(yùn)算電路susIsCsU)0()(1)(a)其中：1/sC 為電容的運(yùn)算阻抗，u(0-) 為電容中的初始電壓(b)附加電壓源電容運(yùn)算關(guān)系又可以表示為：)0()()(CussCUsI(c)sC為電容的運(yùn)算導(dǎo)納，對應(yīng)圖（c）運(yùn)算電路附加電流源234、耦合電感的運(yùn)算電路對于時(shí)域電路dtdiMdtdiLu2111(a)dtdiMdtdiLu1222附加電壓

11、源兩邊取拉氏變換得耦合電感運(yùn)算電路：)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsUsL 為自感運(yùn)算阻抗，sM為互感運(yùn)算阻抗24RLC串聯(lián)的運(yùn)算電路由U (s)=0，得到電路的運(yùn)算方程)()0()(1)0()()(sUsusIscLissLIsRICsuLisUsIscsLRC)0()0()()()1(或：suLisUsIsZC)0()0()()()(Z(s)為運(yùn)算阻抗2513-5 應(yīng)用應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路拉普拉斯變換法分析線性電路相量法把正弦量變換為相量（復(fù)數(shù)），將求解線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)問題轉(zhuǎn)換為求解以相量為變量的線性代數(shù)方程。運(yùn)算法把時(shí)間函數(shù)變換為對應(yīng)的象函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)換為求解以象函數(shù)F(s)為變量的線性代數(shù)方程。需要時(shí)，利用拉普拉斯反變換，可以將向函數(shù)變換為對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)26例：例：13-9電路原處于穩(wěn)態(tài)，t = 0時(shí)開關(guān)S閉合，試用運(yùn)算發(fā)求解i1(t) 。對應(yīng)的運(yùn)算電路時(shí)域電路27例：例：13-10電路如圖所示，RC為并聯(lián)電路，激勵(lì)為電流源iS (t) 若：(1) iS (t) = (t) A；(2) iS (t) = (t) A 。試求電路響應(yīng) u (t) 。28例：例：13-11圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t = 0時(shí)開關(guān)S