債券的久期和凸性

1、債券的久期與凸性主要內(nèi)容n債券的久期n債券的凸性n債券組合的久期與凸性債券的久期 市場(chǎng)利率的升降對(duì)債券投資的總報(bào)酬具有影響：債券本身的資本利得，利息收入及其再投資收益。債券投資管理的重要策略之一就是，如何消除利率變動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，即利率風(fēng)險(xiǎn)免疫（Interest rate immunization），即使得債券組合對(duì)利率變化不敏感。11111111*,(1)1(1)1(1)/1()/(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCpPytCtCdPdyyyytCtCCdP PPdyyyyyDDy 設(shè)債券的價(jià)格 滿足則有 D為Macaulay久期，D*為修正久期，當(dāng)y

2、很小時(shí)，二者近似相等。債券的久期*111/1/(1)(1)TTTtttttttttdP PDDdyyCCDtt wyywt 其中， 為 時(shí)期的權(quán)重久期是對(duì)債券價(jià)格對(duì)利率敏感性的度量，久期越大同樣利率變化引起的債券價(jià)格變化越大久期是到期時(shí)間的加權(quán)平均，權(quán)重是t時(shí)刻現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比例債券的久期久期：現(xiàn)金流現(xiàn)值翹翹板的支點(diǎn) 久期：以現(xiàn)金流占總現(xiàn)值的比例為權(quán)重，對(duì)每次現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間加權(quán)平均的結(jié)果！債券的久期一、久期的性質(zhì) 久期是債券風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量指標(biāo)，債券的久期與債券投資回報(bào)的標(biāo)準(zhǔn)差（即債券的風(fēng)險(xiǎn)）的關(guān)系如下*/dP PDdy 由修正久期的定義得到*dPrDdyP 債券的久期*2( )()()dP

3、Var rVarDVar dyP*2*( )()()()rdPVar rVarDVar dyDVar dyP則債券回報(bào)率的方差為則債券回報(bào)率的風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）為在收益率微小變動(dòng)下，債券回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險(xiǎn)）為收益率的D*倍。D *越大債券風(fēng)險(xiǎn)越大。債券的久期債券的久期與息票率、收益率和到期時(shí)間有關(guān)，故久期性質(zhì)就是討論上述的變量關(guān)系，并以此探討債券風(fēng)險(xiǎn)的特征。債券的久期11121(1) /(1)(1)1 02 0./(1)(1)(1)(1)TtttTTttttttTTTttcDpyCCtyyTCCyyyyT 定理1：零息債券的Macaulay久期等于它們的到期時(shí)間。 短期國(guó)債的Macaulay久期

4、就是其投資期限。債券的久期定理2：息票債券的Macaulay久期小于它們的到期時(shí)間。1112211221/(1)(1)12,.,/(1)(1)(1)(1)./(1)(1)(1)(1)TTttttttTtTTttTtTTttCCDtyyCCCTCyyyyCT CTCTCTyyyy 所以，所以，DT債券的久期定理3：在到期時(shí)間相同的條件下，息票率越大，久期越短。 111111111111()()()() ()()NkNNNkNNccpyyyyycycyyy1lnln 1ln(1)(1)NNypcyyy證明：不妨將面值單位化為1，息票率為c，則兩邊取對(duì)數(shù)得到債券的久期所以，息票率c越大，則Macau

5、lay久期D越小。另外當(dāng)N，久期為1+1/y11ln11(1)(1)(1) 1 (1)(1)1 (1)1()(1) 1(1)1NNNNNNppypycNyyN yyycyyypDypyN ycyycyy 債券的久期1()(1)1(1)1NN ycyDycyy 對(duì)于每個(gè)支付期的票面利率為c、每個(gè)支付期到期收益率為y，還有N個(gè)支付期的債券，其久期計(jì)算公式為例：考慮息票率為10%，30年期的債券，每年支付利息2次，假設(shè)該債券按面值發(fā)行，求該債券的久期601 0.051119.8758()9.93790.05(1 0.05)D半年年若該債券以面值出售111(1)NyDyy債券的久期定理4：在息票率不變

6、的條件下，到期時(shí)期越長(zhǎng)，久期越大。 證明要點(diǎn)：若息票率相同，長(zhǎng)期債券的波動(dòng)大于短期債券1111 (1)(1)(1) (1)(1)(1)nntnntntnntknCCFpyyyF kF kFyyy證明：對(duì)于任意的息票率 ，持有期為 的債券價(jià)格為 11111(1)(1)(1)(1)nntnnntF kF kF kFpyyyy持有n+1期的債券，有 債券的久期1110111 (1)(1)(1) 1(1)nnnnky kyF kFFkFyyyyy 當(dāng)時(shí)，有，則1nnykpp當(dāng)時(shí)，由此可見(jiàn)，1nnykpp當(dāng)時(shí)，同理可證，以上的證明表明，在息票率不變的條件下，長(zhǎng)期債券總是變化得更加劇烈，即長(zhǎng)期債券的久期大

7、于短期債券。1111/nnnnnnnnpPpPdpPdpPyydydy 即 -債券的久期,111(1)(1)(1)(1)(1)nnnn nnnnF kFPViiF kF kFPViii證明：分別觀察n期、n+1期和n2期的債券最后1、2期和3期現(xiàn)金流的現(xiàn)值，其中定理5：久期以遞減的速度隨到期時(shí)間的增加而增加。即債券價(jià)格的波動(dòng)幅度隨著期限的增加而增加，但增加的速度遞減：n2年與n+1年的差異小于n1年與n年之間的差異債券的久期,2122,111,2,1221,2,1,1(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1) (1)(1)(1)1 1 1n nnnnnn nnnnnn nn nnnnn nn

8、 nn nnF kF kF kFPViiiiF kFFPVPViiiF kFFPVPViiiPVPVPVPVi債券的久期久期以遞減的速度隨到期時(shí)間的增加而增加。其原因是：本金是最大數(shù)量的現(xiàn)金流，它受市場(chǎng)利率的影響最大。當(dāng)期限增加時(shí)，本金不斷后移，其現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比重變小，重要性程度下降。所以，債券價(jià)格受利率影響雖然加大，但增速遞減。債券的久期11(1)TttttcDpy2121121122111(1)(1)(1)(1)1 (1)(/)()1(1)1 1TTttttttTtttTttttTttDpt cytcyyppytcyt cypypypypt cyDyp 證明：由久期的定義定理6：在其他條

9、件不變的情況下，債券的到期收益率越小，久期越大。債券的久期22211(1)(1) ()0ttTTttttt cycyDtDpp22211(1)(1) ()(2)ttTTttttcycytDttDDpp221(1)101tTttt cyDDyyp =1下面證明2222111(1)(1)(1)22tttTTTttttttcycycytDDDDDppp 債券的久期久期的應(yīng)用例子：假設(shè)一個(gè)10年期零息債券，10年期即期利率為8且具有0.94%的波動(dòng)，則該債券回報(bào)的波動(dòng)率為？*()10 0.948.7%1 0.08rDVar dy債券的久期久期對(duì)利率的敏感性進(jìn)行測(cè)量實(shí)際上只考慮了價(jià)格變化與收益率之間的線

10、性關(guān)系。而實(shí)際上，市場(chǎng)的實(shí)際情況是非線性的。所有現(xiàn)金流都只采用了一個(gè)折現(xiàn)率，也即意味著利率期限結(jié)構(gòu)是平坦的，不符合現(xiàn)實(shí)。用3個(gè)月的即期利率來(lái)折現(xiàn)30年的債券顯然是不合理的。債券的凸性2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcPdyPyy久期可以看作是債券價(jià)格對(duì)利率波動(dòng)敏感性的一階估計(jì)。凸性（convexity）則是二階估計(jì)，它可以對(duì)久期計(jì)量誤差進(jìn)行有效的校正。為什么需要凸性，能否從數(shù)學(xué)上給予解釋？債券的凸性22222(/)()() dpd pdpdppdDdydydydydypDc 凸性是根據(jù)債券價(jià)格p對(duì)收益率y的二階導(dǎo)數(shù)給出的，其金融學(xué)意義比較難以理解，其中一種解釋把凸性看成久

11、期對(duì)利率的敏感度，這是錯(cuò)誤的。債券的凸性凸性的金融學(xué)含義1dpyDdyp 由定理6可知22121(1)11(1)1 () 11tTtttTttt cydDDdyypcyStDypy 又由于則債券的凸性2(1)1dDpy pyppdypp 記22,dpd pppdydy于是222(1)111 (1)() (1)11Spy pyppyppppyyppppDDcyyy 債券的凸性22222 (1)111(1)()(1)SDDcyyyySDDcySDDcy 21(1),()tTttcyStDp其中債券的凸性 凸性的意義：在久期給定的情況下，凸性反映了債券帶來(lái)的現(xiàn)金流的集中程度，現(xiàn)金流越集中凸性越小，現(xiàn)

12、金流越分散則凸性越大。注意：久期是平均意義上的到期時(shí)間。 凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動(dòng)而引起的價(jià)格變動(dòng)幅度的變動(dòng)程度。 債券的凸性凸性的性質(zhì)1.現(xiàn)金流越集中凸性越小，現(xiàn)金流越分散則凸性越大。2.到期收益率越大（息票率越大），則凸性越小3.到期日越遠(yuǎn)（同等次數(shù)、同等量的現(xiàn)金流但支付越分散），凸性越大。4.凸性減少了債券的波動(dòng)性。債券的凸性2222( )11 1()21()2p ydPd Pdydypdy pp dyD dyc dy 凸性具有減少久期近似誤差的性質(zhì)。利率變化引起債券價(jià)格實(shí)際上升的幅度比久期的線性估計(jì)要高，而下降的幅度要小。因此，在其他條件相同時(shí)，人們應(yīng)該偏好凸性大

13、的債券。根據(jù)泰勒公式債券的凸性例到期收益率5債券價(jià)格100調(diào)整久期4.33年凸性26.3849給定以上數(shù)據(jù)，當(dāng)?shù)狡谑找媛噬仙?時(shí)，債券的價(jià)格將如何變化？*24.33 100 2%8.661()0.481321008.660.481391.82DcpD p yppcy 債券的凸性1122pN pN p若債券具有相同的市場(chǎng)利率y1212dpdpdpNNdydydy由于久期是債券價(jià)格對(duì)利率敏感性的線性計(jì)量，因此，一個(gè)債券組合的久期就是對(duì)該組合中個(gè)別債券久期的加權(quán)平均。假設(shè)債券組合包括：N1份債券B1和N2份債券B2，其價(jià)格分別為p1和p2債券組合的久期與凸性12121112221211221211

14、22 111()()dpdpdpNNdydydyN pdpN pdpdpp dypp dyppdyN pN pDDDw Dw Dpp 1iNw對(duì)于 個(gè)包含 種債券、每種債券的投資比例為 的債券組合11,1NNiiiiiDwDw債券組合的久期與凸性2222112112( )11 1()21()21()21()2iiiiiiiinniportfolioi iiiiinniiiiiiportfolioportfoliop ydPd pdydypdy pp dyD dyc dyprwrwpdywDdywcDdycdy 債券組合的久期與凸性債券組合（久期）免疫由債券組合的回報(bào)率公式可知，當(dāng)收益率上升時(shí)，

15、債券組合可能發(fā)生損失，若組合的久期為0，則債券組合一定具有非負(fù)的回報(bào)，即相當(dāng)于獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的回報(bào)率。在債券組合管理中，希望構(gòu)造一個(gè)久期為零的組合，由此來(lái)避免利率風(fēng)險(xiǎn)，即所謂的免疫性（immunity）。養(yǎng)老金在一定期限后面臨支付義務(wù)（負(fù)債），為此對(duì)投資（資產(chǎn)）具有一定的約束?？紤]負(fù)債與資產(chǎn)相等，但負(fù)債的久期小于資產(chǎn)的久期的，若利率上升可能惡化組合？債券組合的久期與凸性債券組合（久期）免疫 2004年初，經(jīng)測(cè)算某養(yǎng)老金負(fù)債的久期為7年，該基金投資兩種債券，其久期分別為3年和11年，那么該基金需要在這兩種債券上分別投資多少才能不受2004年利率風(fēng)險(xiǎn)變化的影響？3(1) 1170.5www債券組合的久期與凸性免疫算法：計(jì)算負(fù)債久期計(jì)算組合中各個(gè)資產(chǎn)的久期調(diào)整組合中各個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重，使得組合的久期等于負(fù)債的久期根據(jù)負(fù)債的現(xiàn)值，計(jì)算需投資的資產(chǎn)數(shù)量（金額）債券組合的久期與凸性問(wèn)題：如果下一年年初，利率沒(méi)有變化，那么，該公司要不要對(duì)投資權(quán)重進(jìn)行調(diào)整？由于負(fù)債的到期日又接近了，因此，可能導(dǎo)致債務(wù)和債權(quán)之間的久期不一致，就需要再平衡。問(wèn)題：到期日每接近一天，久期就有