大學(xué)高等數(shù)學(xué)_03連續(xù)性間斷點(diǎn)_連續(xù)函數(shù)運(yùn)算_連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與習(xí)題課

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 可見 , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 continue)()(lim, ),(000 x

2、PxPxxx若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(00

3、0 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)xxx0時, 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)連續(xù)有下列等價命題:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù) .0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim

4、0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在無定義 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn)

5、無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim

6、000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價形式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P64 題 2 , P65 題 5)(xf為連續(xù)函數(shù).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案: x = 1 是

7、第一類可去間斷點(diǎn) ,P65 題題5 提示提示:xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理點(diǎn)x,1無理點(diǎn)x,1)()3(xf有理點(diǎn)x,x無理點(diǎn)x,x 作業(yè)作業(yè) P64 3 ; 4 xyo11xyo第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.xxexf111)(解解: 間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點(diǎn);,1 時當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時當(dāng)x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處在x.)(連續(xù)xf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等

8、函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. 連

9、續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x又如又如, 且即機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù),

10、證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)閆nnx,2因此它無連續(xù)點(diǎn)而機(jī)動 目錄

11、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當(dāng), ea 時, 有0 x)1ln(x1xexx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xux

12、vxxe)()(lim0 xuxvxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x21,41,)(xxxxx例例5. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的

13、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點(diǎn)若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù))(xf處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續(xù) .反之是否成立? 作業(yè)作業(yè)P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十節(jié)一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致連續(xù)性三、一致連續(xù)性 機(jī)

14、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn) ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(bax

15、f在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)

16、()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4

17、321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例2. 設(shè))(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知 , 存在, )

18、,(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時, 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三三. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性已知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù), 即:,0Ix ,0,0,0時當(dāng) xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關(guān)與x,0無關(guān)時與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, I, )(xxf對,0若,0存在, I,21xx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 I)(xf上連續(xù)在區(qū)間 I)(xf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,

19、21時當(dāng) xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致連續(xù) .因?yàn)? ) 10(0取點(diǎn), )N(,11211nxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考思考: P73 題 6提示提示:設(shè))(, )(bfaf存在, 作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值

20、;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖), 證明必可將它思考與練習(xí)思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.xoy則面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(S則, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aC

21、x 易證0)()0(a2. 設(shè)作業(yè)作業(yè)P73 題 2 ; 3; 4一點(diǎn)習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf備用題備用題 13xex至少有一個不超過 4 的 證證：證明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根據(jù)零點(diǎn)定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然正根 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習(xí)題課習(xí)題課機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的概念定

22、義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設(shè),RD函數(shù)為特殊的映射:其中機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)復(fù)合而成的一個表達(dá)式的函數(shù).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,

23、1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設(shè)其中).(xf求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什

24、么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cos x24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1

25、,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設(shè),0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

26、 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當(dāng) xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷

27、點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 ; 最值定理 ; 零點(diǎn)定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例3. 設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點(diǎn)0 x及可去間斷點(diǎn), 1x解解:為無窮間斷點(diǎn),0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以be

28、xaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點(diǎn) ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)且對任意實(shí)數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .P64 題2(2), 4; P73 題5機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:P73 題題5

29、. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當(dāng)Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在),(內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在, 則)(xf必在),(內(nèi)有界.)(xfXXA1Myox機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 極限極限1. 極限定義的等價形式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 極限存在

30、準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則3. 無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;ln ax1)1 (x;x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 求極限的基本方法 例例6. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e則有)()(1lim0 xvxxxu復(fù)