2016年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）

1、絕密啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本市卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則 （A） （B）（C）（D）（2）復(fù)數(shù) （A）i（B）1+i（C） （D）（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）8（B）9（C）27（D）36 （4）下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是（A） （B） （C） （D） （5）圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=

2、x+3的距離為（A）1 （B）2 （C） （D）2（6）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為（A） （B） （C） （D） （7）已知A（2，5），B（4，1）.若點(diǎn)P（x，y）在線段AB上，則2xy的最大值為（A）1 （B）3 （C）7 （D）8 （8）某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入

3、立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（A）2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 （B）5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 （C）8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 （D）9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）已知向量 ，則a與b夾角的大小為_.（10）函數(shù)的最大值為_.（11）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_.(12) 已知雙曲線 （a0，b0）的一條漸近線為2x+y=0，一個焦點(diǎn)為（ ,0），則a=_；b=_.(13)在ABC中， ，a=c，則=_.(14)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天

4、售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有_種；這三天售出的商品最少有_種.三、解答題（共6題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）（15）（本小題13分）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（）求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)cn= an+ bn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.（16）（本小題13分）已知函數(shù)f（x）=2sin x cos x+ cos 2x（0）的最小正周期為.（）求的值；（）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.（17）（本小題1

5、3分）某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：（I）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？（II）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC平面ABCD，（I）求證：；（II）求證：；(III)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得?說明理由.（19）（本小題

6、14分）已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn).（I）求橢圓C的方程及離心率；（II）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.（20）（本小題13分）設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷)參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30

7、分）（9） （10）2 （11） （12）1 2 （13）1 （14）16 29三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（I）等比數(shù)列的公比，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為因?yàn)?，所以，即所以（，）（II）由（I）知，因此從而數(shù)列的前項(xiàng)和（16）（共13分）解：（I）因?yàn)?，所以的最小正周期依題意，解得（II）由（I）知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）（17）（共14分）解：（I）由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間，內(nèi)的頻率依次為，所以該月用水量不超過立方米的居民占%，用水量不超過立方米的居民占%依題意，至少定為（II）由用水量的頻率分布直方圖及題

8、意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表：組號12345678分組頻率根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：（元）（18）（共13分）解：（I）因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，所以平面（II）因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫?，所以所以平面所以平面平面（III）棱上存在點(diǎn)，使得平面證明如下：取中點(diǎn)，連結(jié)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫妫云矫?（19）（共14分）解：（I）由題意得，所以橢圓的方程為又，所以離心率（II）設(shè)（，），則又，所以，直線的方程為令，得，從而直線的方程為令，得，從而所以四邊形的面積從而四邊形的面積為定值（20）（共13分）解：（I）由，得因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時(shí)，存在，使得由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個不同零點(diǎn)（III）當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同